Automatique, cours AO202

Nicolas Petit

Description

Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresAutomatiqueDynamique et Contrôle des SystèmesNICOLAS PETITCentre Automatique et SystèmesUnité Mathématiques etMINES [e-mail]22 octobre 2010Amphi 5Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresPlan de l’amphi 51 Commandabilité2 Cas linéaire stationnaire3 Forme normale4 Planification de trajectoires6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresDiverses équationsdx(t) = f(x(t))+u(t); x(t)2R; u(t)2Rdtdx(t) = f(x(t))+u(t)g(x(t);t);x(t)2R;u(t)2R;g(x(t);t) = 0dtSystème mécanique générald_ _L(q; q) = T(q ;:::;q ;q ;:::;q ) V(q ;:::;q )1 n 1 n 1 ndtT: énergie cinétique, V: énergie potentielle d @L d @L d(q; q) (q; q) = ui_dt @q dt @q dti iq: coord. généralisées, u: forces généralisées2d d dM(q) q+C(q; q) q+g(q) = u2dt dt dt6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale Planification de trajectoiresDiverses équationsdx(t) = f(x(t))+u(t); x(t)2R; u(t)2Rdtdx(t) = f(x(t))+u(t)g(x(t);t);x(t)2R;u(t)2R;g(x(t);t) = 0dtSystème mécanique générald_ _L(q; q) = T(q ;:::;q ;q ;:::;q ) V(q ;:::;q )1 n 1 n 1 ndtT: énergie cinétique, V: énergie potentielle d @L d @L d(q; q) (q; q) = ui_dt @q dt @q dti iq: coord. généralisées, u: forces généralisées2d d dM(q) q+C(q; q) q+g(q) = u2dt dt dt6Commandabilité Cas linéaire stationnaire Forme normale ...

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• Langue: Français

Extrait

CommandabilitéCsailéniaertstaoiainnForeenrmmaorlPelfiinaitacednoectotrajires

N ICOLAS P ETIT

22 octobre 2010 Amphi 5

Automatique Dynamique et Contrôle des Systèmes

Centre Automatique et Systèmes Unité Mathématiques et Systèmes MINES ParisTech [e-mail]

naadibilétaClsniCommonemroFealPelamrtaesiréairnaontierstcioationificrajendet

3

Forme normale

2

Cas linéaire stationnaire

1

Commandabilité

Planification de trajectoires

4

Plan de l’amphi 5

reainnioorenrmFonalPelamnoitacfiiommaCilitndabilénCésatstaiaerdetrajectoires metèysS .., 1 q ˙ ,.q,..q ˙ , n .,..) T q n −V n ) 1 ,(q genérélaémacinuq )=T(q 1 ,.L(q, d dt q td )qq( d , q∂ ( i −  L∂ le d d tiel ∂ ˙ q i t  ∂L rené:V,enetopeigiergne:équtinéci eé M s q( d ) d 2 2 t +q(C :forcesgénéraliség.darénésilu,se d d q,)= t q q: u i orco

d d t x(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0

Diverses équations d d t x(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R

=u)q(g+q td d )q td d ,q

tearoidnioerejtcsoCmmnaadiblitéCaslinéairesitatannoFeriemrormnoePalnilaatfic q(T=)q td d ,q(L larnégéueiqanécemèm ..q, 1 q.,−)(V ˙ , n q,..., ˙ q 1 .,q n 1 ,.. ySts én.grdooéeisalér td d ,q( i q c:q i u=)q es M( lisé dt 2 qq) d 2 ofcr,s:uénarseég ueiq:é,Vrgnepoie:T ) n renéceigténi ˙ q i (q, d dt q)  − ∂L ∂ ettneill d e td ∂  ∂ L t q+gq) d d , d dt +C(qu

d d t x(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0

Diverses équations d d t x(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R

q(=)

Diverses équations d d t x(t) =f(x(t)) +u(t),x(t)∈R,u(t)∈R

d d t x(t) =f(x(t)) +u(t)g(x(t),t),x(t)∈R,u(t)∈R,g(x(t),t)6=0

q+g(q)=u d d q t d ) td2 t +q(C,q énituq,e:Vnéreig .,q n ) T:énergieci ˙ ∂ L∂ q( i qtd d ,−  )q oteptienleel t  d d ro.d:qocarilégén i (q, ∂L ∂q )=u i d dt q eésilaré d 2 d )q(M s:f,uesséénsgceor seriajtrtoecticadeonnafiiellProammrnereFonnaiatiorestiaénilsaCétilibandmaomC ..., ˙ q n )−V(q 1 ,..(T 1 q.,..q,, n q ˙ , 1 érén L( al d d q,)= t q ètsyémeminacgeuqS

M( q d 2 q+C(q,q td d ) td q d +g(q) =u ) dt 2 Systèmecomplètement actionné: une commande par degré de liberté.Les manœuvres sont faciles Exemple: changement de configuration d’un satellite

mmoCCatéinsldaanlibiitnoanriaériseatrmalePlaeFormenoejartednoitacfiinsreoict

orenlemareairmFotatsnnoiénileriailitéCasommandabC

d 2 x 1 ) + m 1 dt 2 x 1 =k(x 2 −u d 2 m 2 dt 2 x 2 =k(x 1 −x 2 )

Systèmes non complètement actionnés

Transfert d’une position d’arrêt à une autre:1 seule commande, peut-on commander?

caifianPltrdeontiriotcejase

PealmrlaemonFeronairtionestaéairseriotcjeraetndioatficniaCétnilsadnailibmmCo

Définition:commandabilité Le système d dt x=f(x,u)(x∈R n ,u∈R m ) est dit commandable en tempsT>0si et seulement sipour tout p,q∈R n ,il existeune loi horaire[0,T]3t7→u(t)∈R m , dite commande en boucle ouverte, qui amène le système de l’état x(0) =pà l’étatx(T) =q

Le système est ditsimplement commandablelorsqu’il est commandable pour au moins un tempsT>0

Notion générale de commandabilité

Définition:commandabilité Le système d d t x=f(x,u)(x∈R n ,u∈R m ) est dit commandable en tempsT>0si et seulement sipour tout p,q∈R n ,il existeune loi horaire[0,T]3t7→u(t)∈R m , dite commande en boucle ouverte, qui amène le système de l’état x(0) =pà l’étatx(T) =q

Le système est ditsimplement commandablelorsqu’il est commandable pour au moins un tempsT>0

Notion générale de commandabilité

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CommandandetatioctoirajemrlaemonincfiPealontitaesoreFirnaaCétilibriaénilssre esalminô.tuxedetcnofsedylopsnoi

d 2 d 2 dt 2 x 1 =u−x 1 , dt 2 x 2 =u−x 2 , dt d 2 2 ξ=−ξ

Obstructions à la commandabilité

dd =u 2 ≥0 dt x 1 =x 2 , dt x 2

Deux types d’obstruction à la commandabilité le système comporte unsous-système indépendant du contrôleu. Exempleξ=x 1 −x 2 pour le système

Ladérivéede certaines variables est designe constant (cas non linéaire). Exemple

enid:enoNtoreeu’hàlasepossptcaracedelleutcan enterme érisatio nortlôbanfidilecailescoesitilêmémfeds tnos sopmetna

risaactéecarlledtceuruae’lehapàssepoisednn:oteNo texedsel

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Deux types d’obstruction à la commandabilité le système comporte unsous-système indépendant du contrôleu. Exempleξ=x 1 −x 2 pour le système

Ladérivéede certaines variables est designe constant (cas non linéaire). Exemple

Obstructions à la commandabilité

d x 1 =x 2 ,x td d 2 =u 2 ≥0 dt

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