Mirror Symmetry in the presence of Branes [Elektronische Ressource] / Adrian Mertens. Betreuer: Christian Römelsberger

Adrian Mertens

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 7
• Langue: English

Extrait

Mirror Symmetry in the presence of Branes
Adrian Mertens
Munchen 2011Mirror Symmetry in the presence of Branes
Adrian Mertens
Doktorarbeit
an der Fakult at fur Physik
der Ludwig{Maximilians{Universit at
Munc hen
vorgelegt von
Adrian Mertens
aus Munc hen
Munc hen, den 17. August 2011Erstgutachter: Prof. Dr. Christian R omelsberger
Zweitgutachter: Prof. Dr. Peter Mayr
Tag der mundlic hen Prufung: 11. Oktober 2011Contents
Zusammenfassung vii
Abstract ix
Motivation and Overview xi
1 Introduction: Mirror symmetry 1
1.1 The topological A- and B-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Gauged Linear Sigma Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Polytopes and the construction of Batyrev . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Picard Fuchs equations and GKZ system . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 The mirror map and correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 The inclusion of branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Branes with nearly at superpotential 17
2.1 Geometry and deformation space of the B-model . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Generalized hypergeometric systems for relative periods . . . . . . . . 23
2.3 Gauss-Manin connection and integrability conditions . . . . . . . . . 28
2.3.1 Gauss-Manin connection on the open-closed deformation space 28
2.3.2 Integrability conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Large radius invariants for the A-model . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Relation to CFT correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Rigid branes 43
3.1 Superpotentials, domainwall tensions and periods . . . . . . . . . . . 43
3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Degree 12 hypersurface inP . . . . . . . . . . . . . . . 471;2;2;3;4
3.2.2 14 hyp inP . . . . . . . . . . . . . . . . 571;2;2;2;7
3.2.3 Degree 18 hypersurface inP . . . . . . . . . . . . . . . . 621;2;3;3;9
3.2.4 12 hyp inP . . . . . . . . . . . . . . . . 651;2;3;3;3
3.3 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Mirror Symmetry and NS5 branes 71
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 The dual geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 NS5 brane on a Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 NS5 brane on a K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Divisors and Monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.1 Torus, charge 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6.2 Torus, charge 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.3 Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Parallel branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.1 Conifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.2 Quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Appendix: Extended polytopes 91
Bibliography 93
Acknowledgements 101
Curriculum vitae 103Zusammenfassung
Diese Arbeit behandelt Mirrorsymmetrie fur N = 1 Kompakti zierungen auf kom-
pakten complex dreidimensionalen Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten mit Branen. Das
wichtigste Hilfsmittel ist ein Raum von kombinierten Deformationen der Calabi-Yau
und einer Hyper ache in der Calabi-Yau. Die Perioden dieses Deformationsraums
enthalten zus atzlich zu den Daten ub er den geschlossenen String Informationen ub er
Branen des B-Modells in dieser Hyper ache. Um diese Perioden zu studieren, ve-
rallgemeinern wir Techniken aus der Mirrorsymmetrie geschlossener Strings. Wir
leiten das Picard-Fuchs System her und kodieren es in erweiterten torischen Poly-
topen. L osungen der Picard-Fuchs Gleichungen ergeben Superpotentiale fur bes-
timmte Kon gurationen von Branen. Dies ist eine e ziente Methode Superpo-
tentiale zu berechnen. Fur alle Branen mit nichttrivialem Superpotential sind die
studierten Deformationen massiv. Je nach Wahl der Familie von Hyper achen h angt
das Superpotential der e ektiven Theorie von unterschiedlichen massiven Feldern ab.
A priori gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass diese Felder leichter sind als
andere, die nicht beruc ksichtigt wurden. Doch wir nden Beispiele in denen das
Superpotential fasst ach ist. Fur diese Beispiele benutzen wir den Gauss-Manin
Zusammenhang auf dem kombinierten Deformationsraum, um eine Mirror Abbil-
dung fur Deformationen der Bran zu de nieren. Mit Hilfe dieser Abbildung nden
wir durch Instantonen erzeugte Superpotentiale von Branen des A-Modells. Dies
fuhrt zu Vorhersagen fur Ooguri-Vafa Invarianten, die holomorphe Fl achen mit der
Topologie einer Scheibe az hlen, die auf einer Lagrange Bran auf der Quintic enden.
Eine zweite Klasse von Beispielen hat keine ausgezeichneten, fasst masselosen Defor-
mationen und es ist m oglich, das gleiche on-shell Superpotential mit Hilfe von ver-
schiedene Familien von Hyper achen zu berechnen. Wir berechnen Superpotentiale
fur Branen in Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten mit mehreren Deformationsparame-
tern. Wir bilden die on-shell Superpotentiale auf das A-Modell ab und erhalten
Vorhersagen fur Scheibeninvarianten.
Der kombinierte Deformationsraum und der durch Quantene ekte korrigierte K ahler
Deformationsraum bestimmter nichtkompakter, complex vierdimensionaler Calabi-
Yau Mannigfaltigkeiten sind aquiv alent. Diese vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten
sind Faserungen von dreidimensionalen Calabi-Yaus ub er der Ebene. Durch Studium
von Monodromien der komplexen Struktur der Fasern nden wir Hinweise, dass
sie mirrordual zu der Calabi-Yau mit Hyper ache, die den kombinierten Deforma-
tionsraum de niert, sind - vorausgesetzt die Hyper ache wird von einer NS5 Branviii Zusammenfassung
gewickelt. Darauf gestutzt stellen wir eine einfache Regel vor, um mirrorduale Ge-
ometrien zu Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten mit NS5 Bran auf einer Hyper ache zu
konstruieren.Abstract
This work deals with mirror symmetry for N = 1 compacti cations on compact
Calabi-Yau threefolds with branes. The mayor tool is a combined deformation space
for the Calabi-Yau and a hypersurface within it. Periods of this deformation space
contain information about B-type branes within the hypersurface in addition to the
usual closed string data. To study these periods we generalize techniques used in
closed string mirror symmetry. We derive the Picard-Fuchs system and encode the
information in extended toric polytopes. Solutions of the Picard-Fuchs equations
give superpotentials for certain brane con gurations. This is an e cient way to
calculate superpotentials. The deformations we consider are massive for all branes
with non trivial superpotential. Depending on a choice of a family of hypersurfaces,
the superpotential of the e ective low energy theory depends on di erent massive
elds. A priori there is no reason for these elds to be lighter then other elds that
are not included. We nd however examples where the superpotential is nearly at.
In these examples we use the Gauss-Manin connection on the combined deformation
space to de ne an open string mirror map. We nd instanton generated superpoten-
tials of A-type branes. This gives predictions for Ooguri-Vafa invariants counting
holomorphic disks that end on a Lagrangian brane on the Quintic.
A second class of examples does not have preferred nearly massless deformations
and di erent families of hypersurfaces can be used to calculate the same on-shell
superpotential. We calculate examples of superpotentials for branes in Calabi-Yau
manifolds with several moduli. The on-shell superpotentials are mapped to the
mirror A-model to study the instanton expansion and to obtain predictions for disk
invariants.
The combined deformation spaces are equivalent to the quantum corrected K ahler
deformation spaces of certain non compact Calabi-Yau fourfolds. These fourfolds
are brations of Calabi-Yau threefolds over the plain. We study complex structure
monodromies of the bers and nd evidence that they are mirror to the Calabi-Yau
manifold with hypersurface that de nes the combined deformation space, provided
an NS5 brane is wrapped on the hypersurface. This gives a simple rule how to con-
struct mirrors to Calabi-Yau manifolds with NS5 branes wrapped on hypersurfaces.x Abstract