SCA-7212 Cours No.3 (2009)

Gauthier_P

Description

SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Equations de l’interpolation statistiqueX  X  K y  HX a b b1T TK  BHR  HBHP I  KH BaMatrice de gain (ou poids statistiques): KInnovations (ou écarts aux observation: y-HXbInterpolation optimale• Résolution directe du problème 1T TX ( p )  X ( p )   BH R  HBH  y  HX a i b i i bT X ( p )   BH wb i iK X ( p )  W wb i  ik kk  1* Introduction de simplifications: sélection de données* Conduit à des problèmes de petite dimension qui peuvent être résolus* Champ analysé à différents points de grille n’utilise pas nécessairement les mêmes données    X X1 2      1SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Impact de la sélection de donnéesb. OI with data selection10• Influence d’une observation* Trait plein: 3D-Var* Tireté: interpolation optimale100* Fig. 9 de Gauthier et al. (1999)100020 30 40 50 60 70LatitudeFormulation variationnelle de l’interpolationstatistique (Lewis et al., 2006: sect. 20.2 et ch. 10 à 12))Ax  b• Résolution de systèmes T T1min J (x )  x Ax  x b2d’équations linéaires de J (x )  Ax  bgrande taille* Méthode du gradient2pressure (hPa)SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphériqueUQAM Hiver 2009Le 3D-Var• Fonction “coût” T T1 1 1 1J(X) X X ...

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Extrait

SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009

•

’ Equations de l interpolation statistique

X a X b K  yHX b  T  T 1 KBH R HBH P a   IKH  B

Matrice de gain (ou poids statistiques): Innovations (ou écarts aux observation:

Interpolation optimale

K y-HX b

Résolution directe du problème T T 1 X a (p i )X b (p i )  i BH  RHBH    yHX b  X(p) BH T w b i i K X b (p i )  W ik w k k1 * Introduction de simplifications: sélection de données * Conduit à des problèmes de petite dimension qui peuvent être résolus * Champ analysé à différents points de grille n’utilise pas nécessairement les mêmes données    

  

X 1   



 X 2 

     





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SCA-7212 Introduction à l’assimilation de données et applications à l’analyse atmosphérique UQAM Hiver 2009

Impact de la sélection de données

•

Influence d une ’ observation * Trait plein: 3D-Var * Tireté: interpolation optimale * Fig. 9 de Gauthieret al. (1999)

10

100

1000 20

30

b. OI with data selection

40 50 Latitude

60

Formulation variationnelle de l interpolation ’ statistique (Lewis et al., 2006: sect. 20.2 et ch. 10 à 12))

•

Résolution de systèmes d équations linéaires de ’ grande taille * Méthode du gradient

Axb minJ(x) 21 x T Ax J(x)Axb

x T b 

70

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Le 3D-Var

•

Foncti J o (X n ) “ 21 c X o  ût X b ” T B 1 XX b  21 HXy T R 1 HXy J(X)B 1 XX b H T R 1 HXy

•Au minimum de J, X = X a etJ(X a ) = 0:

B1(X a X b )HTR1HX a yB1(X a X b )HTR1H X a X b yHX b B1HTR1H X a X b HTR1yHX b 0 ’ •Incrément d analyse(X a -X b ): 1T 1 1 T  X a X b   B  H R  H  H R 1 (yHX b )

? BH T RHBH T 1 (yHX b ) •Montrer que:  B 1 H T R 1 H  1 H T R 1  ? BH T RHBH T  1

Démonstration:

•

 B 1 H T R 1 H  1 H T R 1 BH T  RHBH T  1

’ Multiplication, de part et d autre, à gauche par(B-1+HTR-1H)et à droite par(R+ HBH T )

H T R 1 B 1 H T R 1 H BH T R H T R 1 RHBH T B 1 H T R 1 H BH T H T H T R 1 HBH T H T H T R 1 HBH T

HBH T 

1

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’ Matrice hessienne et covariance d erreur d an e ’ •Matr a i l c y e s hseisneen: J"      2 J      B 1 H T R 1 H  X i X j ji

’ ’ •Covariance d erreur d analyse

P a (IKH)BBKHB

’ •Substitue K par l expression donnée précédemment P a B    B 1 H T R 1 H 1 H T R 1    HB B 1 H T R 1 H 1 B 1 H T R 1 H BH T R 1 HB B 1 H T R 1 H 1 IH T R 1 HBH T R 1 HB B 1 H T R 1 H 1

’ Exemple pour l analyse en un point

•Analyse de température en un point sur le dernier niveau du modèle utilisant une mesure de la température à 10m T b Niveau du modèle

T obs.

Niveau à 10 m

’ Opérateur d observation:HT =T Valeur analysée: T a T b  (T obs.  T b )

Estimé minimisant la variance d erreur d analyse: ’ ’ 2     o    b  b 2  2 2

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’ Formulation variationnelle: exemple pour l analyse en un point •Minimiser la fonction coût: J(T) 2 1(T  b 2 T b ) 2  2 1(T  o 2 T obs ) 2 J(T)  J  (T 2 T b )   (T 2 T obs ) T b  o

T a T 2  b 22 2 (T obs T b )  b    o    b

’ Incrément d analyse(T a - T b ):changement apporté au champ d’essai pour s’ajuster à la valeur observée

’ Equivalent modèle de l observation(T b ): état-modèle est converti en équivalent de l’observation.

Méthode du gradient

• En partant du pointX (k) ,trouver un pointX (k+1) tel que J(X (k+1) ) < J(X (k) ) J(X) 21 X T QXX T bC Q positive ce qui signifie que pour tout vecteurest définie X , X T QX > 0 Ceci nous assure qu’un minimum unique existe

1/ CalculerJ(X(k)) 2/ Direction de recherche:

3/ Fouille linéaire

4/ Nouvel itéré:

J(X (k) )QX (k) b g k  J(X (k) )   QX (k) b

f()J(X (k)  g k )J(X()) d df  ()     dX d (  )    T J(X (k)  g k ) g T QX (k) b Qg k k  g T k Qg k g T k g k 0 g T g * k k   g T Qg k k

k X(k1)X( ) *g k



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Convergence de la minimisation et préconditionnement

•

•

Minimisation de J() = 1/2 ( T .

Peu importe le point de départ, la minimisation converge en une seule itération.

Préconditionnement du 3D-Var par changement de variables •Formulation originale J(X)1 2 XX b T B 1 XX b 21HXy T R 1 HXy J(X)B 1 XX b H T R 1 HXy •Changement de variables  B 1/ 2 (XX b ) XX b B 1/ 2  X() •Nouvelle forme: J() 1 2  T   1 2 H(X())y  T R 1 H(X())y  J()  B 1/ 2 T H T R 1  H(X())y  •Algorithmes de minimisation * Gradient conjugué (réf. Gollub et van Loan, 1996) * Quasi-newton (Navon et Legler, 1987:Mon. Wea. Rev., 115 9741051-2), * Lewiset al.(2006): ch.10 à 12 •Minimisation comprend généralement moins d une centaine ’ d itérations ’

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Modélisation des covariances d erreur de ’ prévision •Représentation des covariances B(x 1 ,x 2 ) (x 1 )(x 2 )  T où(x) est l’erreur de prévision au point x Propriétés

* Sytrméqieu B(x 2 ,x 1 )B(x 1 ,x 2 ) * Définie positive x T Bx(x T )( T x)(x T ) 2 0 2 * riancesVa B(x,x) (x)

Corrélations

C( 1 , 2 ) B(x 1 ,x 2 ) x x (x 1 )(x 2 ) C(x,x)1

Forme matricielle  des covariances     0 1 B    0

0  2  

   0

0      1  C 0         1 21  n  C n

C 12 1  

   C n(n1)

C 1n  1           0 C (n1)n   1  0

Corrélations homogènes et isotropes

•

•

•

•

Forme matricielle des covariances: B =C où S est la matrice diagonale contenant les écarts-type. Modèles de corrélations homogène et isotropes

0  2  

   0

0     0    n 

C(x 1 ,x 2 ) = f(|x 1 - x 2 |) Isotrope: fonction ne dépend que de la distance entre deux points Homogène: cette dépendance est la même en tout point (la fonction de corrélation ne change pas) ’ Corrélations homogènes et isotropes nimpliquent pas que les ’   covariances le soient puisque les écarts-type peuvent varier d un point à un autre Forme spectrale des corrélations homogènes et isotropes est une matrice diagonale

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Représentation spectrale des corrélations L  m •ou Ferri ni   umediionselnn ir l é e Sedse  ~ 1 L  (x)e imKx dxS 0 m  * où K = 2/L (x)   ~ m eimKxS1 ~ m  *  m   m * rPirpo:été ’ •Forme spe C ct ( r m a , l n e ) d  u  n ( e m) m ( a  tr n i ) ce    T (S)(S) T S( T )S T C T

•

Relation inverse:

CS1C(S1)T

S T

S T

•Forme spectrale: C ( ~ m , n ) L 1 2    0  L ( x 1 ) e imKx 1 dx 1      0  L ( x 2 ) e inKx 2 dx 2     1 2  L dx 1 e imKx 1 L  (x 1 )(x)e inKx 2 dx L 0 0 2 2 L 1 2 L 0 dx 1 e mKx L 0 f(|x 1 x 2 |)e dx 2   i 1   inKx 2 •Changement de variable:=x 1 - x 2 L L C( ~ m,n) 1 2  dx 1 e imKx 1  ()e inK(x 1  )  L 0 0 f d 1 L dx e ( ) 1 L f e d  2  1 i mn Kx  () inK  L 0 0 f 1 L dx e ( ) 1  nf m i m n Kx  ~ n  1    ~ () L 0 n

•La forme spectrale de la matrice des corrélations conduit à une matrice diagonale dont les éléments sont obtenus des coefficients spectraux de la fonction de corrélationf()

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Remarques

•

•

•

Cas 2D sur le plan *  (x,y)Passage en coordonnées polaires:(r,) * Transformée de Hankel unidimensionnelle (c.f. Daley (1991), ch.4, sect. 4.3 et Annexe G) développement en termes de fonctions de Bessel Cas 2D sur la sphère * Représentation spectrale est basée sur les harmoniques sphériques (zonales) * Fonctions de corrélations sont représentées en termes des composantes zonales seulement (Boer (1983); Gauthieret al.(9139)) * uahtei rGet al.(1998):modèle de corrélation homogène et isotrope sur la sphère (utilisé dans le 3D-Var du SMC) Modèle de covariance dont la représentation est compacte (e.g., 2N coefficients au lieu de N(N+1)/2

Opérateurs élémentaires d

• ontiorFlamu

’ e l analyse

J() 21  T   1 2 H(G)y T R 1 H(X())y J()  (B 1 / 2 ) T H T R 1 H(X())y

•Changement de variables

•Décomposition de B1/2:

 B 1 / 2 (XX b ) XX b B 1 / 2  X()

B S 1 CS 1 T   S 1 C 1 / 2 S 1 C 1 / 2 T B 1 / 2 B 1 / 2 T ~ B 1 / 2  1 C 1 / 2

Description du changement de variables

 C  1/ 2  1  S   1 X 1   XX X H H(X)y R   1 R 1 (H(X)y)  b

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Calcul du gradient

J( 0 )J( 0  )J( 0 )   T     B 1 / 2 T  H X T X X R 1  H(X)y      0 0  0   T J( 0 )

T 1 / 21 1 / 2 On a tout d’abord que: B 1 / 2 CS T  T CS En effet, (S -1 ) T = S. découle du fait que S est une transformation unitaire. Ceci S 1 vS 1 vv v 1 , 2 G 1 , 2 S ~ v 1 T (S 1 ) T S 1 ~ v 2  ~ v 1 T ~ v 2 (S 1 ) T S 1 Id ’ Variation de H(X) causée par une variationX = B 1/2 de l état- modèle H(X 0  X)H(X 0 )       H X (X 0 )     XH' (X 0 ) X o ’ ùX 0 =X b + G 0 . H(X 0 ) estla matrice jacobienne deHévaluée enX 0 .

’ E ’ xemple: assimilation dune mesure  d intensité de vent •Intensité de vent V et composantes horizontales du vent u et v: 2 2 Vuv

Perturbation de V causée par un changementu V V u    v V u v etv: u ( 0 , 0 ) v ( 0 , 0 ) u v  V V u    (u 0 ,v 0 ) (u 0 ,v 0 )            u v v  u H' (u 0 ,v 0 )    H' (X 0 )X 0  v  Gradient de J 0 par rapport à X:  X J 0 (X 0 )H'(X 0 ) T R 1 (H(X 0 )y)    u 0 / /u 2 0 2 v 2 0 2   u 02 v 2 2 0 V obs.   0 0 0  v uv   o

Aucune correction sur la direction

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Expression pour le gradient deJ 0 () •Evaluation de J o : J o ()  21 H(X())y  T R 1 H(X())y    C 1  / 2  1  S   1 X 1   XX b  X H H(X)y R  1 R 1 (H(X)y)

•

Evaluation du gradient de J o :   J 0 ( 0 )  X/  T  X J o (X)(B 1 / 2 ) T  X J o (X) (B 1 / 2 ) T H' T R 1  H(X)y   

  J o () C  1/ 2    J o () S   X J o (X)    X J o (X) H  ' T R 1  H(X)y  1 1 1 1

•Fonction coût est représentée par une composition de changements de variables et le gradient peut être obtenue en applicant la règle de dérivation en chaîne

Forme duale du 3D-Var: le 3D-PSAS

•Cohn et al., 1998; Courtier, 1997; El Akkraouiet al., 2008: X a X b BH T  RHBH T  1  yHX b  X b BH T w

où w est tel que

RHBH T w  yHX b 

Minimisation dans l espace des observations ’ J(w) 1 2 w T RHBH T ww T

yHX b 

•Remaeuqr * que le nombre de degrés de liberté deNombre d’observations est moindre X * Formulation similaire à celle de schémas comme l’interpolation optimale ce qui facilite son implémentation * Equivalence n’est vraie qu’en autant que H soit linéaire. * Préconditionnement de la minimisation est plus difficile. * Opérateurs sont les mêmes que pour le 3D-Var.

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