On numerical simulation of granular flow [Elektronische Ressource] / Sebastian Schmidt

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• Mathematics
• Physik

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• Publié par: technische_universitat_kaiserslautern
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

On numerical simulation of granular flow
Sebastian Schmidt
Vom Fachbereich Mathematik der Universit¨at
Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften (Doctor rerum naturalium, Dr. rer. nat.)
genehmigte Dissertation.
Gutachter:
PD Dr. Oleg Iliev,
Technische Universit¨at Kaiserslautern & Fraunhofer ITWM Kaiserslautern
Prof. Dr. Gun¨ ter B¨arwolff,
Technische Universit¨at Berlin
Datum der Disputation:
6. Juli 2009
D386Fur¨ meinen Opa
Herbert Schneider
Danksagungen
Ich m¨ochte mich zuallererst bei Dr. Oleg Iliev und Dr. Arnulf Latz fur¨ die intensive,
diskussionsreiche und lehrreiche Begleitung und Betreuung w¨ahrend der Entstehung
dieser Arbeit bedanken.
Fur¨ eine angenehme, freundschaftliche und vor allem vertrauensvolle Arbeit-
sumgebung bedanke ich mich bei der Abteilung SMS des Fraunhofer ITWM im All-
gemeinen und bei Dr. Konrad Steiner im Speziellen. Fur¨ interessante Anregungen
und Diskussionen m¨ochte ich mich weiterhin bei Dr. Heiko Andr¨a, Dr. Gunther¨
B¨arwolff, Dr. Andreas Wiegmann und Dr. Aivars Zemitis bedanken. Bei Dr. Dar-
iusz Niedziela bedanke ich mich fur¨ die gute Zusammenarbeit.
Bei Zahra Lakdawala bedanke ich mich fur¨ sehr angenehme Jahre im gemein-
samen Bur¨ o und viele neue kulturelle Sichtweisen. Bei Tobias Zangmeister bedanke
ich mich fur¨ viele gute Gespr¨ache, Entspannungen von dieser Arbeit und am Ende
ihre gewissenhafte und qualvolle Korrekturlesung.
Ganz besonders m¨ochte ich mich bei meinem Bruder, meinen Eltern und meiner
Großmutterfur¨ ihrebedingungsloseUnterstutzung¨ beijedemundauchdiesemVorhaben
bedanken.
Die Mathematiker, die nur Mathematiker sind,
denken also richtig, aber nur unter der Voraussetzung,
dass man ihnen alle Dinge durch Definitionen und Prinzipien erkl¨art;
sonst sind sie beschr¨ankt und unertr¨aglich,
denn sie denken nur dann richtig,
wenn es um sehr klare Prinzipien geht.
Blaise Pascal (1623 - 1662)Contents
Introduction 7
1 Models 13
1.1 The basic hydrodynamic model of fluid flow . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 The generalized Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Kinetic theory of granular gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Modeling the dilute and dense flow of grains . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Kinetic modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 An attempt to bridge kinetic and plastic models . . . . . . . . 21
1.3.3 Implemented model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Algorithms 29
2.1 Discussion on the type of numerical method . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Arguments for an implicit, pressure based splitting . . . . . . 31
2.1.2 The need for a nonlinear method . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 The treatment of the temperature equation. . . . . . . . . . . 33
2.2 General space discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Finite Volume space discretization. . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Introduction to fractional step methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 The variants of fractional step methods . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Linear pressure correction algorithm . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 A nonlinear based algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 Spatial discretization of the split system . . . . . . . . . . . . 46
2.4.3 Derivation of the nonlinear pressure equation. . . . . . . . . . 48
2.4.4 The Newton method and its variants . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.5 The nonlinear pressure algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.6 Detailed discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Initial and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Approximation of boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Initial conditions for the granular flow model . . . . . . . . . . 61
3 Validation and numerical simulations 63
3.1 The granular shear flow experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Validation of the granular flow model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Shear flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 The angle of repose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3 Sliding down a rough inclined plane . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 The stress tensor for granular flow. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Validation of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 CONTENTS
3.3.1 Newtonian flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.2 Solutions for different grid resolutions . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Numerical investigations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Compressibility regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.2 Mass conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.3 Bifurcating solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Simulation of industrial processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1 Emptying of silos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.2 Compactification of granular media . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Software 81
4.1 Architecture and components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.1 The framework components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.2 The implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.3 Discussion of the modular approach . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 A generalized approach to discretization . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Grid and volume data structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 The discretization process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Parallel linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 MPI data structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Assembly of the matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3 The nonlinear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.4 Discussion on the efficiency of the parallelization . . . . . . . . 95
4.4 Multiphase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Multiphase through coupling terms . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 th a coupled system . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Concluding remarks and outlook 99
A Appendix 103
A.1 Collaps in kinetic models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Dynamic Coulomb friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Notation 107
Bibliography 113Introduction
Granular materials show a wonderfully diverse set of behaviors. Make a sand cas-
tle, and the material appears solid. Push on the castle and it can fall down in an
avalanche-like pattern. Sometimes the avalanche moves the bulk of the material,
sometimes it is confined to a thin layer on the surface. Shake up crushed ice in a
martini shaker, and it moves like a gas. Try to pour salt through an orifice, and
it has a characteristic tendency to choke up and clog the orifice. Gas, liquid, solid,
plastic flow, glassy behavior - a granular material can mimic them all. In addition,
the properties of a granular material can depend upon its history. Tamped sand is
different from loose sand. But in many ways, a granular material is like an ordinary
fluid. Both types of material are composed of many small particles, and each has a
bulk behavior that hides the materials graininess. It is thus natural to ask whether
the same equations, concepts, and theories that work for molecular material also
apply to the granular form of matter.
1Leo P. Kadanoff, “Built upon sand”
About this work
The goal of this work is the simulation of granular flow. The definition of “gran-
ular flow” is a nontrivial task in itself, see for example [Dar03]. We say that it is
either the flow of grains in a vacuum or in a fluid. A grain is an observable piece of
a certain material, for example stone when we mean the flow of sand.
Choosing a hydrodynamic view on granular flow, we treat the granular material
as a fluid. A hydrodynamic model has to be developed, that describes the process
of flowing granular material. This is done through systems of partial differential
equations (PDEs) and algebraic relations. Solutions to these systems have to be
obtained to understand the process. The equations are in most cases so difficult to
solve that an analytical solution is out of reach. So approximate solutions must be
obtained.
Hence the next step is the choice or development of a numerical algorithm to
obtain approximate solutions of the model. Common to every problem in numerical
simulation, these two steps do not lead to a result without implementation of the
algorithm. Hencetheauthorattemptstopresentthisworkinthefollowingframe,to
participate in and contribute to the three areas Physics, Mathematics and Software
implementation and approach the simulation of granular flow in a combined and
interdis