ållåså¥lUNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUESAnalyse Nume´rique Ele´mentaire,NORMES MATRICIELLES ET CONDITIONNEMENT1. Rappel sur les normes et les normes matricielles:(a) Notations:n-K est le corpsR ouC.K est l’espace vectoriel surK des colonnes a` n e´le´ments dansK.n-K est muni du produit scalaire usuel note´ (ou` ¯ est la conjugaison complexe): x y1 1n t . n . n¯ . .< X|Y >= x y¯ = XY, X = ∈K , Y = ∈K . i i . .i=1 x yn n-L’espace vectoriel des matrices a` coefficients dansK, a` nlignes et p colonnes est note´M (K). Il est de dimensionn,pnp surK. Quand n= p, on le noteM (K): on a un produit interne qui en fait une alge`bre.n- Soit M∈M (C). On appelle spectre de M , note´ (M), l’ensemble de ses valeurs propres dansC.n(b) Normes: De´finitions+i. Une norme sur une espace vectoriel E surK est une application de E dansR , note´e||.|| , telle que:-||v||= 0⇔ v= 0,-||v + v ||≤||v ||+||v ||, ∀v ,v ∈ E,1 2 1 2 1 2-|| v||=| |||v||∀v∈ E, ∀ ∈C.ii. Une norme sur l’espaceM (K) est appele´e matricielle si et seulement si elle ve´rifie:n||AB||≤||A||||B||, ∀A,B∈M (K).n(c) Equivalence des Normes′ ′i. De´finition: Soient deux normes note´es||.|| et||.|| sur un espace vectoriel E surK.||.|| et||.|| sont e´quivalentessi et seulement s’ il existe deux re´els positifs a et b tels que:′a||v||≤||v||≤ b||v||, ∀v∈ E.ii. Cas de la dimension finie:Dans un espace de dimension finie , toutes les normes sont e´quivalentes.iii. Remarques:En dimension ...
1.Rappel sur les normes et les normes matricielles: (a)Notations: n -Kest le corpsRouC.Kest l'espace vectoriel surKseocdes`alonnn´eme´elsnadstnK. n -Ke¯u`altsjnociagureaiueusotln(o´esoncomplexe):mtsealscitduroupidun x1y1 n t n n ¯ <X|Y>=xiy¯i=XY,X= ∈K,Y= ∈K. å. . i=1 xnyn -L'espace vectoriel des matrices a` coefficients dansKa,`nlignes etpnot´enoenestscloMn,p(K). Il est de dimension npsurK. Quandn=p, on le noteMn(K)anietquunitenefrgu`ietbinperaoldannuero.: - SoitM∈Mn(C). On appellespectre deM´ton,es(M), l'ensemble de ses valeurs propres dansC. (b)rmNo:Desfin´eoitisn
+ i. Unenorme sur une espace vectoriel E surKest une application de E dansRe´eot,n||.||, telle que: -||v||=0⇔v=0, -||v1+v2|| ≤ ||v1||+||v2||,∀v1,v2∈E, -||lv||=|l| ||v|| ∀v∈E,∀l∈C.
ii. Unenorme sur l'espaceMn(K)est appele´ematriciellesi et seulement si elle ve´rifie:
(c)Equivalence des Normes
||AB|| ≤ ||A|| ||B||,∀A,B∈Mn(K).
′ ′ i.D´efinition:Soientdeuxnormesnote´es||.||et||.||sur un espace vectorielEsurK.||.||et||.||sont e´quivalentes si et seulement s' il existe deux re´els positifsaetbtels que:
′ a||v|| ≤ ||v|| ≤b||v||,∀v∈E.
ii. Casde la dimension finie: Dansunespacededimensionfinie,touteslesnormessont´equivalentes. iii. Remarques: Endimensionfinie,laconvergenceounond'unesuitened´ependpasdelanormechoisie:onprendraune norme,mˆemeinhabituelle,quipermetdeconclurefacilement.Parcontre,uncalculd'erreurde´pendradela norme choisie. (d) Exemples:
n i.Exemples surK: On a les 3 normes usuelles suivantes: x1 n ∀X= ∈K, . xn
ii.Normes surMn(K).
1
||X||1 ||X||2 ||X||+¥
n =å|xi| i=1 n 2 =å|xi| i=1 =sup{|xi|,i=1..n}
A.donn´eNeosrmessubor: n Soit une norme quelconque||.||surK; On appellenemron´eerdonsubo`a||.||surMn(K)la norme note´e |||.|||de´finie par: ||MX|| ∀M∈Mn(K),|||M|||=sup{ }. X6=0 ||X|| B.Proprie´t´ese´le´mentairesd'unenormesubordonne´esurMn(K): n -||MX|| ≤ |||M||| ||X||,∀X∈K; n -|||M|||=inf{l/||MX|| ≤l||X||,∀X∈K}; -|||MN||| ≤ |||M||| |||N||| ∀M,N∈Mn(K)est matricielle.: toute norme subordonne´e n -|||In|||=`u1 oInest la matrice identite´ dansK. C.:srmNoeFedb´roiuen D´efinition:∀M∈Mn(K)on pose: ¯ t ||M||F=Trace(M)M. C'estunenormematriciellequin'estpassubordonn´eecar||In||F=n6=1 sin6=1. (e)obussemronsedseraintme´eels´´eetrp´iPorsrdonn´ee|||.|||1,|||.|||2,|||.|||¥surMn(K).
i.dlarenu'snoytcepRali`eingures.ci,eamrtrussavel
SoitMune matrice(n,n)ficefco`aansdntiesK.Mposse`de dansCn valeurs propres compte´es avec leur or-dredemultiplicit´e,not´ees(l1,l2, ...,ln)avec:
0≤ |l1| ≤ |l2|...,≤ |ln|.
•psceyanoRitfinneioaltr´e:De´te:sorpt´irp
–n:D´efinitio
On appellespectre deM,s(M)l' ensemble de ses valeurs propres dansC. On appellerayon spectral deM,r(M)le plus grand module des valeurs propres de M, soit|ln|.
–(⋆)seudaroysneptcarlPropri´et´:
-SiMesthermitienne,semi-d´efiniepositive(⇔<MX|X>≥0), alorsr(M)est la plus grande des valeurs propres. ¯ ¯ t t - Pour toute matrice M deMn(K)alorsr(MM)MMest la plus grande valeur propre de t t ¯ ¯ etr(MM) =r(M M). Preuve: -SiMest hermitienne alors toute valeur propre est re´elle. De plus , soitXiun vecteur propre deMrelatif 2 `alavaleurpropreli, alors<MXi|Xi>=li||Xi|| ≥0 doncli≥0,∀i`1aden. On a donc:
d'o`u:r(M) =ln.
0≤l1≤l2...≤ln.
t t ¯ ¯ - Dans le casMquelconqueMMest hermitienne semi-de´finie positive car<MMX|X>=<MX|MX> t tt ¯ ¯¯ ≥0 d'ou`r(MM)est la plus grande valeur propre deMM.hcnanEe´tlesgeanesderˆolMetMon obtient t ¯ lemˆemer´esultatpourM M. t tt t ¯ ¯¯ ¯ Prouvons que :r(MM) =r(M M).r(MM)est la plus grande valeur propre deMMet soitX0un vecteur propre (non nul) relatif a` cette valeur propre. Alors: t tt t ¯ ¯¯ ¯ MMX0=r(MM)X0⇒(M M)MX0=r(MM)MX0. 2 cas: t tt ¯ ¯¯ -siMX06=0 alorsMX0est un vecteur propre de(M M)pour la valeur proprer(MM)et donc:r(MM)≤ ¯ t r(M M). t tt t ¯ ¯¯ ¯ -siMX0=0 alorsMMX0=r(MM)X0⇒r(MM) =0 et on a bien 0≤r(M M). Dans tous les cas, on a: t t ¯ ¯ r(MM)≤r(M M) t ¯ etcommeonpeute´changerlesrˆolesdeMetMe´dntiudenoteises´n'.d`ollsua´''gtuelearlit´edanl'in´ega
2
•gnlusrislaueedvsatriunemesd'i`erMceontiniefiD´ ¯ t MMeet´mpcoeuclvesaederdror-lumepositiveetdoncsseavelrupsorrpseehestitrmnneimese´d-iinfie tiplicit´esontre´ellespositivesetordonne´escommesuit: 0≤a1≤a2...≤an. Posons :mi=ai∀i∈ {1,2, ..,n}.Alors l'ensemble{m1, ..,mn}pel´el'eestapinss-avseruelmesndelb gulie`res deM
ii.(⋆)Proposition:
Soit A= (ai,j)i,j=1..nune matrice deMn(K). n • |||A||å |1=supj=1..n i=|ai,j|. 1 ¯ t • |||A|||2=r(AA). n • |||Apå|a|. |||+¥=sui=1..n j=1i,j
The´or`emeI.1: Soit A une matrice deMn(K), alors: -Pour toute norme matricielle||.||on a:r(A)≤ ||A||. r e -∀e>0, il existe une norme matricielle||.||A,etelle que||A||A,e≤(A) +. Preuve: voir Cours.
Th´eor`emeI.2: Soit A une matrice deMn(C)posisproreleeentelcniuav´aqeisyl,oral:sernaviussnoit k - limk−>+¥(A) =0; k n lim0 -k−>+¥(A)v=∀v∈C; -r(A)<1; - ilexiste une norme matricielle surMn(C)telle que||A||<1. Preuve: voir cours. (b)(⋆)Inversion de matrice
The´ore`me I.3: Soit B une matrice deMn(C) −1k -SirB1I Bet alors pour toute nor, alors IB est inversible et ( )<−(−) =åk≥0B mematricielle||.||. −1 1 telle que||B||<1alors||(I−B)|| ≤. 1−||B|| -Si I−opsrola,betuotruintsesBre`eliguormematricielle||.||, on a||B|| ≥1. Preuve: voir cours. (c) The´ore`meI.4: 1 k SoitAune matrice deMn(C)alors,||A|| −>r(A),k−>+¥. k