These : Sur la conjecture d’André-Oort et courbes modulaires de Drinfeld

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Langue	English

Extrait

UNIVERSIT PARIS 7 - DENIS DIDEROT
AnnØe: 2002 N
TH¨SE
SpØcialitØ: MathØmatiques
PresentØe par
Florian BREUER
pour obtenir le grade de
DOCTEUR en MATH MA TIQUES
Sur la conjecture d’AndrØ-Oort et courbes
modulaires de Drinfeld
Soutenu le 8 novembre 2002 devant le jury composØ de:
Yves AndrØ
Laurent Denis
Bas Edixhoven (prØsident, rapporteur)
Ernst-Ulrich Gekeler (rapporteur)
Marc Hindry (directeur de thŁse)BL und OB gewidmetRemerciements
Tout d’abord je voudrais exprimer ma plus profonde reconnaissance ? mon di-
recteur de thŁse, Marc Hindry, pour son soutien constant, pour ses conseils
chaleureux et pour toutes les mathØmatiques qu’il m’a apprises. Il a en plus
consacrØ beaucoup d’e ort et temps ? lire cette thŁse de prŁs, et ses nombreuses
remarques et conseils ont beaucoup contribuØ ? ce travail.
Je tiens ? remercier Hans-Georg R ck, qui le premier m’a parlØ de remplacer
les courbes elliptiques par les modules de Drinfeld dans la conjecture d’AndrØ-
Oort en 1999, une suggestion que je n’ai suivie que deux ans plus tard, mais qui
a menØ ? la prØsente thŁse.
Je suis trŁs honorØ que Bas Edixhoven et Ernst-Ulrich Gekeler aient acceptØ
d’Œtre rapporteurs, t che dont ils se sont acquittØs avec diligence.
Je suis trŁs reconnaissant aussi ? Bas Edixhoven pour ses explications pa-
tientes (surtout en derniŁre minute!), et pour m’avoir communiquØ une version
prØliminaire de [21].
Je remercie Yves AndrØ et Laurent Denis d’avoir acceptØ de faire partie de
mon jury.
Je voudrais aussi remercier Henning Stichtenoth pour m’avoir fourni la
Proposition 3.1.4, qui m’a permis d’enlever la condition q 5 dans mes rØ-
sultats principaux.
Je pro te de l’occasion pour remercier Jean-Pierre Serre pour avoir trouvØ
une lacune dans une version antØrieure des Corollaires A.2.5 et A.2.6.
Pendant les annØes oø j’ai travaillØ sur cette thŁse j’ai bØnØ ciØ de discus-
sions avec Yves AndrØ, Barry Green, Gerhard Frey, Joseph OesterlØ, Hans-
Georg R ck, Henning Stichtenoth, Brink van der Merwe, Ingo Waschkies, An-
drei Yafaev et Jing Yu. Je voudrais prendre cette opportunitØ pour les remercier
tous.
Mes amis et ma famille ont beaucoup apportØs ? la qualitØ de ma vie de
thØsard, et m’ont donnØ du courage quand j’en avais le plus besoin. En parti-
culier, je veux remercier Carola, Catriona, Christine, Erik, Hannes, Ingo, Ivar,
Klaus, Lucie, Magda, Pietro, Uschi et surtout BL et OB, ? qui cette thŁse est
dØdiØe.
Finalement, cette thŁse a ØtØ Øcrite avec le soutien nancier d’une Bourse
du Gouvernement Fran ais (NumØro 1998/2672), et je voudrais remercier le
gouvernement Fran ais pour sa gØnØrositØ.Sur la conjecture d’AndrØ-Oort et courbes
modulaires de Drinfeld
On the AndrØ-Oort conjecture and Drinfeld modular
curves
Florian BreuerContents
Introduction en Fran ais v
0.1 La conjecture d’AndrØ-Oort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
0.2 Le cas des courbes modulaires elliptiques . . . . . . . . . . . . . . vii
0.3 l’Approche d’Edixhoven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.4 Esquisse de cette thŁse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Introduction in English xv
0.5 The AndrØ-Oort conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
0.6 The case of elliptic modular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.7 Edixhoven’s approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.8 Outline of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx
0.9 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
0.10 Notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
1 Preliminaries 1
1.1 Drinfeld Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 The objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 The morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 The action of Pic(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Analytic theory of Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Rational Drinfeld modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Complex multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Imaginary quadratic function elds . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Ring class elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 The eb otarev Theorem for function elds . . . . . . . . 13
1.2.4 Complex multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Drinfeld modular curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 The Drinfeld upper half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Quotients by group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 The curves Y (N), Y (N) and Y (N) . . . . . . . . . . . . 170 2
n1.3.4 Modular curves in A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.5 Degeneracy maps and Hecke correspondences . . . . . . . 20
1.3.6 Modular varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iiiiv CONTENTS
2 Hecke operators 25
2.1 Basic de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Hecke operators and Hecke orbits . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Some intersection theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Points stabilized by Hecke operators . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Surjectivity of projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Curves stabilized by Hecke operators . . . . . . . . . . . . . . . . 33
22.4.1 Preimages in
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 The structure of S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35X
2.4.3 Completing the proof of Theorem 2.2 . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Varieties stabilized by Hecke operators . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Heights of CM points 43
3.1 Class numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Zeta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Class numbers of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Estimating the j-invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Uniformizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 The quadratic fundamental domain . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 CM heights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 CM points on curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 CM points on varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Some results from group theory 63
A.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Subgroups of PGL (R) and PSL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 632 2
A.3 Miscellanous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B Heights of CM points 69
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.2 CM Heights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2B.3 Edixhoven’s Result for C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
nB.4 Extending to C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C Distinguished liftings 77
C.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.2 Applying linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.3 The AndrØ-Oort conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.4 Lifting modular varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.5 Obstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.6 CM points on curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.7 CM points on hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Introduction en Fran ais
Le but de cette thŁse est de formuler et dØmontrer un analogue de la conjecture
d’AndrØ-Oort pour un produit de courbes modulaires de Drinfeld.
0.1 La conjecture d’AndrØ-Oort
Un ØnoncØ gØnØral de cette conjecture est le suivant.
Conjecture 0.1 (AndrØ-Oort) Soit X une variØtØ de Shimura et Z X
une sous-variØtØ algØbrique gØomØtriquement irrØductible. Alors Z(C) contient
un sous-ensemble Zariski-dense de points spØciaux si et seulement si Z est une
sous-variØtØ de type Hodge.
Les dØ nitions exactes des variØtØs de Shimura, des points spØciaux et des
sous-variØtØs de type Hodge nous amŁneraient trop loin. On renvoie le lecteur
plut t ? [47], aussi qu’ [20, 22, 48, 49, 71].
Intuitivement, par contre, on peut comprendre la conjecture de la maniŁre
suivante. Une variØtØ de Shimura est une variØtØ de modules X de certains
objets (par exemple des variØtØs abØliennes, ou, plus gØnØralement, des motifs),
munis de certaines structures supplØmentaires (par exemple des polarisations,
endomorphismes ou de niveau). Une sous-variØtØ de type Hodge est
alors essentiellement une sous-variØtØ qui est elle-mŒme une variØtØ de Shimura,
i.e. un espace de modules de mŒmes objets,