ECOD·ODNEICS·MLUTÄTPortfolio Optimization with Risk ConstraintsDissertationzur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.der Fakult¨at fu¨r Mathematik und Wirtschaftswissenschaftender Universit¨at Ulmvorgelegt vonRalf Gandyaus Passau2005ISREVINU·ODNARUC·ODNAmtierender Dekan: Prof. Dr. Ulrich Stadtmu¨llerErstgutachter: Prof. Dr. Ulrich RiederZweitgutachter: Prof. Dr. Ru¨diger KieselTag der Promotion: 15. Juli 2005iiContentsContents iii1 Introduction 11.1 Problem Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Prior Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Risk Measures 72.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Fundamental Definitions and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Definition of Some Important Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Coherent Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Discussion of Several Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Expected Shortfall . . . . . . .