Measures and dynamics of entangled states [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Florian Mintert

Mintert, M. Florian

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• Physik

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 62
• Langue: Deutsch

Extrait

Measures and dynamics of entangled states
Dissertation der Fakult at fur Physik
der Ludwig-Maximilians-Universit at Munc hen
vorgelegt von Florian Mintert
aus Munc hen
Munc hen, den 1. M arz 20041. Gutachter: PD Dr. Andreas Buchleitner
2. Gutachter: Prof. Dr. Herbert Spohn
Tag der mundlic hen Prufung: 7. Mai 2004a
Zusammenfassung
Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit entwickeln wir eine Theorie zur
quantitativen Absch atzung der Verschr ankung gemischter Quantenzust ande
von Zweiparteiensystemen. Wir leiten obere und untere Schranken der
Concurrence fur beliebige endliche Dimensionen her, was es insbesondere
erm oglicht, ein endliches Intervall fur deren tats achlichen Wert anzugeben.
Wir testen diese Schranken an unterschiedlichen Typen quantenmechanischer
Zust ande und erhalten verl a lic he Beschreibungen. Ausserdem ist unsere
untere Schranke in der Lage, die nichttriviale Verschr ankung von Zust an-
den mit positiver partieller Transponierter zu erkennen. Im Hinblick auf
konkrete experimentelle Anforderungen geben wir eine explizite N aherung
fur nahezu reine - d.h. schwach gemischte - Zust ande an, die eine rein
algebraische Absch atzung erm oglicht. Deren Vergleich mit den allgemeiner
gultigen oberen und unteren Schranken zeigt, da ihr Gultigk eitsbereich sich
sogar auf Zust ande mit relativ starkem Mischungsgrad erstreckt. Schlie lic h
schlagen wir eine m ogliche Verallgemeinerung der Concurrence fur Systeme
mit beliebig vielen Untersystemen vor. Es zeigt sich, da diese verallgemein-
erte Concurrence mit Hilfe derselben Methoden quantitativ gefa t werden
kann, die auch in unserer Behandlung von Zweiparteiensystemen zum Ziel
fuhren.
Diese neuen Methoden zur Absch atzung des Verschr ankungsgrades be-
liebiger gemischter Zust ande erm oglichen es, die Erzeugung und den Zerfall
von Verschr ankung unter dem Ein u koh arenter und inkoh arenter Prozesse
mit vergleichweise geringem Aufwand zu verfolgen, was wir mit der Anwen-
dung unserer Theorie auf ein fur Ionenfallenexperimente typisches Szenario
zeigen.
Der zweite Teil der Arbeit liefert eine quantitative Charakterisierung
reiner Zust ande von Zweiparteiensystemen, die sich direkt auf Systeme mit
einer beliebigen Anzahl von Unterteilungen verallgemeinern l a t. Hierzu
benutzen wir geeignet de nierte Quasiwahrscheinlichkeitsverteilungen und
zeigen, da deren statistische Momente oder Entropien, die ihre Lokalisie-
rungseigenschaften beschreiben, unter lokalen Operationen und klassischer
Kommunikation nicht anwachsen und somit Verschr ankungsmonotone sind.bc
Abstract
In the rst part of the present thesis, we derive a theory for quantifying
entanglement of mixed bipartite quantum states. We derive upper and lower
bounds for the concurrence of quantum states in arbitrary nite dimensions,
such as to con ne its actual value to a nite interval. We test these estimates
for various sets of states with very satisfactory results. In particular, our
lower bound detects entangled states with positive partial transpose. In
view of the speci c requirements of laboratory experiments, we derive an
approximate expression for the concurrence of almost pure - i.e. weakly
mixed - states. Comparison of this quasi-pure approximation with the above
upper and lower bounds shows that its range of validity even comprises states
with relatively large mixing. Finally, we propose a generalised concurrence
for multipartite mixed states. For its quantitative characterisation, we can
use the same strategies as in our treatment of bipartite systems.
These novel techniques for a quantitative description of the entanglement
of mixed states allow to monitor the production and the decay of entangle-
ment under coherent and incoherent forcing - as we show by applying our
theory to a realistic scenario of ion trap experiments.
In the second part of the thesis, we introduce suitably de ned quasi prob-
ability representations such as to quantify the entanglement of pure bipartite
states, with an immediate generalisation for pure states of multipartite sys-
tems. It is shown that the statistical moments as well as various entropies
of these representations - characterising their localisation properties - are
non-increasing under local operations and classical communication, hence
that they are proper entanglement monotones.dI am grateful for three inspiring, instructive and - most of all - wonderful
years working with Andreas Buchleitner. I enjoy commemorating not only
an encouraging and stimulating collaboration, but also lots of discussions
about - and in particular also not about - my project.
I especially enjoyed and bene te d from several visits to Krak ow and War-
szawa, funded by the project ‘Entanglement measures and he in uenc e of
noise’ by VW-foundation. In Krak ow, I had the opportunity to bene t from
_a very nice collaboration with Karol Zyczkowski, who - apart from our re-
search project - also encouraged my attempts to learn Polish. In Warszawa,
I bene te d tremendously from numerous discussions and a joint project with
Marek Kus.
I am particularly thankful to my parents for a great support during all
my studies.
Among all those people who made my last years a wonderful time, I
am especially grateful to Andre Ricardo Ribeiro de Carvalho, Andreas Krug,
Cord Mul ler, Javier Madroner~ o, Jim ‘Jiminator’ Hague, Kenfack ‘Kenchen’,
Klaus Quedenbaum, Nilufer ‘Nili’ Baba, Nils Hasselmann, Thomas ‘Thom-
asito’ Wellens and last but not least the ‘Bios’ Alex, Andi, Bj orn, Gernot,
Tobias and Thomas.fContents
1 Introduction 1
2 State of the art 5
2.1 Entangled states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Schmidt decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Separability criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Entanglement monotones and measures . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Quantum operations and LOCC . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Entanglement monotones . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Ent measures . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Algebraically computable measures . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Entanglement of formation . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Negativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Concurrence 23
3.1 Extension to higher dimensional systems . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Mixed states in higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Algebraic properties of A andA . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Expansion ofA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Lower bound versus concurrence vector . . . . . . . . 38
3.4.2 Concurrence of two-level systems . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 Tightness of the lower bound . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.4 Some exemplary ppt states . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Quasi-pure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Concurrence in multi-partite systems . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Applications of our theory 51
4.1 Random evolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Trapped ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Bipartite correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
gh CONTENTS
4.2.2 Multi-partite correlations . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Beyond reduced density matrices 73
5.1 Technical tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Husimi function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.3 Moments of the Husimi function . . . . . . . . . . . . 76
5.1.4 Monotonicity under LOCC . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Entanglement monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Rescaled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Wehrl entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.3 Renyi-Wehrl entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Towards multi-partite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Outlook 85
A Derivation of the moments 87
A.1 Moments of the Husimi function . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.1.1 x-integrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.1.2 N -summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.2 Integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92