these

Description

`THESEen vue de l’obtention du titre deDocteur de L’Universit´e de Rouenpr´esent´ee parMohamed EL MACHKOURIDiscipline : Math´ematiques Appliqu´eesSp´ecialit´e : Probabilit´esTh´eor`emes limite pour les champs et les suites stationnairesde variables al´eatoires r´eellesDate de soutenance : 19 d´ecembre 2002Composition du JuryPr´esident : C. Dellacherie, Directeur de Recherche au CNRSRapporteurs : D. Bosq, Professeur, Universit´e Paris 6H. Dehling,ur, Ruhr-Universit¨at BochumExaminateurs : J. Dedecker, Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e Paris 6Y. Derriennic, Professeur, Universit´e de BrestD. Fourdrinier, Professeur, Universit´e de RouenE. Lesigne, Professeur, Universit´e de ToursB. Schmitt, Professeur, Universit´e de DijonDirecteur de Th`ese : D. Volny´, Professeur, Universit´e de RouenTh`ese pr´epar´ee `a l’Universit´e de RouenLaboratoire de Math´ematiques Rapha¨el Salem, UMR 6085`A mon p`ere qui nous a quitt´e le 14 septembre 2001.Je prie Dieu pour qu’il le prot`ege l`a ou` il est...`A ma m`ere et a` mes fr`eres et soeurs.REMERCIEMENTSTout d’abord, je voudrais remercier tr`es sinc´erement mon directeur de th`ese, D. Volny´ quipar ses comp´etences en math´ematiques et ses qualit´es humaines m’a accompagn´e efficace-ment tout au long de ce difficile exercice. Je tiens a` lui t´emoigner ici toute ma reconnais-sance.Un grand merci aussi a` H. Dehling et D. Bosq pour l’int´erˆet qu’ils ont port´e `a mon travailen acceptant de l’examiner.C. ...

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• Langue: Français

Extrait

H. Dehling, J. Dedecker, Y. Derriennic,

Professeur,Ruhr-Universita¨tBochum MaıˆtredeConfe´rences,Universite´Paris6 Professeur,Universite´deBrest

D. Fourdrinier, E. Lesigne,

Professeur,Universite´deRouen Professeur, Universit´ de Tours e Professeur,Universit´edeDijon Professeur,Universit´edeRouen

Date de soutenance :

19de´cembre2002

C. Dellacherie, D. Bosq,

Directeur de Recherche au CNRS Professeur,Universite´Paris6

Examinateurs

: :

Composition du Jury

Pr´esident Rapporteurs

:

B. Schmitt, D. Vol ´ ny,

:

DirecteurdeThe`se

Rouen

Mohamed EL MACHKOURI

pr´esent´eepar

stationnaires

` THESE

en vue de l’obtention du titre de

DocteurdeL’Universite´

de

Th´eor`emes

MathematiquesApplique´es ´ Probabilit´es

: :

Discipline Sp´ecialit´e

es suites re´elles

ite pour les champs et l devariablesale´atoires

lim

The`sepr´epare´e`al’Universite´deRouen LaboratoiredeMathe´matiquesRaphae¨lSalem,UMR6085

` Amonp`erequinousaquitt´le14septembre2001. e JeprieDieupourqu’illeprote`gela`o`uilest...

` Amam`ereet`amesfr`eresetsoeurs.

REMERCIEMENTS

Toutd’abord,jevoudraisremerciertre`ssinc´erementmondirecteurdethe`se,D.Voln´yqui parsescompe´tencesenmath´ematiquesetsesqualite´shumainesm’aaccompagn´eefficace- menttoutaulongdecedifficileexercice.Jetiens`aluite´moignericitoutemareconnais- sance.

Ungrandmerciaussi`aH.DehlingetD.Bosqpourl’int´erˆetqu’ilsontporte´`amontravail en acceptant de l’examiner.

C. Dellacherie, J. Dedecker, Y. Derriennic, D. Fourdrinier, E. Lesigne et B. Schmitt me fontungrandhonneurenfaisantpartiedujurydecetteth`ese.Qu’ilsensoientremerci´es.

Mercia`C.DellacherieetT.delaRuepourleurtre`sconvivialatelier des doctorants hebdomadairequimefuttr`esprofitable.

Mercia`R.Abib,O.Benois,A.Bouziad,M.Derridj,L.Glangetas,D.Fourdrinier,J. de sam Lazaro, M. Mourragui, P. Raynaud de Fitte, J. M. Strelcyn, E. Youndje et bien d’autresquiontcontribu´ea`maformationdurantceshuitann´eesd’´etudesp´`Rouen. assees a

Mercia`C.Bourlon,M.Jolly,G.Grancher,I.Lamitte,M.LosadaetI.Pilletpourleur disponibilite´quim’apermisdesurmonterdiffe´rentsprobl`emestechniquespendantcestrois anne´esdetravail.

Jeremerciee´galementtousmescamaradesetcompagnonsderecherchedulaboratoire demath´ematiquesRapha¨elSalemettoutparticuli`erementO.Bertoncini,P.Lepelletier, M.Feral,G.MaillardetSudarwantopourleur´eternellebonnehumeuretleursympathie.

Merci`amame`reeta`mesfr`eresetsoeurspourleurpatienceetjepensetoutparti- culie`rementaupetitYouness(5ans).Ilsmeseronttoujoursindispensables.

Enfin,jetiensa`rendrehommageici`amonp`erequinousaquitt´el’ann´eederni`ereet sansquijen’enseraispasla`aujourd’hui.C’estavecbeaucoupd’e´motionquejemesou- viensd’unvieuxproverbeberb`erequ’ilseplaisaita`r´etorquer`asesenfants:Unna iran tamamet iseber i-wughus n tizzewa ∗ . Ce travail est aussi le sien.

(*)Celuiquiveutdumieldoitre´sisterauxpicsdesabeilles.

ABSTRACT

This thesis is devoted essentially to the asymptotic properties of fields and sequences of identically distributed real random variables. In the first chapter, we show that the inva- riance principle by Dedecker (2001) for the smoothed partial sum process of a stationary field (X i ) i∈Z d of bounded real random variables and indexed by sets of a classAdoes not hold if the random variables are onlyp-integrable (0< p <+∞). We also show that the invariance principle by Bass (1985) and Alexander and Pyke (1986) for i.i.d. square integrable random fields does not hold if one considers classes of sets which satisfy only the metric entropy condition without bracketing by Dudley (1973). However, in Chap- ter 2, if the random variables (X i ) i∈Z d have finite exponential moments, we establish new Kahane-Khintchine inequalities in Orlicz spaces induced by exponential Young functions. Both these inequalities and a classical chaining argument yield a new invariance principle. In Chapter 3 we are interested in the local and central limit theorems for martingale diffe- rence sequences. We prove that the assumptions which ensure the local limit theorem for independent sequences are not sufficient for martingale difference sequences, and the speed of convergence in the Billingsley-Ibragimov central limit theorem can be arbitrarily slow. Finally, in the last chapter we study a non parametric regression model when the errors are given by a field (ε i ) i∈Z d of dependent random variables.

Key words :Random fields, martingale difference sequence, central limit theorem, lo- cal limit theorem, invariance principle, metric entropy, ergodic dynamical system, mixing, Orlicz spaces, Kahane-Khintchine inequalities, exponential inequalities, speed of conver- gence, nonparametric regression, Kernel estimator.

Classification AMS (2000) :60G60, 60G42, 60F05, 60F17, 62G08, 37A25

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De´monstrations.

4.3

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Surlesth´eor`emeslimitelocaletcentralpourlessuitesd’accroissementsd’une

3

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80

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param´etrique

non

Unmode`leder´egression

4.2

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75

Uneapplicationstatistiquedesin´egalite´sdeKahane-Khintchine

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mati`eres

2

INTRODUCTION

Table

des

29

1.1

Contre-exemplesdansleth´eor`eme

ale´atoiresre´els

1.2

85

De´finitionsetnotationspre´liminaires..........................29

R´esultatsprincipaux...................................31

BIBLIOGRAPHIE

ANNEXE

4

89

champs

limite central fonctionnel pour les

11

1

45

45

leschampsal´eatoiresr´eels

In´egalite´sdeKahane-Khintchineetthe´ore`melimitecentralfonctionnelpour

2.1

De´finitionsetnotationspr´eliminaires..........................

50

2.2

Ine´galite´sdeKahane-Khintchine............................

47

. . . .

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3.2 R´ ltats sur les accroissements d’une martingale . esu

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. . . . . . . . . .

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. . . .

66

3.3D´emonstrations....................

75

martingale

. . . . . . .

78

4.1

Quelquesine´galite´sexponentielles............................

Unth´eore`melimitecentralfonctionnel.........................

2.3

D´emonstrations......................................

2.4

52

De´monstrations......................................33

1.3

61

61

. . . . . . . . . .

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. . . .

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3.1Rappelssurlessuitesind´ependantes........

63

. . . . . . . . . .