Leçons sur les fonctions discontinués, professées au Collège de France. Rédigées par A. Denjoy

René Louis Baire

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Extrait

7
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LEÇONS
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LES FONCTIONS DISCONTINUES.GAUÏHIER-VILLARS.LIBRAIRIE
DE MONOGRAPHIES SUR LA THEORIE DESCOLLECTION FONCTIONS,
PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE BOREL.
sur la théorie des fonctions {Éléments de la théorieLeçons des
ensembles et applications), par M. Emile Borel, 1898 3 fr. 5o
sur les fonctions entières, par M. EmileLeçons Borel, 1900 3 fr. 5o sur les séries divergentes, par M. Emile ^^ 1901 iv. bo
Leçons sur les à termes positifs, professées au Collège de
France par M. Emile Borel et rédigées par M. Robert d'Adhémar,
1902 3 fr. 5o
Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de
France par M. Emile Borel et rédigées par M. Ludovic Zoretti, 1903. 3 fr. 00
Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi-
tives, professées au Collège de France par M. Henri Lebesgue, 3 fr. 5o1904.
Leçons sur les fonctions de variables réelles et les dévelop-
pements en séries de polynômes, professées à l'École Normale
supérieure par M. Emile Borel, rédigées par M. Maurice Fréchet
avec des Notes par M. Paul Painlevé et M. Henri Lebesgue, 1905.. . 4 fr. 5o
sous presse :
Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, par
M. Ernst Lindelof.
EN PRÉPARATION :
Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plu-
sieurs variables complexes, par M. Pierre Coxjsin.
Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, par
M. Emile Borel.
Leçons sur les Correspondances entre variables réelles, par M. Jules
Drach.
Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini, par
M. Otto Blumenthal.
Leçons sur les séries trigonométriques, par M. Henri Lebesgue.2ïTt
COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS
PUBLIÉE SOUS LA DE M. ÉmILE BOREL.DIRECTION
LEÇONS
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SUR
LES FONCTIONS DISCONTINUES
PROFESSÉES COLLÈGE DE FRANGEAU
PAR
René BAIRE,
MAITRE DE CONFERENCES
DES SCIENCES DEA LA FACULTÉ MONTPELLIER.
RÉDIGÉES
A. DENJOY,
ÉLÈVE DE l'École normale supérieure.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, LMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUREAU DES LONGITUDES. DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Auguslins, 55.
1905
(Jroils réserfcs.)(Tous
' ''**'«*"(•?,.,.351PRÉFACE.
Si l'on un coup d'œil sur le début d'un Cours d'Analysejette
classique, une chose manquera pas frapper l'esprit. Lesne de
notions fondamentales sont présentées tout d'abord au moyen
d'une définition extrêmement générale; puis, immédiatement
après, des restrictions sont apportées à ces définitions, de manière
à limiter le champ d'études, et c'est grâce à cette limitation qu'il
est possible d'aller de l'avant et de construire les différentes
théories qui constituent la science mathématique.
Il est alors légitime de rechercher s'il n'est pas possible, en
remontant aux définitions premières, d'en tirer des conséquences
intéressantes tout en leur conservant autant que possible leur
généralité. On peut ainsi se proposer de constituer, à côté de
l'Analyse courante, branche deune autre l'Analyse, qui, bien
entendu, suivra de très loin la première, en tant que quantité de
résultats acquis, mais qui, en revanche, aura l'avantage de fournir
des énoncés plus complets.
A cette partie des Mathématiques se rattachent les travaux, déjà
nombreux, faits en ces quarante dernières années, sur les fonctions
discontinues, les fonctions sans dérivées, les fonctions pourvues de
dérivées de tous ordres, mais non développables en série de
Taylor, l'intégration des fonctions les plus générales, la définition
générale des courbes fermées dans le plan, etc.
11 est bien remarquable d'ailleurs que l'Analyse courante nePRÉFACE.VI
passer des considérations qui fontpeut pas indéfiniment se l'objet
nous parlons. Les singularités de toutes sortes,de la branche dont
les discontinuités, par exemple, s'introduisent d'elles-mêmes,
dansqu'on le veuille ou non, des questions d'où le chercheur
écarter.aurait souhaité les
Cette assertion paraît d'ailleurs confirmée au point de vue histo-
rique. Paul du Bois-Reymond déclare, dans la préface de son
ouvrage philosophique sur la Théorie des fonctions, que c'est
« le besoin de voir clair dans les intégrales des équations différen-
tielles du second ordre » qui l'a conduit à faire une étude appro-
fondie de la notion même de fonction. M. Georg Cantor paraît,
lui aussi, avoir été amené théorieà ses belles conceptions sur la
des ensembles en cherchant étendre certains résultats relatifsà
aux séries trigonométriqués.
Au point de vue des applications, il peut sembler prématuré de
se demander si de telles considérations peuvent avoir quelque
importance pratique. Cependant, il est bien permis de remarquer
que, dans l'interprétation mathématique des phénomènes naturels,
on fait tour à tour, et en quelque sorte suivant les besoins de la
cause, appel aux deux notions de continu de discontinu. S'il estet
vrai par exemple qu'en Mécanique on suppose en général que les
vitesses varient d'une manière continue, dans la théorie des chocs
et des percussions, on raisonne comme si ces vitesses subissaient
des variations brusques. Il s'agit quene d'approximations, c'est
entendu; mais on voit que le discontinu, tout comme le continu,
peut servir dans l'approximation. Certaines théories de Physique,
de Chimie, de Minéralogie, ne sont pas sans présenter quelque
analogie avec le discontinu mathématique. Dans tous les cas, en
dépit du vieil adage heureusement démodé, rien ne permet d'af-
firmer que (( la nature ne fait pas de sauts ». Dans ces conditions,
le devoir du mathématicien n'est-il pas de commencer par étudier,
in abstracto, les rapports de ces deux notions, continu et discon-
tinu, (jui, tout en s'opposant l'une à l'autre, sont intimement liées