N= 1 and non-supersymmetric open string theories in six and four space-time dimensions [Elektronische Ressource] / von Lars Görlich

Lars Go127 Orlich

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2003
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

N = 1 and non-supersymmetric open string theories
in six and four space-time dimensions
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at I
Humboldt-Universit¨at zu Berlin
von
Herrn Dipl.-Phys. Lars Go¨rlich
geboren am 01.01.1973 in Kassel
Pr¨asident der Humboldt-Universit¨at zu Berlin:
Prof. Dr. Jurg¨ en Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at I:
Prof. Dr. Michael Linscheid
Gutachter:
1. Prof. Dr. Dieter Lust¨
2. Prof. Dr. Stefan Theisen
3. Prof. Dr. Jan Louis
eingereicht am: 11. August 2003
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 22. Oktober 2003Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beinhaltet ein einfuh¨ rendes Kapitel ub¨ er Orbifold-Kon-
struktionenindemnebenrudimentarenGrundlagenbereitsspeziellereThemen¨
wie Diskrete Torsion und asymmetrische Orbifold-Gruppen behandelt werden.
Als Beispiele fur Orbifolde werden Kompaktifizierungen auf Tori sowie das¨
4 L Rasymmetrische T /Z ×Z Orbifold behandelt.3 3
Danach wird eine allgemein gehaltene Einfuh¨ rung in Orientifolde gegeben,
einschließlich des offenen String Sektors samt Chan-Paton Freiheitsgraden.
Die darauf folgenden Kapitel 4-7 behandeln von mir durchgefuh¨ rte For-
schungsarbeiten.
Kapitel 4 besch¨aftigt sich mit der Quantisierung des offenen Strings mit
linearen Randbedingungen, wie sie bei Strings in elektro-magnetischen Feldern
auftreten. Weiterhin wird die Quantisierung der Null- und Impuls-Moden des
offenenStringsinTorus-Kompaktifizierungendurchgefuhrt.Außerdemwirdfur¨ ¨
denFallallgemeinerkonstanterHintergrundNeveu-SchwarzU(1)-Hintergrund-
felder der Kommutator der Stringkoordinaten berechnet. Dieser stut¨ zt bishe-
rige Resultate zur Nicht-Kommutativitat von offenen Stringtheorien in Neveu-¨
Schwarz Hintergrun¨ den.
Kapitel5gibt,zusammenmiteinigenneuenErkenntnissen,Resultatevon[1]
ub¨ er asymmetrische Orientifolde, insbesondere deren D-Branen Inhalt wieder.
Kapitel 6 faßt die Veroffentlichung [2] zusammen, in der untersucht wurde, in-¨
wieweit sich ph¨anomenolgisch interessante Modelle in Orientifolden von Torus-
Kompaktifizierungen finden lassen. Insbesondere tragen die D9-Branen magne-
tischeFlusse¨ ,womitchiraleFermionenimSpektrumauftreten.DieRechnungen
werden großtenteils im gleichwertigen, T-dualen Bild ausgefuhrt. In diesem ist¨ ¨
die Anzahl der chiralen Fermionen durch die topologische Schnittzahl der D-
Branen gegeben.
Existieren auf Torus-Kompaktifizierungen entweder nur nicht-chirale oder
nicht-supersymmetrische Modelle, so lassen sich auf gewissen Orbifolden beide
Eigenschaften miteinander vereinbaren. Kapitel 7 behandelt das σ¯Ω-Orienti-
6fold auf einem T /Z Orbifold. Als besonders interessantes Beispiel wird ein4
3 3supersymmetrisches U(4)×U(2) ×U(2) Modell vorgestellt, daß durch Ein-
L R
schalten geeigneter Hintergrundfelder in der effektiven Niederenergie-Wirkung
auf ein Modell gebrochen wird, daß dem MSSM (minimalem supersymmetri-
schen Standard Modell) sehr ¨ahnlich ist. Dieses Kapitel basiert auf unserer
Publikation [3].
Ferner ist der Arbeit ein Anhang beigefugt, der einige der verwendeten For-¨
meln sowie Beweise zu zwei Satze¨ n enth¨alt, die im Text verwendet wurden.
Schlagworter:¨
String Theorie, Orientifolds, offene Strings, D-Branen, supersymmetrische Mo-
delle, String Phanomenologie¨Abstract
This thesis contains an introductory chapter on orbifolds. Besides rudimentary
basics we discuss more advanced topics like discrete torsion and asymmetric
orbifold groups. As examples we investigate torus compactifications and an
4 L Rasymmetric T /Z ×Z orbifold.3 3
The following chapter explains the foundations of orientifolds, including
open strings with Chan-Paton degrees of freedom.
Chapters 4-7 present own research.
In chapter 4 we quantize open strings with linear boundary conditions, as
theyshowupinelectro-magneticfields. Wequantizethezero-andmomentum-
modes for toroidal compactifications, too. As an application we calculate the
commutator of the coordinate fields in the case of general constant Neveu-
Schwarz U(1)-field strengths. Thereby we confirm previous results on non-
commutativity of open string theories in Neveu-Schwarz backgrounds.
Chapter 5 reviews the results of a former publication [1] on asymmetric
orientifolds, supplemented by some recent insights in connection with the pre-
ceeding chapter.
Chapter 6 is a summary of [2]. In this publication we investigated to what
extendonecanbuildphenomenologicallyinterestingmodelsfromtoroidalorien-
tifolds. By turning on magnetic fluxes on D9-branes we induce chiral fermions.
Most calculations are performed in an (equivalent) T-dual picture. Here the
number of chiral fermions is given by the topological intersection number of
D-branes.
In orientifolds of toroidal compactifications one obtains either non-chiral
or non-supersymmetric orientifold solutions. However both properties can be
reconciled in orientifolds that are obtained from specific supersymmetric or-
bifold compactifications. In chapter 7 we present the σ¯Ω-Orientifold on a
6T /Z orbifold. As a very attractive example we investigate a supersymmet-4
3 3 1ric U(4)×U(2) ×U(2) model that is broken to an MSSM -like model by
L R
switching on suitable background fields in the low energy effective action. This
chapter is based on our publication [3].
The thesis is supplemented by an appendix with formulæ applied in the
text, as well as proofs to two theorems that were used as well.
Keywords:
stringtheory,orientifolds,openstrings,D-branes,supersymmetricmodels,string
phenomenology
1
“MSSM”= minimal supersymmetric Standard ModelContents
List of Figures vii
List of Tables ix
1 Introduction 2
1.1 String theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quantization of classical strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 String theory as a theory of quantum gravity . . . . . . . . . . . 8
1.4 Supersymmetric string theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Compactifications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Open strings and unoriented string theories . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Chiral fermions in open string theories . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Orbifolds 25
2.1 General construction of orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Torus compactification as an orbifold . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Moduli-spaceoftoroidalcompactifications,T-dualitygroup
and symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
22.2.2 Compactification on T , T-duality and symmetries . . . . 36
2.2.2.1 Points of enhanced symmetry in the moduli
space SO(2,2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
22.2.2.2 The world-sheet-parity on T . . . . . . . . . . . 40
2.3 Toroidal orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Space-time supersymmetric (toroidal) orbifolds . . . . . . 45
2 2 L R2.4 The asymmetric (T ×T )/(Z ×Z )) orbifold . . . . . . . . . 473 3
3 Orientifolds 54
3.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 SΩ-invariant closed-string spectra and Klein bottle amplitude . . 55
3.2.1 Closed-string tadpoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Open-strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Chan Paton factors and gauge symmetries . . . . . . . . . 66
3.3.1.1 Open-strings on orbifolds . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 sΩ-invariant open-string sector . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.3 M¨obius amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.4 Orientifolds of supersymmetric strings . . . . . . . . . . . 82
3.3.4.1 Fermionic sector of the Klein bottle . . . . . . . 83
iii3.3.4.2 Fermionic sector of the Cylinder . . . . . . . . . 85
3.3.4.3 Fic sector of the M¨obius strip . . . . . . . 85
Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Open Strings in Electro-Magnetic Background-Fields 87
4.1 Action and boundary conditions of the open string . . . . . . . . 88
4.1.1 Open strings with two boundaries . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.2 Solution to linear boundary conditions for the cylinder . . 92
4.1.2.1 World sheet momentum and Hamiltonian . . . . 93
4.2 Quantization of open strings with linear boundary conditions . . 94
4.2.1 Canonical two-form and canonical quantization . . . . . . 95
4.2.1.1 Quantization of zero- and linear-modes . . . . . 95
4.2.1.2 Quan of oscillator modes . . . . . . . . . 98
4.2.1.3 Quantization of zero and momentum modes in
toroidal compactifications . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2 Hilbert-space, further quantization . . . . . . . . . . . . . 105
04.3 The commutator [X(τ,σ),X(τ,σ )] . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1 The commutator [X(τ,0),X(τ,0)] . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.2 The commutator [X(τ,π),X(τ,π)] . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Space-timesupersymmetryofopenstringsinconstantbackgrounds112
4.4.1 Closed form of th