Influence of Noise, Variability,and Time-Delayed Feedbackon Spatially Extended SystemsVom Fachbereich Physikder Technischen Universit¨at Darmstadtzur Erlangung des Gradeseines Doktors der Naturwissenschaften(Dr. rer. nat.)genehmigteDISSERTATIONvonDipl.-Phys. Martin Gasselaus Frankfurt am MainDarmstadt 2009D17Referent: Prof. Dr. Friedemann KaiserKorreferentin: Prof. Dr. Barbara DrosselTag der Einreichung: 28.11.2008Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 02.02.2009Contents1 Introduction 11.1 Outline of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Noise, Variability, and Time-Delayed Feedback 32.1 Noise and Variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Time-Delayed Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Numerical Integration of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . 73 The Model Systems 93.1 The FitzHugh-Nagumo Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.1 Temporal Dynamics of the FitzHugh-Nagumo Model . . . . . . . . 103.2 The Hodgkin-Huxley Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Temporal Dynamics of the Hodgkin-Huxley Model . . . . . . . . . . 173.3 Net Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Noise and Variability in Nets of FitzHugh-Nagumo Elements . . . . . . . . 214 Theoretical Tools 234.1 The Small-Noise Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .