Lattice models in materials science [Elektronische Ressource] : diffusion, trabecular bone remodelling and linear elastic networks / von Markus Hartmann

Hartmann Markus

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2006
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• Langue: English
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Extrait

Lattice Models in Materials Science
Diffusion, Trabecular Bone Remodelling and Linear Elastic
Networks
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herr Mag. Markus Hartmann
geboren am 15.02.1977 in Wien
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
in Vertretung: Prof. Dr. Hans Jürgen Prömel
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:
Prof. Thomas Buckhout, PhD
Gutachter:
1. Prof. Dr. Peter Fratzl
2. Prof. Dr. Lutz Schimansky-Geier
3. Prof. Dr. Franz-Dieter Fischer
eingereicht am: 8. September 2005
Tag der mündlichen Prüfung: 10. Januar 2006Abstract
This thesis presents the results of investigations on three independent re-
search topics of modern biophysical and materials science research: sub-
stitutional diffusion in binary alloys, the remodelling process in trabecular
bone and the prediction of mechanical properties of self assembling, am-
phiphilic bilayers. The basic description of all three projects is based on
lattice models, a highly successful class of models that are used in several
fields of modern physics to describe physical processes. For the diffusional
process in alloys, which on a microscopic scale manifests itself in a discrete
site exchange between one atom and a neighbouring vacancy, it was investi-
gated how this microscopic description can be reconciled with a macroscopic
continuum model. In a computer simulation exact microscopic averages were
used to determine macroscopic properties, like Onsager’s coefficients. These
were then compared to theoretical predictions of different accuracy. Fol-
lowing the same strategy – comparing averaged results from microscopical
simulations with purely continuum mechanical calculations – interdiffusion
problems were investigated. It was shown that for obtaining an appropriate
macroscopic description it is essential to fully include the behaviour of the
vacancy in the description, which is – due its complexity – often omitted.
For the investigations on remodelling of trabecular bone, bone’s architec-
turewasmappedontoalatticeandthelocalmechanicalstateofeachelement
was determined by a simplified mechanical model. A local remodelling law
was then used to translate this mechanical information into a signal that
determined the rate of change of the architecture at that special point. This
rate of change was given by a stochastic description, i.e. the remodelling law
gave the probabilities for bone formation and resorption, respectively. The
development of the model was guided by the aim to give a good balance in
the accuracy of the description of the mechanical and biological part. The
simple, but fast, algorithm to assess the mechanical properties of the struc-
ture gave the possibility to test a variety of biological hypotheses, concerning
the special form of the remodelling law. It was shown that a stochastic
description of the remodelling process demands the formulation of both, a
formation and a resorption probability, since – in contrast to conventional
simulations with deterministic rate equations – a pure net effect does not
suffice to describe the process. Furthermore it was shown that a non-linear
remodelling law is a better candidate to describe the remodelling process
in real bone than a linear one. Finally the model was used to describe os-
teoporosis, a wide spread disease affecting trabecular architecture. It wasconcluded that in the features attributed to osteoporosis one has to distin-
guish between normal ageing of bone’s architecture and additional changes
that stem from pathological alterations in the regulatory system.
A simple concept was introduced to model the mechanical properties of
self-assembled membranes. The (amphiphilic) molecules forming the mem-
brane are assumed to occupy a regular lattice, nearest neighbours are con-
nected by linear, elastic springs. Different spring constants are assumed
for different atomic pairs. The full elastic matrix of a given structure was
solved and the elastic modulus, the Poisson ratio and the bending rigidity
of the system determined. It was shown that the bending rigidity exhibits
a pronounced concentration dependence, varying over orders of magnitude
in a small concentration regime, giving very flexible membranes at one end
(bending rigidities of the order of kT), very stiff ones at the other (bending
rigidities up to three orders of magnitude larger than kT).
Keywords:
Diffusion, Onsager Coefficients, Interdiffusion, Bone Remodelling,
Osteoporosis, Amphiphilic Membranes, Computer Simulation
iiiZusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurden drei unabhängige Problemfelder moder-
ner biophysikalischer und materialwissenschaftlicher Forschung untersucht:
substitutionelle Diffusion in binären Legierungen, der Umbauprozess in tra-
bekulärem Knochen und die Voraussage mechanischer Eigenschaften, ins-
besondere der Biegesteifigkeit, selbstorganisierender amphiphiler Membrane.
Für alle drei Problemfelder wurden Gittermodelle gewählt, um ausgesuchte
Fragestellungen zu untersuchen. Für den Fall der Diffusion in Legierungen
war dies inwieweit sich der Diffusionprozess, der sich auf atomarer Ebene als
diskretePlatztäuschevoneinzelnenAtomenundLeerstellenmanifestiert,auf
einer größeren, makroskopischen, Ebene mit Hilfe einer kontinuumstheoreti-
schen Theorie beschreiben lässt. Zu diesem Zwecke wurden exakte mikrosko-
pische Mittelwerte herangezogen, um makroskopische Größen, insbesondere
die Onsager Koeffizienten, zu bestimmen. Die so erhaltenen Koeffizienten
wurden dann mit theoretischen Voraussagen unterschiedlicher Genauigkeit
verglichen.ZusätzlichwurdedastechnologischwichtigeProblemderInterdif-
fusionuntersucht,wobeiauchhierdieexakteatomistischeDiffusioneinerma-
kroskopischen kontinuumsmechanischen Berechnung gegenübergestellt wur-
de. Es zeigt sich, dass die sorgfältige thermodynamische Berücksichtigung
der Leerstellen für eine genaue Beschreibung des Problems auf einer makro-
skopischen Ebene essentiell, aber auch sehr schwierig ist.
Im Fall der Beschreibung des Umbauprozesses in trabekulärem Knochen
wurde die spongiöse Architektur des Knochens auf ein Gitter abgebildet und
mittels einer vereinfachten mechanischen Beschreibung die lokale Belastung
in jedem Knochenelement bestimmt. Mittels einem ebenfalls lokalem Um-
baugesetz wurde diese mechanische Information in ein Signal umgesetzt, das
den Umbau der Struktur an jedem ihrer Punkte bestimmte. Der Umbau der
Struktur wurde durch eine stochastische Beschreibung vorgegeben, das Um-
baugesetz gab eine lokale Wahrscheinlichkeit für den An- bzw. Abbau eines
Knochenelements in jedem Punkt. Bei der Entwicklung dieses Modells wur-
de besonderer Wert auf eine ausgewogene Bilanz zwischen mechanischer und
biologischer Beschreibung des Prozesses gelegt. Der schnelle, wenn auch ver-
einfachende, Algorithmus zur mechanischen Beschreibung der Struktur gab
die Möglichkeit mehrere biologische Hypothesen bezüglich der genauen Form
desUmbaugesetzeszuprüfenundaufderenPlausibilitätzuprüfen.Eswurde
gezeigt, dass die stochastische Beschreibung des Umbauprozesses die genaue
Formulierung einer An- und Abbauwahrscheinlichkeit verlangt, da eine reine
Netto-Anbaurate das Problem nicht ausreichend beschreiben kann. Weitersergaben die Untersuchungen, dass ein nicht-lineares Umbaugesetz bessere
Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen als ein rein lineares lie-
fert. Weiters wurde das Krankheitsbild der Osteoporose untersucht und es
konnte eine Unterscheidung zwischen einem normalen Alterungsprozess der
Knochenstruktur und einer krankhaften Veränderung gezogen werden.
Um die mechanischen Eigenschaften selbstorganisierender Membrane zu
bestimmen, wurden linear elastische Federkräfte zwischen benachbarten Mo-
lekülen angenommen. Die Moleküle selbst waren auf einem regulären Git-
ter angeordnet. Die elastischen Gleichungen wurden für unterschiedliche An-
ordnungen der Moleküle und unterschiedliche Konzentrationen gelöst. Die
volle elastische Matrix und daraus die gewünschten Eigenschaften wurden
bestimmt. Es wurde gezeigt, dass die Biegesteifigkeit solcher Membrane in
einem begrenzten Konzentrationsbereich um mehrere Größenordnungen va-
riieren kann – von extrem weich mit einer Biegesteifigkeit unter kT bis sehr
steif mit einer Biegesteifigkeit von mehreren hundert kT.
Schlagwörter:
Diffusion, Onsager Koeffizienten, Interdiffusion, Knochenumbau,
Osteoporose, amphiphile Membrane, Computersimulation
vviDa verlor ich den leichten Mut,
zu wissen begehrt’ es den Gott
Die Walküre, 2. Aufzug
Doch niemals Launen, immer ein Müssen!
Immer ein neues beklommenes Staunen.
Ariadne auf Naxos, Oper
Tutto nel mondo è burla.
L’uom è nato burlone,
La fede in cor gli ciurla,
Gli ciurla la ragione.
Falstaff, Atto TerzoviiiContents
1 Introduction 1
I Diffusion in multicomponent alloys 7
2 Basics of Diffusion 11
2.1 Macroscopic diffusion laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12