Prévision bayésienne et structure par terme des taux d'intérêt - article ; n°5 ; vol.41, pg 817-838

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Revue économique - Année 1990 - Volume 41 - Numéro 5 - Pages 817-838
Prévision bayésienne et structure par terme des taux d'intérêt
Cet article s'efforce d'approcher de manière originale les anticipations des agents concernant le taux long futur et sa volatilité, variables clés dans l'équation de détermination du taux long issue de la théorie des choix de portefeuille. D'une part, il est supposé que les agents forment leurs prévisions sur la base d'un modèle particulier, appelé modèle mental, qui représente l'idée qu'ils se font de la détermination du taux long. D'autre part, ces agents sont supposés bayésiens, au sens où ils forment leurs prévisions sur la base des moments des densités prédictives issues d'une procédure de révision bayésienne. Est également étudié le cas où les agents peuvent avoir plusieurs modèles mentaux concurrents et font alors une pondération des résultats issus de ces modèles. Après un rappel de la théorie de détermination des taux longs où l'on se situe, les principes de la méthode sont détaillés selon différents cas. Des résultats empiriques sont ensuite exposés sur des données américaines.
B ayesian forecasting and the term structure of interest rates
This paper tries to approach in an original manner the way agents form their expectations about the future long term interest rate and its volatility — in the theory of portfolio choice, these two variables are central in the determination of the long term rate. First, we suppose that agents form their forecasts using a particular model, which we call a mental model, representing their opinion about the determination of the long term rate. Then, these agents are supposed to behave like bayesians, that is they form their forecasts using predictive moments generated by a bayesian revision procedure. We also present the case in which the agents can consider several alternative mental models and then weigh the results issued from these models. After recalling the theory of the determination of the long term rate which we shall be using, the principles of our methodology are then exposed under different cases. Finally, we present some empirical results using U.S. data.
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Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié le 01 janvier 1990
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Langue Français
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Monsieur Christophe Bisière
Monsieur Charles Lai Tong
Madame Anne Peguin-Feissolle
Prévision bayésienne et structure par terme des taux d'intérêt
In: Revue économique. Volume 41, n°5, 1990. pp. 817-838.
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Bisière Christophe, Lai Tong Charles, Peguin-Feissolle Anne. Prévision bayésienne et structure par terme des taux d'intérêt. In:
Revue économique. Volume 41, n°5, 1990. pp. 817-838.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_0035-2764_1990_num_41_5_409240Résumé
Prévision bayésienne et structure par terme des taux d'intérêt
Cet article s'efforce d'approcher de manière originale les anticipations des agents concernant le taux
long futur et sa volatilité, variables clés dans l'équation de détermination du taux long issue de la théorie
des choix de portefeuille. D'une part, il est supposé que les agents forment leurs prévisions sur la base
d'un modèle particulier, appelé modèle mental, qui représente l'idée qu'ils se font de la détermination du
taux long. D'autre part, ces agents sont supposés bayésiens, au sens où ils forment leurs prévisions sur
la base des moments des densités prédictives issues d'une procédure de révision bayésienne. Est
également étudié le cas où les agents peuvent avoir plusieurs modèles mentaux concurrents et font
alors une pondération des résultats issus de ces modèles. Après un rappel de la théorie de
détermination des taux longs où l'on se situe, les principes de la méthode sont détaillés selon différents
cas. Des résultats empiriques sont ensuite exposés sur des données américaines.
Abstract
B ayesian forecasting and the term structure of interest rates
This paper tries to approach in an original manner the way agents form their expectations about the
future long term interest rate and its volatility — in the theory of portfolio choice, these two variables are
central in the determination of the long term rate. First, we suppose that agents form their forecasts
using a particular model, which we call a mental model, representing their opinion about the
determination of the long term rate. Then, these agents are supposed to behave like bayesians, that is
they form their forecasts using predictive moments generated by a bayesian revision procedure. We
also present the case in which the agents can consider several alternative mental models and then
weigh the results issued from these models. After recalling the theory of the determination of the long
term rate which we shall be using, the principles of our methodology are then exposed under different
cases. Finally, we present some empirical results using U.S. data.Prévision bayésienne et structure
par terme des taux d'intérêt
Christophe Bisière
Charles Lai Tong
Anne Peguin-Feissolle *
Cet article s'efforce d'approcher de manière originale les anticipations des
agents concernant le taux long futur et sa volatilité, variables clés dans l'équation
de détermination du long issue de la théorie des choix de portefeuille. D'une
part, il est supposé que les agents forment leurs prévisions sur la base d'un
modèle particulier, appelé modèle mental, qui représente l'idée qu'ils se font de la
détermination du taux long. D'autre part, ces agents sont supposés bayésiens, au
sens où ils forment leurs prévisions sur la base des moments des densités
prédictives issues d'une procédure de révision bayésienne. Est également étudié
le cas où les agents peuvent avoir plusieurs modèles mentaux concurrents et font
alors une pondération des résultats issus de ces modèles. Après un rappel de la
théorie de détermination des taux longs où l'on se situe, les principes de la
méthode sont détaillés selon différents cas. Des résultats empiriques sont ensuite
exposés sur des données américaines.
L'abondante littérature sur la détermination de la structure par terme des taux
d'intérêt laisse apparaître des divergences entre les auteurs, non seulement sur le
plan des théories explicatives, mais également sur un plan empirique. Il ne
s'agit, en aucun cas, de nous immiscer au cœur du débat concernant les
différentes explications de cette structure par terme, puisque nous situant
d'emblée dans le cadre de la théorie des choix de portefeuille. L'apport de cet
article est essentiellement de nature méthodologique : comment approcher de
manière originale les anticipations des agents concernant le taux long futur et
sa volatilité, deux variables déterminantes dans l'équation du taux long,
exprimé sous une forme estimable issue du modèle de portefeuille.
Le postulat de travail est double. D'une part, nous supposons que les agents
forment leurs prévisions sur la base d'un modèle, appelé modèle mental ; ce
* Un groupe de travail commun Centre d'économie et de finances internationales-Caisse des
Dépôts et consignations est à l'origine de l'idée principale de cet article. Nous tenons donc à
remercier Patrick Artus, Philippe Ducos et Sandy Avouyi-Dovi, qui ont également mis à notre
disposition les données sur les États-Unis. En outre, les conseils de Jean-Pierre Florens,
professeur au GREMAQ, nous ont été précieux. De même, nous sommes grés à Jean-Paul Pollin
de ses commentaires constructifs sur une première version du texte. Mais il est bien évident
que nous restons seuls responsables des erreurs qui subsistent.
817
Revue économique — N° 5, septembre 1990, p. 817-838. Revue économique
dernier représente l'idée, plus ou moins précise, qu'ils se font de la détermi
nation du taux long. D'autre part, ces mêmes agents sont supposés bayésiens,
au sens où les prévisions qu'ils forment, pour le taux long et sa volatilité, ne
sont autres que les moments des densités prédictives issues d'une procédure de
révision bayésienne, sur la base de leur modèle mental. Nous étudierons égale
ment le cas où les agents considèrent plusieurs modèles mentaux concurrents,
sans pouvoir véritablement choisir celui qui donne les meilleures prévisions :
ils feront alors des pondérations de celles-ci, par des coefficients représentant les
poids, révisés à chaque nouvelle observation, des différents modèles.
Cet article est organisé comme suit : dans un premier temps, nous rappelle
rons les différentes étapes théoriques aboutissant à la forme estimable du
modèle de portefeuille déterminant le taux long. Ensuite, nous exposerons la
méthodologie de construction des prévisions des agents, selon les deux prin
cipes exposés ci-dessus. Puis, à titre d'illustration, nous montrerons quelques
résultats empiriques sur données américaines.
LA STRUCTURE PAR TERME DES TAUX D'INTERET:
LE MODÈLE DE BASE
La théorie traditionnelle de la structure par terme des taux d'intérêt dans un
marché d'obligations à taux fixe (cf. Shiller-Campbell-Schoenholtz [1983])
exprime le taux long comme une moyenne pondérée des anticipations de taux
courts, plus, éventuellement, une prime indépendante du temps. Cette prime,
qui résulte directement d'une simple équation d'arbitrage, peut être considérée
comme insuffisamment spécifiée.
L'introduction d'un comportement plus réaliste des agents sur ce marché (par
l'utilisation de la théorie des choix de portefeuille) permet d'améliorer cette
spécification. Toutefois, une telle approche complique considérablement l'est
imation de l'équation obtenue, en faisant notamment apparaître la volatilité
anticipée du taux long.
Dans un premier paragraphe, nous décrivons le cadre d'analyse et rappelons
brièvement le modèle linéarisé (cf. Shiller [1979], par exemple). Puis, suivant
Artus [1987], nous rappelons comment le modèle de portefeuille permet de
préciser le contenu de la prime. Nous donnons alors les deux formes alter
natives obtenues pour le taux long (forme structurelle et forme résolue). Enfin,
nous discutons des techniques d'estimations possibles pour ces équations. Christophe Bisière, Charles Lai Tong, Anne Peguin-F eissolle
Modèle linéarisé du taux long
Considérons un marché de titres longs, sur lequel s'échangent des
obligations sans risque de défaut, émises à différentes périodes pour une durée
de vie toujours égale à T. Chaque obligation paie un coupon par période
pendant toute sa vie, à un taux Cw dépendant de la date d'émission t, jusqu'au
remboursement du principal (que nous norrmalisons à 1).
On trouve donc sur le marché, à l'instant /, des obligations de différentes
maturités (nombre de périodes avant le remboursement final). Par définition,
une obligation de maturité n a été émise en t + n — T.
Soit R/n) le taux de rendement actuariel, à la période t, d'une obligation de
maturité n.
Soit Pr(n) le prix, à la période t, d'une obligation de maturité n.
R/n) est défini comme le taux d'actualisation qui rend égal le prix courant de
l'obligation et la valeur, actualisée à ce taux, des flux financiers qu'elle procure
(coupons et principal) :
p(f+*-T) R .(») c(f+n-T) p (n) — -_. L_ , /i\ Vt ~ R/n) +R,W[1 +R,W]» W
Soit H/n) le rendement apporté en t par la détention pendant une période
d'une obligation de maturité n. Il est égal au gain en capital P^ — P/n)
(l'obligation devient, au temps t + 1, une obligation de maturité n — 1), plus
le coupon C('+n'T) reçu sur la période, rapporté à P/n) pour obtenir un taux :
H/n)= ^5 (2)
Cette équation, associée à une définition particulière du comportement des
agents sur ce marché, permet de produire un modèle de structure par terme
des taux d'intérêt. Toutefois, une association directe pose des problèmes com
plexes : Shiller [1979] souligne le caractère non linéaire de certains modèles
obtenus, Cox-Ingersoll-Ross [1981] notent que le choix de la période d'arbi
trage devient déterminant. Pour éviter cette difficulté, on est conduit trad
itionnellement à donner une expression linéarisée de (2) (cf. Shiller-Campbell-
Schoenholtz [1983)] et Shiller [1979] qui montrent que l'erreur induite par cette
approximation n'est pas trop grande).
R^^ = ^» C(t+n~ T) = C où C est On linéarise donc (2) autour de R/n> = C,
le taux de coupon moyen. La relation suivante est donc valable pour des
obligations vendues près du pair (car R/n) = C et C('+n-T:) = C est équivalent à
Pf(n) = 1) si les taux de coupons sur les titres émis aux différentes périodes ne
varient pas trop :
819 Revue économique
' ' c v (i + cyy cy (i + cy
Si on néglige l'erreur, on obtient l'expression suivante pour le taux long :
R M = U.W R(."71} ' X + (1 — u.(n>) H/n> avec jiW = 1 — 1 + C C - [ ^1 — (1 + ^— C)V | (4)
Soit, en introduisant le taux court sans risque rt au temps t et en prenant à
gauche et à droite l'espérance mathématique Et conditionnelle à l'information
disponible en t :
RtW = M-W E, R^ + (1 — u«) r, -Kl — p.w) (E, H/") — rt) (5)
On pose alors <E>/n) = E, H/n) — rt, où O/n) représente la prime de terme
(prime de liquidité et/ou de risque) au temps t, pour les obligations d'échéance
n.
Plusieurs approches ont été proposées pour spécifier cette prime. Ainsi, la
théorie des anticipations a envisagé deux possibilités :
O/") = 0,Vf, Vn (théorie « pure » des anticipations) ;
Ces cas posent tous les deux la constance des primes de terme dans le
temps. On peut alors, en itérant simplement (5) jusqu'à la contrainte terminale
R/1) = rt, obtenir une forme résolue en taux courts anticipés conforme au
résultat traditionnel de la théorie : le taux long est une moyenne pondérée des
anticipations de taux courts, plus, éventuellement, une constante indépendante
du temps.
Spécification de la prime de terme
Considérant que la théorie traditionnelle de la structure des taux donne une
explication insuffisante de la prime, on peut, suivant Artus [1987], utiliser un
modèle explicite de choix de portefeuille.
A chaque instant, les agents vont maximiser l'espérance de l'utilité de leur
richesse future, en la partageant optimalement entre les actifs disponibles. Ces
actifs, au nombre de T, sont les titres de maturité 1, ..., T, dont les taux de
rendement sont respectivement H/1), ..., Htm. Le premier actif étant non
risqué, l'arbitrage entre actifs sans risque nous permet de poser Hr(1) = rt.
Soient :
Wt : la richesse des agents au temps t ;
H, : le vecteur (T — 1) x 1 des rendements des actifs risqués ;
ßt : le (T — 1) x 1 des poids des actifs risqués dans le portefeuille.
820 Christophe Bisière, Charles Lai Tong, Anne Peguin-F eissolle
Le poids de l'actif risqué dans le portefeuille est par construction 1 — ß't • i,
où i désigne un vecteur unitaire (T — 1) x 1.
L'utilité en t + 1 est U{Wt+1} = U{Wt (1 + rt + ß'r • Hr+)), où Hf+ =
Hf — rt- i est le vecteur des suppléments de rendement apportés par les actifs
risqués par rapport au taux sans risque. Soit, en développant au second ordre et
en prenant l'espérance :
W2
E,U{W,+1} = U{W,+1) +-y*. U" {Wt+1} ■ ß', a, ß,

W,+1 = W,(l+rr+ß'r ■ H,),
Ht est le vecteur des Ef HP — rt,
Q,t est la matrice des variances-covariances
La condition d'optimalité est de la forme U' W, H, + U" W2, £lt ßr = 0, si,
comme Friedmann-Roley [1985] et Artus [1987], on néglige les termes en
COVt (H,«, H,«) (EtH/*> — rt) U'".
Si Wt ~ Wt+i, et si l'on suppose que U {W} est une fonction puissance ou
logarithmique, le coefficient de Pratt- Arrow d'aversion relative pour le risque
p = ( — WU")/U' est constant. On a alors :
(6)
où ß*f représente les parts optimales pour les actifs risqués.
A l'équilibre de marché, les titres émis en t + 1 — T, ..., t — 1, t trouvent
preneurs et satisfont aux proportions désirées par les détenteurs de portefeuille.
Soit st le vecteur (T — 1) x 1 des parts des titres risqués offerts, relatives à
la richesse en t (le ième élément étant la part des titres émis en t + i + 1 — T).
On doit avoir st = ß*,. L'équation (6) s'écrit alors :
(7)
Formes théoriques : forme structurelle et forme résolue
La théorie des choix de portefeuille appliquée à la structure des taux d'intérêt
permet donc de spécifier précisément la prime de terme. L'équation structurelle
(5) s'écrit alors :
T
R({n) = ^(n) Ef R^ + (1 _ pW) rt + (i _ jaM) p£ s COVf (H/*), HWt) (8)
J=2
soit, en utilisant (3) pour éliminer les termes en COVt (H/"\ Hrw), on obtient
l'équation théorique finale sous sa forme structurelle :
821 Revue économique
COV<
Cette équation, comme (5), permet de construire une forme résolue en taux
courts anticipés (en supposant que les sjt sont parfaitement connus), grâce à la
même condition terminale. La présence de la prime rend toutefois l'expression
beaucoup plus complexe :
L
T r/-1
(10)
i=2
Le modèle de portefeuille détermine donc une prime, variable dans le temps,
pour chaque maturité. Celles-ci sont notamment fonction des offres relatives de
titres aux diverses échéances, de la co variance anticipée des rendements des pour la période suivante, et, en particulier, de la variance anticipée du
taux la maturité juste inférieure.
Formes estimables et techniques d'estimation
Comme le signale P. Artus [1987], les équations (9) et (10) ne sont pas
estimables en l'état, en raison des données disponibles. Posant alors R f+"î ~
Rf+x, la forme estimable de (9) est :
R, = \i E, Rr+1 + (1 — u.) rt + Oo (Lsjt) Var, (R,+1) + oq COV, (Rr+1, Ut) (11)
où Rf est le taux long et Ut le taux d'inflation en t (pour une justification
théorique de l'introduction du terme en covariance, voir Artus [1987]).
Bien sûr, les termes en E,, Var, et COVf ne sont pas directement
observables. Toutefois, il est possible de travailler sur ce type d'équation, en
calculant les moments d'ordre deux empiriquement, par les approximations :
r p *-l o
0
où les nombres de retard P et Q sont fixés de manière ad hoc.
822 Christophe Bisière, Charles Lai Tong, Anne Peguin-F eissolle
Dans ce cas, on peut appliquer sur l'équation résolue les techniques utilisées
dans la théorie traditionnelle de la structure des taux : utilisation d'un « taux
rationnel ex-post » (cf. Shiller-Siegel [1977]), d'une fonction de réaction des
autorités monétaires déterminant la loi du taux court, d'une fonction
d'anticipation du taux long...
Considérant que l'approximation de la volatilité par la variance empirique
n'est pas satisfaisante, nous nous proposons, dans le cadre de l'estimation sur la
forme structurelle, de spécifier un processus capable de modéliser la prévision
des agents, à la fois pour le taux long et pour sa volatilité.
PRÉVISION BAYÉSIENNE ET STRUCTURE DES TAUX
Reprenons ici l'expression de l'équation (11) dont nous avons abordé
précédemment les problèmes d'estimation :
R, = n E, R,+1 + (1 — n) rt + a« (Zsjd Var, (R,+1) + ax COV, (R,+1, IL) (13)
II s'agit dans ce paragraphe de montrer comment l'utilisation conjointe des
procédures de révision bayésienne et de la notion de modèle mental permet
d'approcher empiriquement les anticipations des agents concernant le taux long
futur et sa volatilité, ce qui permet ensuite d'estimer cette équation. De manière
plus précise, le problème consiste à déterminer, par une procédure bayésienne,
une représentation des termes en espérance et en variance conditionnelles de
R,+1. En ce qui concerne le terme en covariance dans (13), prenons une des
formules dans (12) qui le calcule comme un moment empirique sur le passé.
Pour fixer les notations, posons :
L'équation (13) devient :
R, = ax E, R,+1 + a2 (Ity) Var, R<+1 + ït b (14)
Nous appellerons désormais modèle de base cette équation de détermination
du taux long.
Prévision bayésienne à l'aide d'un modèle mental unique
Le postulat de base sur lequel va s'appuyer notre méthodologie de génération
des prévisions des agents est double : nous allons supposer, d'une part, que,
pour former leurs anticipations, les agents utilisent un modèle annexe appelé
également modèle mental, et, d'autre part, que la procédure de révision de ces
prévisions, au fur et à mesure du temps, est bayésienne.
823 économique Revue
La notion de modèle auxiliaire est largement empruntée à la littérature sur
l'apprentissage qui s'est développée depuis une dizaine d'années dans la lignée
directe des travaux consacrés à la théorie des anticipations rationnelles : certains
auteurs se sont en effet demandés comment les agents apprenaient à former des
anticipations rationnelles.
Pour la résumer succinctement, cette littérature se scinde en deux parties (cf.
Blume, Bray et Easley [1982]). Une première partie se consacre à 1'« appren
tissage rationnel », au sens où les agents apprennent sur les paramètres d'une
distribution en utilisant une fonction de vraisemblance correctement spécifiée ;
cela garantit la convergence vers l'équilibre des anticipations rationnelles sous
certaines hypothèses mais « exige beaucoup de connaissances de la part des
agents » (Bray et Savin [1986]). Une autre partie de la littérature n'exige pas
des agents une connaissance de la spécification correcte du processus de
génération des données : il s'agit donc ici d'une « rationalité bornée ». Cette
démarche suppose beaucoup moins d'informations de la part des agents mais les
conditions de convergence vers un équilibre d'anticipations rationnelles sont
beaucoup plus restrictives.
L'emprunt à cette littérature concernant l'idée de modèle auxiliaire est plutôt
à rapprocher des problèmes d'apprentissage en termes de rationalité bornée,
puisque les modèles mentaux que nous utiliserons n'auront que de faibles liens
avec le modèle théorique constitué par l'équation de base. Nous nous disti
nguerons néanmoins de ces travaux par un souci purement méthodologique :
il ne s'agira pas de démontrer analytiquement des théorèmes de convergence,
c'est-à-dire de voir sous quelles hypothèses des agents irrationnels durant
la phase d'apprentissage peuvent devenir « asymptotiquement rationnels »
(cf. Fourgeaud, Gourieroux et Pradel [1986]). Notre seule ambition est
d'élaborer une méthode originale de construction des prévisions des agents.
Par ailleurs, le second point de notre postulat de base est de dire que les
agents fournissent des prévisions sur la base d'une procédure bayésienne ; en
effet, à chaque période, les agents vont réviser une information a priori dont ils
disposent en fonction d'une nouvelle information, ce qui est l'essence même de
l'apprentissage par l'expérience (cf. Zellner [1971]). Cette procédure séquentielle
de révision présente ici trois avantages. En premier lieu, le degré de croyance
que les agents ont sur les paramètres du modèle mental s'accorde tout à fait avec
le cadre d'analyse bayésien de révision d'informations qui peuvent être sub
jectives. En second lieu, ce cadre est approprié pour des révisions séquentielles
des informations sur la base d'une observation, c'est-à-dire permettra d'exprimer
naturellement une incrémentation des opinions. En dernier lieu, les formules
bayésiennes des densités de prévision permettront de générer non seulement la
prévision des agents concernant le taux long futur, mais également celle de sa
volatilité (qui ne sera autre que la variance a posteriori de la densité prédictive).
Considérons le modèle mental que les agents ont et que nous appellerons
également modèle auxiliaire :
R, = z'r _!(* + «, (15)
824