ECO 4272 : Introduction `a l' ' Econom'etrie Statistique ...

Description

´ECO 4272 : Introduction a` l’Econometrie´
Statistique: estimation et inference´
Steve Ambler
Departement´ des sciences economiques´
´Ecole des sciences de la gestion
Universite´ du Quebec´ a` Montreal´
c 2011 : Steve Ambler
Hiver 2011
Ces notes sont en cours de dev´ eloppement. J’ai besoin de vos commentaires et de vos sug-
gestions afin de les ameliorer´ . Vous pouvez me faire part de vos en personne ou en
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1Table des matier` es
1 Introduction 5
2 Objectifs du cours 5
3 Estimateurs 6
4 Propriet´ es´ desirables´ d’un estimateur 6
4.1 Absence de biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Convergence (en probabilite)´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Efficience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 La moyenne echantillonnale´ comme estimateur de la moyenne de
la population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.5 La moyenne echantillonnale´ comme un estimateur moindres carres´
ordinaires de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Trois types d’infer´ ence 10
5.1 Inference´ asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.1 Convergence en distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Inference´ exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3 Inference´ par Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Estimation de la moyenne de la population 12
7 Tests d’hypothese` ...

Sujets

• Statistique
• Population des provinces italiennes
• Dérogation (zonage)
• Hypothèse kourgane
• Loi normale multidimensionnelle
• Moyenne pondérée

Informations

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• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

ECO

4272

:

Introduction

Statistique:

´ ` al’Econom ´ etrie

estimationetinf ´ erence

Steve Ambler ∗

D ´ epartementdessciencese ´ conomiques

´ Ecole des sciences de la gestion

Universit ´ eduQue ´ beca ` Montre ´ al

c 2011 : Steve Ambler

Hiver 2011

∗ Ces notes sont en cours de de´veloppement. J’ai besoin de vos commentaires et de vos sug- gestionsafindelesam´eliorer.Vouspouvezmefairepartdevoscommentairesenpersonneouen envoyant un message a` lbremamaquac.ets.@nev.

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Table des matie`res

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2

3

4

5

6

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Introduction

Objectifs du cours

Estimateurs

Propri ´ et ´ esde ´ sirablesd’unestimateur

4.1 Absence de biais. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4.2Convergence(enprobabilit´e). . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

4.3 Efficience. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 La moyenne e´chantillonnale comme estimateur de la moyenne de

la population. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5Lamoyenne´echantillonnalecommeunestimateurmoindrescarre´s

ordinaires de la moyenne. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

Trois types d’infe´rence 5.1Inf ´ erenceasymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Convergence en distribution. . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Infe´rence exacte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Infe´rence  par Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Estimation de la moyenne de la population

Tests d’hypothe`se concernant la moyenne

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Hypoth ` esenulleethypoth ` esealternative. . . . . . .. . . . . . . Testsavechypothe ` sealternativebilat ´ erale. . . . . . . . . . . . . Tests avec hypothe`se alternative unilate´rale. . . . . .. . . . . . 7.3.1 L’hypoth`  lternative estH 1 :E(Y)< µ Y0 ese a. . . . . . 7.3.2L’hypoth`esealternativeestH 1 :E(Y)> µ Y0 . . . . . . La notion dep-value. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . La relation entrep-value et taux de significativite´ marginal. . . .

Tests lorsque la variance n’est pas connue. . . . . .. . . . . . .

7.6.1 Estimateur convergent de la variance. . . . . .. . . . . .

La statistiquet. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

Intervalles de confiance pour la moyenne de la population

La statistiquet de Student en petit e´chantillon

10 Comparaison  des moyennes de populations diffe´rentes 10.1Testsd’hypothe ` seconcernantladiff ´ erenceentredeuxmoyennes. 10.2Intervallesdeconfiancepourladiff´erenceentredeuxmoyennes.

11 Donne´es expe´rimentales et estimation de causalite´

12Diagrammesdedispersion,covariance ´ echantillonnaleetcorre ´ lation ´ echantillonnale

13 Concepts  a` retenir

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14Re ´ f ´ erences

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Introduction

Danslechapitrepre ´ ce ´ dent,nousnoussommespench ´ essurladistribution e ´ chantillonnaledelamoyennee ´ chantillonnaled’unes ´ eried’observationsi.i.d. Souventonneconnaıˆtpaslespropri´et´esdeladistributionquiengendrenos

observations, par exemple ses moments (moyenne, variance, etc.). Dans ce

chapitre, nous allons nous pencher sur comment nous pouvonsestimerles propri´et´esdecettedistributioninconnue,testerdeshypoth`esesconcernantces proprie´te´s, et calculer des intervalles de confiance pour nos estimateurs.

2

Objectifs du cours

1. Concept d’un estimateur.

2. Proprie´te´s de´sirables d’un estimateur.

3.Estimateurdelamoyenned’unevariableal ´ eatoire.

4.Troistypesd’inf ´ erencestatistique:infe ´ renceexacte,infe ´ rence approximativeengrand ´ echantillon,inf ´ erenceparMonteCarlo.

5.Testsd’hypoth ` esesconcernantl’estimateurdelamoyennelorsquela

variance est connue.

6. Tests d’h  poth`  cernant l’estimateur de la moyenne lorsque la y eses con

variance n’est pas connue.

7. Intervalles de confiance.

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Estimateurs

–L’estimateurnouspermetdefairedel’infe ´ rence(testerdeshypoth ` eses, construiredesintervallesdeconfiance)concernantlespropri ´ ete ´ sinconnuesde lavariableal´eatoirequinousint´eresse. –Defac¸o ´´ alunestimateurestunefonction(quipeute ˆ trelin ´ eaireou n gener e, nonline´aire)desobservationsquenousavonsdansnotre´echantillon. L’exemple que nous avons de´ja` vu, la moyenne e´chantillonnale, est e´videmment une fonction line´aire des observations de l’e´chantillon.

4 Proprie´te´s de´sirables d’un estimateur

–Defa¸coninformelle,sinousestimonsunmomentdanslapopulation,nous souhaiterionsquel’estimateursoitlepluspr`espossibledesavraievaleur.Les troispropri ´ ete ´ sdanscettesectioncaptentcetteide ´ edefa¸conplusformelle.

4.1 Absence de biais

–Unestimateurestnonbiaise ´ s’ilestenmoyenne ´ egale ` asavaleurdansla

–

population.

¯ Soitµ Y la moyenne de la population, et soitYun estimateur de cette moyenne (quipourraite ˆ trelamoyenne ´ echantillonnaleouunautreestimateurcomme ¯ par exemple la me´diane de l’e´chantillon). Nous allons dire queYest un

6

–

estimateurnonbiais ´ edeµ Y si

E  Y ¯ 

=µ Y .

Si l’estimateur est biaise´, son biais sera mesure par ´

¯ Y−µ Y .

–Nousavonsde ´ j ` amontre ´ danslechapitre2quelamoyennee ´ chantillonnaleest un estimateur non biaise de la moyenne de la population. ´

4.2 Convergence  (en probabilite´)

–L’ide ´ edebaseesttr ` essimple.Sionaunnombresuffisantd’observationsdans notree ´ chantillon,l’estimateurseretrouveavecuneprobabilit ´ etreseleveea ` ´ ´ ` l’int´erieurd’unintervallequiestarbitrairementpetitautourdelavraievaleur. ¯ – SoitY la moyenne e´chantillonnale, que nous pouvons utiliser pour estimer la , ¯ moyenne dans la population,µ Y elhcadsnerq2epuativonsousa`avud´ejN.Y est un estimateur convergent de la moyenne. Nous allons e´crire :

–

Y ¯ − p →µ Y .

Pourunepreuved ´ etaill ´ eedelaconvergenceenprobabilite ´ delamoyenne echantillonnale, voir l’Annexe 3.3 du manuel. ´

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4.3

Efficience

– L’efficience  d’un estimateur fait re´fe´rence a` sa variance. ¯ ˜ ¯ – SoitYetYd,exuemitsuetarsnonbiais ´ esdeµ Y . Nous allons dire queYest ˜ plus efficient queYsi Var  Y ¯  <Var  Y ˜  .

4.4 La moyenne echantillonnale comme estimateur de la ´

moyenne de la population

– SoitYntva:estee ´ ssiupsorrp ´ ireavecleal ´ eatoineuleabriva

E(Y) =µ Y ,

¯ – SoitY:ommeniecd´efi,

Var(Y) =σ Y 2 <∞.

Y ¯ ≡ 1 Xn Y i . n i=1

– Il s’agit d’un estimateur raisonable de la moyenne de la population. –Iln’estpasleseulestimateurpossible.Maisilalesproprie´t´esd´esirables

suivantes. 1.Ilestnonbiais´e:

2. Il est convergent :

¯ E(Y) =µ Y .

Y ¯ − p →µ Y .

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–

3.Parmitouslesestimateursline ´ aires(quisontdesfonctionslin ´ eairesdes observations de l’e´chantillon) qui sont non biaise´s, il a la plus petite

variance. Il est donc l’estimateur le plus efficient dans cette classe. Nous

parlons d’un estimateur qui estBLUE(  Best Linear Unbiased

Estimator  en anglais).

Voicilad ´ emonstrationdel’absencedebais.

E(Y = ¯ ) E
n 1 i= Xn 1 Y i ! = 1 n i Xn E(Y i ) =  1 Xn n µ Y =µ Y =µ Y . n n =1i=1

¯ –Pourlad´emonstrationqueYest un estimateur convergent, voir le manuel,

Annexe 3.3.

4.5 La  moyenne e´chantillonnale comme un estimateur

moindres carre´s ordinaires de la moyenne

– Supposons que nous voulons choisir un estimateurm ´ derieaseydrpepoesur r les valeurs d’une variable ale´atoire Y i . –Nouspouvonsmontrerquelamoyenne´echantillonnaleestl’estimateurqui minimiselasommedeserreurscarr ´ ees.Voicilapreuve. –Leprobl`emedeminimisationestlesuivant:

n m X m) 2 . min (Y i − i=1

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