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Description

Chapitre 6 : R´esultats annexes1 Convergence d’un amortissement interne vers unamortissement sur le bord : cas d’une non-lin´earit´ecritiqueDanslechapitre5decetteth`ese,nousnoussommesrestreintsaucasd’unenon-lin´earit´ef(x,u) sous-critique, c’est-`a-dire que dans le cas de la dimension troisd’espace, nous avonssuppos´e qu’il existe C > 0 et α∈ [0,1[ tels que′′ α ′′ 3+α|f (x,u)|≤C(1+|u| ) et|f (x,u)|≤C(1+|u| ) .uu uxLe but de ce paragraphe est d’´etudier le cas critique α = 1 et d’obtenir des r´esultatssemblables au cas sous-critique : comparaison des trajectoires, existence des attracteurset semi-continuit´es sup´erieure et inf´erieure des attracteurs. De plus, nous obtiendrons ler´esultat nouveau suivant : sous des hypoth`eses g´en´eriques, l’attracteurA est born´e dans∞1+s sH ×H pour un certain s> 0.Pour simplifier, nous nous plac¸ons dans le cadre suivant, mais les r´esultats sont g´en´eralisa-bles aux cas ou` une propri´et´e de prolongement unique est connue pour le probl`eme limite.3 1 2Soient Ω ⊂ R un domaine born´e r´egulier et X = H (Ω)×L (Ω). Soit γ > 0, on poseγ =γδ ou` δ est la fonction de Dirac `a support dans le bord de Ω, et pourn∈N,∞ x∈∂Ω x∈∂Ωon pose 1nγ si dist(x,∂Ω)

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Chapitre6:R´esultatsannexes

1 Convergence d’un amortissement interne vers un amortissementsurlebord:casd’unenon-lin´earite´ critique Danslechapitre5decetteth`ese,nousnoussommesrestreintsaucasd’unenon-line´arite´ f ( x u )sous-critique,c’est-a`-direquedanslecasdeladimensiontroisd’espace,nousavons suppos´equ’ilexiste C > 0 et α ∈ [0  1[ tels que | f u ′′ u ( x u ) | ≤ C (1 + | u | α ) et | f u ′′ x ( x u ) | ≤ C (1 + | u | 3+ α )  Lebutdeceparagrapheestd’e´tudierlecascritique α =1etd’obtenirdesr´esultats semblables au cas sous-critique : comparaison des trajecto ires, existence des attracteurs etsemi-continuit´essupe´rieureetinf´erieuredesattracteurs.Deplus,nousobtiendronsle re´sultatnouveausuivant:sousdeshypothe`sesge´n´eriques,l’attracteur A ∞ estborne´dans H 1+ s × H s pour un certain s > 0. Poursimplifier,nousnouspla¸consdanslecadresuivant,maislesr´esultatssontg´ene´ralisa- blesauxcasou`unepropri´etedeprolongementuniqueestconnuepourleprobl`emelimite. ´ Soient Ω ⊂ R 3 undomaineborn´ere´gulieret X = H 1 (Ω) × L 2 (Ω). Soit γ > 0, on pose γ ∞ = γδ x ∈ ∂ Ω o`u δ x ∈ ∂ Ω estlafonctiondeDirac`asupportdansleborddeΩ,etpour n ∈ N , on pose γ n ( x ) =  0 nγ s s i in d o i n st ( x ∂ Ω) < 1 n Onconside`rel’e´quationdesondesamortiesa`l’inte´rieurdeΩ   u ∂ ∂ t u ν t ( ( x x   t t ) )+ = γ 0 n ( x ) u t ( x t ) = Δ u ( x t ) + f ( x u ( x t ))( ( x x   t t ) ) ∈ ∈ ∂ Ω Ω × × R R + +  ( u ( x 0)  u t ( x 0)) = ( u 0  u 1 )( x ) ∈ X etl’´equationdesondesamortiessurleborddeΩ   u ∂ ∂ t ν u t ( ( x x   t t ) ) + = γ Δ u u t ( ( x x   t t ) ) = + 0 f ( x u ) ( ( x x   t t ) ) ∈ ∈ ∂ Ω Ω × × R R + +  ( u ( x 0)  u t ( x 0)) = ( u 0 ( x )  u 1 ( x ))) ∈ X

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(1.1)

(1.2)

On reprend toutes les notations du chapitre 5, en particulie r, on rappelle que A n et S n ( t ) ( n ∈ N ∪ { + ∞} )d´esignentlesope´rateursline´airesetlessemi-groupesassocie´saux ´equations(1.1)et(1.2). On suppose que f est une fonction de classe C 2 (Ω × R  R ) et qu’il existe C > 0 tel que | f ′ u ′ u ( x u ) | ≤ C (1 + | u | )  | f u ′′ x ( x u ) | ≤ C (1 + | u | 4 ) et lim sup sup f ( x u ) < 0  (1.3) | u |→ + ∞ x ∈ Ω u Rappelons que (1.3) implique en particulier que la fonction F : ( u v ) ∈ X 7−→ (0  f ( x u )) ∈ X estlipschitziennesurlesborn´esde X . Danslecascritique,lepremierpointd´elicatestl’existenced’unattracteurglobalcompact. Eneffet,lam´ethodeclassique,rappele´edansleschapitres4et5decettethe`se,estfondee ´ sur le fait que, si f estunenon-line´arite´sous-critique, F est une application compacte. Danslecascritique,celan’estplusvrai.Enutilisantunth´eor`emedeprolongementunique, FeireisletZuazuaontmontr´equelesyst`emedynamiqueengendre´parl’´equation(1.1) peutsede´composerenlasommededeuxapplications,l’une´etantunecontractionstricte etl’autree´tantcompacte(voir[4]).Pourlesyst`eme S n ( t ) ( n ∈ N ), ils obtiennent alors l’existence d’un attracteur global compact A n ,quiestborne´dans X s pour un certain s > 0.Danslecasd’unedissipationa`supportsurleborddeΩ,l’existenced’unattracteur A ∞ estprouve´edans[3]parlamˆememe´thode,maissansobtenirque A ∞ a une meilleure r´egularit´eque X . Lesmeˆmesargumentsquedanslecassous-critique(voirchapitre5)etlapropri´ete´de prolongementuniqueimpliquentquelessyst`emes S n ( t ) et S ∞ ( t )sontgradientsetposse`dent lameˆmefonctionnelledeLyapounov.Ils’ensuitquelesattracteurs A n sontborn´esdans X paruneconstanteind´ependantede n . Afin de comparer les attracteurs A n avec A ∞ , remarquons que la convergence des trajectoires dans X − s ´enonc´ee dans le th´eor` 3.10 eme du chapitre 5 est encore valable dans le cas critique. En effet , on utilise seulement le fait que F estlipschitziennesurlesborn´esde L 2 (Ω) × H − 1 (Ω).Onobtientdoncaveclesmˆemes argumentsquedanslechapitre5leth´e`ivant. oreme su The´ore`me1.1. Pour tout s > 0 , les attracteurs A n sontsemi-continussupe´rieurement dans X − s quand n −→ + ∞ . Al’inversedecelleduth´eore`me3.10,lad´emonstrationduthe´ore`me3.8donn´eedans le chapitre 5 n’est pas directement adaptable au cas d’une no n-lin´earit´e critique. Afin de generaliserlethe´or`eme3.8,nousutilisonsleth´eor`eme1.5duchapitre6dulivredePazy ´ ´ (voir[8])pourobtenirlere´sultatsuivant.Pourtoutborne´ B de X , il existe une constante C telle que, si U 0 ∈ D ( A ∞ ) ∩ B , alors S ∞ ( t ) U 0 ∈ C 0 ([0  T ]  D ( A ∞ )) et k S ∞ ( t ) U 0 k D ( A ∞ ) ≤ Ce CT k U 0 k D ( A ∞ )  (1.4) Pardesargumentsd’interpolationsemblablesa`ceuxdelaproposition3.5duchapitre5, nousde´duisonsdelapropri´ete´ci-dessuslere´sultatsuivant.

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Proposition 1.2. Pour tout s ∈ ]0  1 2 [ etpourtoutborne´ B de X , il existe une constante C telle que, si U 0 ∈ X s ∩ B , alors S ∞ ( t ) U 0 ∈ C 0 ([0  T ]  X s 2 ) et k S ∞ ( t ) U 0 k X s 2 ≤ Ce CT k U 0 k X s  (1.5) Contrairement`alaproposition3.5duchapitre5,nousallonsdevoireffectuerdesinter- polationsnon-lin´eaires.Pourcela,nousutiliseronsler´esultatsuivant(voir[10]). Proposition 1.3. Soient quatre espaces de Banach E 0 ⊂ E 1 et F 0 ⊂ F 1 . Soit T : E 1 −→ F 1 unope´rateurnon-lin´eairetelqu’ilexistedesfonctionscontinues f 1 et f 2 telles que ∀ ( e e ′ ) ∈ E 12  k T e − T e ′ k F 1 ≤ f 1 ( k e k E 1  k e ′ k E 1 ) k e − e ′ k E 1  et ∀ e ∈ E 0  k T e k F 0 ≤ f 2 ( k e k E 1 ) k e k E 0  Alors, pour tout θ ∈ [0  1] , il existe une constante positive C telle que ∀ e ∈ [ E 0  E 1 ] θ  k T e k [ F 0 F 1 ] θ ≤ Cf 2 (2 k e k E 1 ) 1 − θ f 1 ( k e k E 1  2 k e k E 1 ) θ k e k [ E 0 E 1 ] θ  D´emonstrationdelaproposition1.2: Dans cette preuve, nous noterons K les constantes de la forme Ce CT , on supposera U 0 ∈ D ( A ∞ ) et on posera U 0 = ( u 0  v 0 ) et U ( t ) = ( u v )( t ). Lapropri´ete´(1.4)signifieque k v ( t ) k D ( B 1  2 ) + k u ( t ) + Γ ∞ v ( t ) k D ( B ) ≤ K ( k v 0 k D ( B 1  2 ) + k u 0 + Γ ∞ v 0 k D ( B ) )  (1.6) D’autre part, nous savons que k v ( t ) k L 2 + k u ( t ) k D ( B 1  2 ) ≤ K ( k v 0 k L 2 + k u 0 k D ( B 1  2 ) )  (1.7) Comme Γ ∞ estunop´erateurline´airecontinude D ( B 1  2 ) dans D ( B 1  2 ), nous d´d isons de e u (1.7) que k v ( t ) k L 2 + k u ( t ) + Γ ∞ v ( t ) k D ( B 1  2 ) ≤ K ( k v 0 k D ( B 1  2 ) + k u 0 + Γ ∞ v 0 k D ( B 1  2 ) )  (1.8) Soit s ∈ [0  2 1 [.Eninterpolant(1.8)avec(1.6)grˆace`alaproposition1.3,onobtient k v ( t ) k D ( B s 2 ) + k u ( t ) + Γ ∞ v ( t ) k D ( B (1+ s )  2 ) ≤ K ( k v 0 k D ( B 1  2 ) + k u 0 + Γ ∞ v 0 k D ( B (1+ s )  2 ) )  1 Puisque s < 2 , on a k Γ ∞ v k D ( B 1  2+ s ) ≤ k v k D ( B 1  2 ) et donc k v ( t ) k D ( B s 2 ) + k u ( t ) k D ( B (1+ s )  2 ) ≤ K ( k v 0 k D ( B 1  2 ) + k u 0 k D ( B (1+ s )  2 ) )  Enutilisantdenouveaulaproposition1.3,l’interpolationdel’ine´galite´ci-dessusavec(1.7) donne que

k v ( t ) k D ( B s 2  2 ) + k u ( t ) k D ( B (1+ s 2 )  2 ) ≤ K ( k v 0 k D ( B s 2 ) + k u 0 k D ( B (1+ s 2 )  2 ) ) 

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