Contribution à l'étude numérique du comportement du béton et des structures en béton armé soumises

Nechnech, Wahid

Description

ssAnnexe D Extension au vico endommagementANNEXE DEXTENSION AU VISCO ENDOMMAGEMENT(CAS D’UN CALCUL MECANIQUE SEUL)D 1 Modélisation visco endommageableNous ne détaillerons pas toutes les équations du modèle dans ce paragraphe ; ces dernièresétant de près semblables au modèle initial présenté dans le chapitre II.On notera seulement que les développements qui suivent sont élaborés pour un calculmécanique seul sans partie thermique.La viscosité est introduite de manière linéaire dans le modèle plastique endommageable,présenté dans le chapitre II. Dans le modèle de Duvaut Lions, le taux de déformationviscoplastique est exprimé comme suit :1vp -1e=ü()s-s (D.1)hou est la projection de l’état de contrainte sur la surface de charge et , est le paramètre deviscosité représentant le temps de relaxation du système viscoplastique.Le modèle original de Duvaut Lions peut être généralisé à une multitude de modèles endéfinissant seulement la contrainte de projection .En utilisant l’équation (II.10) liant le tenseur de contrainte au tenseur de contrainte~effective , la relation (D.1) devient :1vp -~e= ü[]s-()1-ds (D.2)hLa relation contrainte déformation devient alors :vps=eü[e-e](D.3)ü =()1-dü0En remplaçant les équations (D.3, D.2) dans l’équation (D.1), on obtient : 204 ssheDehDhhDAnnexe D ...

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Annexe Dau vico-endommagement Extension

ANNEXE D EXTENSION AU VISCO-ENDOMMAGEMENT (CAS D’UN CALCUL MECANIQUE SEUL)

D-1 Modélisationvisco-endommageable Nous ne détaillerons pas toutes les équations du modèle dans ce paragraphe; ces dernières étant de près semblables au modèle initial présenté dans le chapitre II. On notera seulement que les développements qui suivent sont élaborés pour un calcul mécanique seul sans partie thermique.

La viscosité est introduite de manière linéaire dans le modèle plastique endommageable, présenté dans le chapitre II. Dans le modèle de Duvaut-Lions, le taux de déformation viscoplastique est exprimé comme suit :

vp 1 % 1  e 1ü ( s %s ! h

(D.1)

ousest la projection de l’état de contrainte sur la surface de charge et h , est le paramètre de

viscosité représentant le temps de relaxation du système viscoplastique.

Le modèle original de Duvaut-Lions peut être généralisé à une multitude de modèles en définissant seulement la contrainte de projections. En utilisant l’équation (II.10) liant le tenseur de contraintes autenseur de contrainte ~ effective s , la relation (D.1) devient :

1 ~ vp % 1  e 1ü [ s % ( 1%d ! s ] h

La relation contrainte-déformation devient alors :

vp s 1ü [ e%e ] ( ! ü11%dü 0

En remplaçant les équations (D.3, D.2) dans l’équation (D.1), on obtient :

-204-

(D.2)

(D.3)

Annexe Dau vico-endommagement Extension

1 vp pvp  e 1 ( e %e ! h D’une manière similaire, le taux d’endommagement est donné par : 1  d 1 ( d % d ! h

(D.4)

(D.5)

ou d la variable d’endommagement définie par le modèle thermo-plastique est endommageable (dans le cas d’un calcul isotherme)

D-2 Intégrationdes équations En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au t temps t n # connaissant l’état du matériau au temps n . 1 t Au temps n # 1 , la relation contrainte-déformation donnée par (D.3) s’écrit :

vp s 1 ( 1 % d ! ü [ e %e ] n # 1 0 n # 1 n # 1

(D.6)

L’intégration de l’équation (D.4), nous permet d’obtenir le taux de déformation viscoplastique. Ce dernier est donné par :

D t vp pvp De 1 ( e %e ! n # 1 n # 1 h

cette dernière équation (D.7), peut se mettre sous la forme :

D t h vp p vp e 1e #e n # 1 n # 1 n h # D t h # D t

D’une manière similaire, l’intégration de l’équation (D.5) donne :

D t h d 1 d # d n # 1 n # 1 n h # D t h # D t

(D.7)

(D.8)

(D.9)

p Connaissant la déformation totale e , la déformation plastique e , et la variable n # 1 n # 1 d d’endommagement tiré d’un calcul plastique n # 1 , l’application des équations D.6, D.7 et vp e D.8, nous permet de calculer la déformation viscoplastique # la variable et n 1 d’endommagement totale d # . n 1

-205-

Annexe Dau vico-endommagement Extension

D-3 Constructionde l’opérateur tangent pour le modèle proposé

Comme dans le cas de la thermo-plasticité endommageable, la linéarisation de la méthode de Newton-Raphson se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur tangente. La construction de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la précision. Dans ce qui suit, on donne les différentes équations permettant le calcul de l’opérateur tangent.

En substituant l’équation (D.8) dans l’équation (D.6), on obtient :

ì æ D t p h vp öü s 1 ( % d ! e % ç e #e ÷ 1 n # 1 ü 0 í n # 1 n # 1 n ý h # D t h # D t î èøþ

(D.10)

D’après l’équation (II.101), la déformation plastique peut être exprimée par la relation suivante :

% 1 ~ p ( ! e # 1 1 e # 1 % E 0 s # 1 n nn

En remplaçant l’équation D.11 dans l’équation D.10, on obtient :

( ! 1% d # ~ n 1 vp h ( % ! # D s 1 { ü 0 e # 1 e t s # 1 n nn h# D t

(D.11)

(D.12)

La dérivée totale du vecteur de contrainte peut donc être obtenue. Elle s’exprime sous la forme :

d ( d ! ( 1 ! % n 1 vp ~ % d # 1 ~ # n d s 1 1 { h s 1 # D t s 1 } # { hü 0 d e # 1 # D td s # 1 } n # n # n # n n h # D t h # D t

vp vp oùs 1ü ( e %e ! n # 1 0 n # 1 n

D’après l’équation D.9 la dérivée de la variable d’endommagement est donnée par :

D t d ( d ! 1 d ( d ! n # 1 n # 1 h # D t D ( # 1 ! ~ t dd n 1 d s # n 1 ~ h # D t d s n # 1

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(D.13)

(D.14)

(D.15)

Annexe Dau vico-endommagement Extension

~ d s n # 1 L’expression de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectivesest fournie d e n # 1 au chapitre II par l’équation (II.175) dans le cas de deux critères actifs et par l’équation (II.179) dans le cas d’un seul critère actif. L’expression de l’opérateur tangent est alors obtenue en utilisant l’équation (D.13) :

~ d s ( % d ! ì d ( d ! ü d s n # 1 1 n # 1 D t 1 vp n # 1 n # 1 ~ 1 h ü# ( % d ! I % ( h Ds # t s ! (D.16) 0 í 1 n # 1 n # 1 n # 1 ý ~ d e h # D th # D th # D t d s d e î þ n # 1 n # 1 n # 1

Une remarque sur le cas limite de ce modèle peut être faite. En effet, dans le cas d’un comportement plastiqueh|on retrouve l’opérateur tangent plastique (équations II.176 et0 , II.179).

-207-