Effective actions and topological strings [Elektronische Ressource] : Off-shell mirror symmetry and mock modularity of multiple M5-branes / Michael Hecht. Betreuer: Peter Mayr

Michael Hecht

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 8
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

E ective actions and topological strings
O -shell mirror symmetry and mock modularity of multiple M5-branes
Michael Hecht
Munc hen 2011E ective actions and topological strings
O -shell mirror symmetry and mock modularity of multiple M5-branes
Michael Hecht
Dissertation
an der Fakult at fur Physik
der Ludwig{Maximilians{Universit at
Munc hen
vorgelegt von
Michael Hecht
aus Rosenheim
Munc hen, den 18. August 2011Erstgutachter: Prof. Dr. Peter Mayr
Zweitgutachter: Prof. Dr. Ilka Brunner
Tag der mundlic hen Prufung: 20.10.2011In memory of my fatherAbstract
This thesis addresses two di erent topics within the eld of string theory.
In the rst part it is shown how Hodge-theoretic methods in conjunction with open string
mirror symmetry can be used to compute non-perturbative e ective superpotential couplings
for type II/F-theory compacti cations with D-branes and uxes on compact Calabi-Yau mani-
folds. This is achieved by studying the at structure of operators which derives from the
open/closed B-model geometry. We analyze the variation of mixed Hodge structure of the
relative cohomology induced by a family of divisors, which is wrapped by a D7-brane. This
leads to a Picard-Fuchs system of di erential operators, which can be used to compute the
moduli dependence of the superpotential couplings as well as the mirror maps at various
points in the open/closed deformation space. These techniques are used to obtain predictions
for genuine A-model Ooguri-Vafa invariants of special Lagrangian submanifolds in compact
Calabi-Yau geometries and real enumerative invariants of on-shell domain wall tensions.
By an open/closed duality the system of di erential equations can also be obtained from a
gauged linear-model, which describes a non-compact Calabi-Yau four-fold compacti cation
without branes. This is used in the examples of multi-parameter models to study the various
phases of the combined open/closed deformation space. It is furthermore shown how the brane
geometry can be related to a F-theory compacti cation on a compact Calabi-Yau four-fold,
where the Hodge-theoretic techniques can be used to compute the G- ux induced Gukov-
Vafa-Witten potential. The dual F-theory picture also allows to conjecture the form of the
K ahler potential on the full open/closed deformation space.
In the second part we analyze the background dependence of theories which derive from
multiple wrapped M5-branes. Using the Kontsevich-Soibelman wall-crossing formula and the
theory of mock modular forms we derive a holomorphic anomaly equation for the modi ed
elliptic genus of two M5-branes which are wrapped around a rigid divisor inside a compact
Calabi-Yau manifold. The non-holomorphicity of the modi ed elliptic genus in this situation is
traced back to the contribution of non-trivial BPS bound states of M5-branes. As a byproduct
a result from pure mathematics obtained by G ottsche is re-derived in physical terms, which
concerns the structure of the moduli spaces of stable sheaves on certain complex surfaces.
The anomaly equation ful lled by the modi ed elliptic genus is shown to be consistent with
the holomorphic anomaly equations observed in the context of N = 4 topological Vafa-
2Witten theory on P and theories of E-strings obtained from wrapping M5-branes on del
Pezzo surfaces. In selected examples it is argued how the holomorphic anomaly equation
supplemented with appropriate boundary conditions can be used to explicitly compute the
BPS degeneracies for certain charges.
This work is based on the original publications [1, 2, 3, 4].Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit besch aftigt sich mit zwei verschiedenen Themen aus dem Gebiet der
Stringtheorie.
Im ersten Teil werden Hodge-theoretische Methoden und Mirrorsymmetrie o ener Strings
dazu verwendet um nicht-perturbative e ektive Superpotentiale in Typ II/F-Theorie Kom-
pakti zierungen auf kompakten Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten mit D-Branen und Flussen zu
berechnen. M oglich ist dies aufgrund der zugrundeliegenden achen Ringstruktur der Ope-
ratoren im kombiniert o en/geschlossenen B-Modell. Fur bestimmte D-Branengeometrien
entspricht diese Struktur der mathematischen Theorie von Variationen gemischter Hodge-
Strukturen einer relativen Kohomologiegruppe. Im Falle einer D7-Brane, welche um eine
Familie von Vierzyklen gewickelt ist, wird hiermit ein System von Picard-Fuchs Gleichungen
abgeleitet, welches die relativen Perioden des Deformationsproblems annihiliert. Da die rela-
tiven Perioden fur diese Geometrien das von den D-Branen induzierte Superpotential, sowie
die Mirrorabbildungen beschreiben, k onnen die Picard-Fuchs Gleichungen dazu benutzt wer-
den, um nicht-perturbative Superpotentialkopplungen in der Umgebung zahlreicher Punkte
im o en/geschlossenen Deformationsraum explizit zu berechnen.
Mithilfe dieser Techniken tri t die Arbeit Vorhersagen fur Ooguri-Vafa Invarianten von spe-
ziellen Lagrange-Branen in kompakten Calabi-Yau Geometrien, sowie fur reell enumerative
Invarianten von Massendichten supersymmetrischer Dom anenw ande. Eine o en/geschlossene
Stringdualit at, welche die Branengeometrie auf eine Calabi-Yau Viermannigfaltigkeit ohne
Branen abbildet, kann desweiteren dazu benutzt werden, um das Picard-Fuchs System der
D-Branengeometrie aus einem ’gauged linear-model’ herzuleiten. In Modellen mit mehreren
Deformationsparametern werden hiermit, unter Zuhilfenahme von Methoden aus der torischen
Geometrie, die unterschiedlichen Phasen des kombinierten o en/geschlossenen Deformations-
raums untersucht. Zudem erl autert die Arbeit wie die Branengeometrie in eine F-Theorie
Kompakti zierung auf einer kompakten Calabi-Yau Viermannigfaltigkeit ohne D-Branen ub er-
setzt werden kann. Die Hodge-theoretischen Methoden erlauben in diesem Fall die Berechnung
vonG-Fluss induzierten Gukov-Vafa-Witten Potentialen. Aus dem dualen Bild der F-Theorie
wird au erdem die Form des K ahler Potentials auf dem kombiniert o en/geschlossenen De-
formationsraum der D7-Brane abgeleitet.
Der zweite Teil der Arbeit ist der Untersuchung der Hintergrundabh angigkeit von The-
orien mit mehreren M5-Branen gewidmet. Unter Verwendung der Kontsevich-Soibelman
’wall-crossing’ Formel und der Theorie der mock-modularen Formen wird eine holomorphe
Anomaliegleichung fur den modi zierten elliptischen Genus von mehreren M5-Branen auf
einem rigiden Divisor innerhalb einer kompakten Calabi-Yau Mannigfaltigkeit hergeleitet.
Die Nichtholomorphizit at des modi zierten elliptischen Genus kann dabei auf den Beitrag
von nicht-trivialen Bindungszust anden von M5-Branen zuruc kgefuhrt werden. Als ein Neben-produkt wird mithilfe physikalischer Uberlegungen ein Resultat aus der reinen Mathematik
von G ottsche hergeleitet, welches die Struktur der Modulir aume von stabilen Garben auf
bestimmten komplexen Fl achen betri t. Zudem diskutiert die Arbeit die Konsistenz der ge-
fundenen holomorphen Anomaliegleichung mit den holomorphen Anomaliegleichungen, welche
im Fall derN = 4 topologischen Vafa-Witten Theorie, sowie im Rahmen von Theorien so-
genannter E-Strings, welche von M5-Branen auf del Pezzo Fl achen herruhren, abgeleitet wur-
den. In ausgew ahlten Beispielen wird gezeigt, wie die holomorphe Anomaliegleichung dazu
benutzt werden kann um die BPS-Entartungen fur bestimmte Ladungen, unter Zuhilfenahme
geeigneter Randbedingungen, explizit zu berechnen.
Diese Doktorarbeit basiert auf den Ver o entlichungen [1, 2, 3, 4].Contents
Part I. Introduction 1
1. Motivation and overview 3
1.1. Motivation 3
1.2. Outline 13
1.3. Publications 15
2. Closed string mirror symmetry 17
2.1. Vacuum geometry ofN = (2; 2) SCFTs 17
2.1.1. TheN = 2 superconformal algebra 17
2.1.2. Chiral rings 19
2.2. Topological eld theories 19
2.2.1. Properties of topological eld theories 20
2.2.2. Deformations of topological 21
2.2.3. The vacuum bundle and tt -geometry 22
2.2.4. Geometry of the moduli space 23
2.3. Non-linear -model realizations 24
2.3.1. The A-model 26
2.3.2. The B-model 28
2.4. Variation of mixed Hodge structure and period integrals 29
2.4.1. Complex structure deformations of Calabi-Yau manifolds 29
2.4.2. Period integrals 31
2.4.3. Picard-Fuchs equations 33
2.4.4. Computation of Picard-Fuchs operators 34
2.4.5. Global properties of the complex structure moduli space 37
2.5. Mirror symmetry 39
2.6. Examples of closed string mirror symmetry 43
(1;1;1;1;2)
2.6.1. The Calabi-Yau three-fold X 436
(1;1;1;1;1;1)
2.6.2. Theau four-fold X 496
Part II. O -shell mirror symmetry and type II/F-theory superpotentials 57
3. N = 1 mirror symmetry and type II/F-theory superpotentials 59
3.1. Topological D-branes 60
3.1.1. A-branes 60
3.1.2. B-branes 62x Contents
3.1.3. E ective couplings for N = 1 compacti cations 63
3.2. O -shell mirror symmetry 64
3.3. Geometry and deformation space of the B-model 67
3.3.1. Obstructed problem 69
3.3.2. N = 1 special geometry of the open/closed deformation space 72
3.3.3. Relative periods and normal functions 73
3.4. Generalized hypergeometric systems for the B-model 77
3.4.1. Extended hypergeometric systems for relative periods 77
3.4.2. Picard-Fuchs and GKZ equations for domain wall tensions 82
3.5. Gauss-Manin connection and integrability conditions 84
3.5.1. Gauss-Manin connection on the open/closed deformation spaceM 84
3.5.2. Integrability