La proposition 14 du livre V dans l'économie des Eléments d'Euclide - article ; n°3 ; vol.44, pg 457-467

Jean-Louis Gardies

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1991 - Volume 44 - Numéro 3 - Pages 457-467
11 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1991
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

M JEAN LOUIS GARDIES
La proposition 14 du livre V dans l'économie des Eléments
d'Euclide
In: Revue d'histoire des sciences. 1991, Tome 44 n°3-4. pp. 457-467.
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GARDIES JEAN LOUIS. La proposition 14 du livre V dans l'économie des Eléments d'Euclide. In: Revue d'histoire des
sciences. 1991, Tome 44 n°3-4. pp. 457-467.
doi : 10.3406/rhs.1991.4202
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1991_num_44_3_4202La proposition 14 du livre V
dans l'économie
des Eléments d'Euclide
Nous voulons ici attirer l'attention sur la manière dont le texte des
Eléments d'Euclide, tel qu'il nous est parvenu, applique (ou apparem
ment n'applique pas, là où l'on attendrait qu'il l'appliquât) la proposi
tion 14 de son livre V, sur les conclusions qu'on peut tirer de ces
observations, et les éventuelles corrections du texte qu'on peut être amené
à proposer à leur suite. La version des Eléments sur laquelle nous appuie
rons notre étude est évidemment celle de l'édition Heiberg (1), sur laquelle
déjà s'appuyait la traduction et le commentaire de Heath (2).
On sait que le livre V des Eléments, dont une certaine tradition
attribue, pour le contenu, la paternité à Eudoxe de Cnide, expose une
théorie des grandeurs en général et des proportions entre grandeurs. Les
quatre premiers livres, en effet, réunissaient des problèmes ou des théo
rèmes résolubles ou démontrables sans le moindre recours à cette notion
de proportion, qui fait donc au livre V sa première apparition (3). La
proposition 14 de ce livre (proposition que nous désignerons désormais
par « 14-V ») est ainsi rédigée (4) :
« Si une première grandeur a la même raison à une deuxième qu'une tro
isième à une quatrième et que la première soit plus grande que la troisième, la
deuxième sera aussi plus grande que la quatrième; si la première est égale à
la troisième, la deuxième sera égale à la et, si la est plus
petite que la troisième, la deuxième sera plus petite que la quatrième. »
(1) Euclidis elementa, post I. L. Heiberg edidit E. S. Stamatis 2. Auflage (Leipzig:
BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1969-1970-1972-1973), 4 vol.
(2) The thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg, with
introduction and commentary, by Sir Thomas L. Heath, second edition revised with addi
tions (New York : Dover publications inc., 1956), 3 vol.
(3) Pour la signification du livre V, nous nous appuierons ici sur les conclusions de
notre livre, L'héritage épistémologique ď Eudoxe de Cnide (Paris : Vrin, 1988).
(4) Nous donnerons tous les textes d'Euclide en français, dans la mesure où la citation
du grec lui-même serait inutile. Nous avons traduit directement les textes que nous citons
sur l'édition de Heiberg.
Rev. Hist. ScL, 1991, XLIV/3-4 458 Jean-Louis Gardies
La démarche hypothético-déductive à laquelle s'astreint l'auteur des
Eléments l'autorise à faire appel à ce théorème pour l'élaboration de
la suite du livre V et de tous les livres postérieurs, à l'exception des trois
livres VII, VIII et IX, lesquels traitent des nombres (entiers naturels) et
nullement des grandeurs (notamment géométriques) ; ces trois livres stri
ctement arithmétiques fondent en effet leurs théorèmes caractéristiques
des nombres sur une définition de la proportion (définition 20 du livre VII)
toute différente de celle (définition 5 du livre V) sur laquelle sont fondés
les théorèmes caractéristiques des grandeurs.
La principale anomalie, dans ces conditions, tient à ce que, si 14-V
se trouve explicitement appliquée dans la suite du livre V, nous n'en trou
vons au contraire presque aucune application directe caractérisée aux
livres VI, X, XI, XII et XIII, c'est-à-dire dans l'ensemble des autres livres
où cette proposition devrait pouvoir s'appliquer.
Nous avons relevé deux recours à 14-V dans la suite du livre V, à
savoir dans les démonstrations des propositions 16 et 18. Non seulement
la démonstration de la proposition 16 applique 14-V sous sa forme la
plus générale à quatre grandeurs envisagées, mais l'auteur éprouve le besoin
de rappeler à cette occasion l'énoncé même de 14-V sous une forme qui
ne diffère du théorème, tel que nous l'avons évoqué, que dans la mesure
où le début de la subordonnée :
« Si une première grandeur a la même raison à une deuxième qu'une tro
isième à une quatrième »,
s'y trouve remplacé par :
« Si quatre grandeurs sont proportionnelles »,
formulation dont la définition 6 du livre V nous assure qu'elle est exacte
ment équivalente à celle qu'elle remplace. Quant à la proposition 18,
l'auteur y juge sans doute désormais inutile de citer une fois de plus
le texte du théorème qu'il applique, d'autant qu'il n'envisage ici, pour
les besoins de sa démonstration, que l'un des trois cas évoqués dans
le théorème, celui où la première grandeur est plus grande que la troi
sième, en sorte que, écririons-nous aujourd'hui :
- a = - с et a> c) \ => b> d.
b d )
L'appel à 14-V est cependant souligné par le fait qu'on ne se contente
pas de désigner les quatre grandeurs par des lettres, mais qu'on ajoute
à ces désignations « la première », « la troisième », « la deuxième », « la
quatrième », qui évoquent assez directement l'énoncé du théorème.
Si nous avons dit qu'en revanche aux livres VI, X, XI, XII et XIII La proposition 14 du livre V des Eléments d'Euclide 459
nous n'avons relevé « presque aucune application directe caractérisée »
de 14-V, c'est pour envelopper deux situations différentes devant le
squelles nous pouvons nous trouver :
1) nous verrons d'abord qu'aux livres VI, XI et XII, le texte, à plusieurs
reprises, évite délibérément l'application de 14-V, qui se présentait pour
tant d'elle-même en cours de démonstration;
2) en revanche, à un autre passage du livre VI, ainsi qu'aux livres X et
XIII, sans doute n'est-il pas totalement exclu que 14-V soit appliquée;
mais nous montrerons qu'une telle application est très loin d'y être
évidente.
Nous avons relevé dix fois (5) dans les démonstrations des Eléments
postérieurs au livre V, à savoir deux fois au livre VI (lemme qui suit
la proposition 22 et proposition 25), deux fois au livre XI (proposition 23)
et six fois au livre XII (proposition 2 et lemme qui suit, propositions 5,
11, 12 et 18), la démarche que nous pourrions caractériser de la façon
suivante. L'auteur, ayant établi que :
— a = — с et a > c,
b d
au lieu d'en inférer immédiatement :
b > d
par application directe de 14-V, déduit de la proportion précédente par
recours à 16-V (6) :
c~ a__b_
d
(5) Pour être exact, nous devrions dire « neuf fois » : dans le cas de la proposition 25
du livre VI en effet, il ne s'agit pas de supériorité de la première grandeur sur la troisième,
mais légalité, dont on déduit évidemment l'égalité de la deuxième avec la quatrième (second
cas envisagé par 14-V). Ajoutons que, bien que nous ayons procédé à un examen systéma
tique du texte des Eléments, il n'est pas impossible que certains passages significatifs aient
échappé à nos investigations. Ce qui cependant nous ferait croire à l'exactitude de notre
compte est qu'après l'avoir établi indépendamment, nous avons trouvé le même résultat
sous la plume de Robert Simson (The Elements of Euclid; viz. the first six books together
with the eleventh and the twelfth, 20th edition (London, 1822), 326) à deux différences
près : d'une part l'édition de Simson ne comporte pas le lemme qui suit 22- VI (qui ne
se trouve pas dans tous les manuscrits), d'autre part la seconde occurrence de 23-XI, avouons-
le, nous avait échappé. De toutes façons, l'éventuelle omission d'un autre passage signifi
catif ne serait grave que si celui-ci pouvait remettre en cause la généralité de telle de nos
conclusions.
(6)