Self-organized critical phenomena [Elektronische Ressource] : forest fire and sandpile models / Florian Maximilian Dürre

Florian Maximilian Dürre

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• Mathematics
• Physik

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 16

Extrait

Prof.Self-organizedErstgutaccritical2008phenomena.M?ncF(VUorestRigorosums:reDr.andtasandpileanmobdelsagFlorianJuniMaximilianter:D?rreMerklDissertationZwanhderJ.FBakult?temf?rerMathematik,TIdesn2.form2009atikhundProf.StatistikF.der(LMULudwig-Maximilians-Univhen)ersit?teitguM?ncchenter:VDr.orgelegtvam:den13.ergNoAmsterdam)vAmsterdam)iiProf.TZwagandesM?ncRigorosums:h2.J.JBergu(LMUnihen)2009eitgutacErstgutacter:hDr.ter:vProf.denDr.(VUF.Merkl > 0
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bzugrunde,Kritizit?tdasseingef?hrteineeitininterneedingungen.Dynamikist,ederielscnfraktalerSystemelzuveinemom-station?renonenZustandderf?hrt,fastderosicGittershondurchhhei?t,WHecistheinemselbWezieheinerungenrationf?rdassdieNullPZeitotenzgesetzedieinwirZeitPundtersucOrteinegeltentencth?ltharakterisiert.diskretenWirzuundietersucsohendendiegibt,zwveiestandteilebdesekompanndell.testentenMoeit,delle,einesdieersteheneingef?hrtaufwurden,wuzumWdasgegenPh?nomenergiert;selbstorganisierterKnotenKritizit?tundzuompstudieren.AlsDasonersteeitderhMoProzesse,delleDasistdellddell.aeilmengesWirWstapaldbrandmoKnotendell.mitInviereinemwirWf?genaldbrandmohinzu.dellSandkistelseingr??erjederelKknotenStapIdeeeinesstriktGraphendieseenetAn-wderederBewfreiAbscoderderderdurctenhaldbrand-eineniegBaumetracbdelegt.heinlicFdiereieonenKnotenisierterwSelbstorgan-erdenalseneditsprecKhendgunabZusammenhangskh?ngigerzurPWiroissonbProzesseheinlicmitLimesRateheinsonbformelegt.ahlUnabh,?ngighendaKveiterenontentrittbanonsequenzeinemherenjedenergenzKnotenieEnEindeutigktz?ndung?(durctreibhoBdielitzscEigenschlag)eiteauf,teendastsprecSandstaphendseiunabh?ngigerhePzwoissonvProzesseetracmitfolgendeRatedellwurdeEinKritizit?tStrukturenisierterSandstap.H?heWbenn?rnern.sicwheineneindasKnotenSandkenKnotentz?ndet,allssoHinzuf?genwirdrndiedesgesametehZusammenhangskvierodermpmen.onenertevbZusammenfallenelegterbKnoteneiteredeseineenalstzlassen?bisndetenhKnotensKlasseunonvfangsberz?glicEinerhHauptbfrei.desEseisesisteinebh?tzungekAbfallsannGr??ent,erteilungdassZusammenhangskimonenunendlicinhenWVmoolumenF?rWlaldbrandprozessebzuheinerwirjedenieBlitzscahrschlagratehkndassbstorgaZusammenhangskselpexistieren.teDerKnotenExistenzbzuewZeiteis.istgr??erziemlicvhbabstraktngtundiedongu-im-einiplizierterniceitererhompttendieZeitEindeutigk.eit.zeigen,DesdieseWedingteeiterenahrscbhkeanimtesserwunendlicortetgegendiekKvonstruktionuni-nicinhWtdesdiebFderrage,Ph?nomenenobnat?rliceinderWongurationaldbrandprozesswaufZusammenhangskeinemonenGraphenaufonzeptwirmitedingen.unendlicKhemderVsicolumenKmess-vbarerhaltenbdez?glicMessbarkhundseinereittreibezendenglicPderoissonendenProzesseoissist.nMotiviertunddurcMarkhvdiesehaft.FzwragenunzeigenhwirModieistfastAbsichehereelmoKEsonhiedenenvendlicergenzTeinerdesFeidimensionalenolgeerscv.onbWhaldbrandprozessendasaufSand-endlicelmohen,aufgegen:denjederGrapheninKenweinenacelhsendereinerTveilgrapheneinbisez?glicSandkhZuihrerZeitpunktentreib?hlenendenzuf?lligPKnotenoissonAuftretenProzesse.undDereinBeworneisdemiumstFznacidememdesloicshH?heallgemeing?ltigStapundbumfasstialleectt,alseinist,Nacf?lltbarStapAbstandzusam-vDasdievieinesSandSandk?rnerFerlassenesKnotenhGraphenundmitjederbhescmithr?nktemeinsVonerzerh?ltwdieserei-?rner.gungsgrad,allsallenacpdemositivdesenelsBleiitzscwhlagratenStapDasmitZusammenfassungH?heiiigr??erwirvierKsoerhaltenwirderzusammenfallen,Seleine,ongurationundineineallereltapaeineti?vegro?wivGrenzwzwiscohenereinszeigen,undzeviermithabIndiken.StrukturWiralenlimesunist.tersucwirhenFdenResultateSkgemeinsamenadielbloeen.ndieserlimesonformdesarianFereldesgvzenonf?rSeitendermitUnH?heaufeindstensit?teninrfsolceinshheeinemkdeterminanSandstaphelmoWirdell.dassGenauerSkgesagt,kwirkidenvtizierentdDar?benhinausSkialenlimesendereinenKtralenoertsatzvdasarianzelddaKnotenvH?he.onsereH?hebasiereneinseinbDarstellungeierzwIneidermakroskatoopiscunktionenhH?hevanzeigen,oneinanderelceneinertfernctentalenKnoten?hnliczuist.hab1
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bRoughly.spseakingrthertheccur-ideadel.bprobabilitehindtoself-organizedconcriticalitsiteyhaisshothatnaturalahoicedynamicldrivTheesconsideragsystemsandtoandwplingardsyaofstation-shoaryestateersethatvisincconsequenceharacterizeduniquenesbtheythepwoswberelathewthecorrelationsgrainsinofspaceeandwtime.wWoneethestudywtcowtheorepresenotefshotheymosttofamousinmodivdelscongurationthatconditionwureereergence,inytrooissondpropucedinasmomosubsetdelstegerexhibitinsandpilegvself-organizedwithcriticalitoneyt.aTheaIfrsttthanofThatththeemdistance-one-nisetheafterforestbreemocongurationdel.heighInfour.aforforesthrewmothedelteacthscalingsiteF(vtralertex)tofreaheighgtensitiesraphatisWeitherthatvtoacanthistdecaorTheoisccupiedebtheytheaandtree.theVwacanBeingtalmostsitesvgetconoeccupiedandaccordingresptodrivingindepcesses,endenotyratemoocusPelianoisLetsoantheprosionalcesses.WIndepfolloedelneacdenintlya,heighatweacfourhs.sitestimes,ignitionho(bofyandlighgraintnoing)addingotheccurstheaccordingstrictlytothenindeppendenfourtvPforoissonacprobcessesgetsththagrains.tthehatinvtoeerateuntiobtainaallexplane.bWhenoneaesitescalingisheighignitedinitssandpilewholepreciselyclusteridenoflimitovccupiedvingsitesatbmacroscopicallyecomesWvthatacanistarianinstanwtaneouslya.theoremItileisknoresultswnonthofaottinniteisvrsolumetimeforest.reeprowcessesasexisttendforinnitall,ignitionconditionalratesyanysaszero.osedcon.ergenceTheuniformprothofcofofexistensitece,istimerather,abstract,theandofdofuesclustersnoteimplyon.uniqueness.aNorofdosesinnitetheoconstructionumeanswverwtheobtainquestionswhethermeasurabilitinwithectntheitePvproolumeandforestMarkrevproertcesses.aresecondmeasurabledelwithforespisectAbtosandpiletheirdel.drivingtructuresPeoissonniteproofcesses.tMotivo-dimenatedinblattice.yethesethequestions,wingwmoeonsho:whtheertexalmostfractalsuretainsinnitesandpilevaolumetcoetneenvandergencesandforrainforestArediscretemwocdelsosewithsiteresprenceectrandomlytoaddtheirsanddrivingatPsiteoisson.proaftercesses.theOurgrainproheighofatissitequiteisgenerallargerandfour,cothevtoersples.allis,graphssandwithleabeounsiteded,veertex,halleighpourositivnphenomena.onthereofothereteseaIfttopplinglargersitefour,eareignitionsirateswithpropheighasstrictlywthan,wandconauequiteylargepsetthofsinitialsitescongurations.tilOneeofathewheremainsitesingredienvtsaofttheetproeenofandisWanstudestimatetheforlimitthethedecatyeldofsuctheaclustermosizeMoredi,stributioneintifyascalingforestforrecomoariancedel.haFheighoroneytcriticalitoself-organizeddistan,sites.weewstudythisthelimitprobabilitconformallyyvthatt.theurthermore,clustereatwsitecenoflimitandfortimesandpconceptheighTheoneAbstracteldisOurlargerathanbasedvatotationblothek-determinantlncongurationjoinofinsomethatfurthercloseclusa,cconditionedtaonstructure.thevi2.5.5ConAbten.ts.1.In.tr.o.duction331.1.1EstimatesSelf-organized3criticalit.y..20.........Prop.............3.1.2.of...the.for...........3...Orga......151.249Almost.sure.in.nite.v3.1olu.me.con.v.ergence.for.forest.re.pro.ceands.ses..of.....Prop....2.1.3ofScaling.limit.for.theofAb.elian.sandpile.heigh.ttheone.eld..domain.......of.....of.......of3.2.Almost.sureScalinginnitetvsandpileolume.con.v.ergenceThefor.forest.re.pro.cesseslimit7.2.1.The61forest.re.pro.ce.s.s..Gro.estimates.pro.....2.5.4.pro.osition.........of.4.............Pro.osition.............2.67Prop2.2.Statemen.t.of.the.main.results..34.ization.of.3.......2.6.2.dep...........35.the.Prop.........Pro.osition....1.0.2.3.Key.prop2.6.5ositiPropo.n.s.and.pro.of.of58thforesandpilemaineldresultsAb.d.............59.del............11.2.3.1.Orgathermon.ization.of.the.pro.of.ofStatemenTheoremsmain1.-.3........2.........2.5.3.wth.ignition.for.blur12cess2.3.2.The.blur.pro.c23essEstimates.the.of.Prop.4...............25.Pro.of.osition..........................122.5.62.3.3ofKeyPropprop2ositions........................34.Pro.of.osition..........................13.2.3.4.Pro2.6.1ofnofofthepromainofresuositionlts..............34.The.of.endence.......................2.6.3.for.pro15of2.4ositionPro.of.of.Prop.osition.1......2.6.4.of.Prop.5.........................56.Pro.of.osition..............17.2.5.Pro.of.of.Prop.osition32limit.the.elian.heigh.one.59.The.elian.mo.el...........................3.1.1.mo..........19.2.5.1.Orga.n.ization.of.the.pro.of.of.Prop.osition592The.dynamic.........................3.219t2.5.2theGeneralresultsprop.erties.for.the.blur.pro.cess............6.vii.tsviii.CONTENTS.3.2.1.Conformal.scaling.forGreen'sthe.heigh80tforoneandjoin.t.mo.men.tsthe...sandpile...ulan.3.6.2...Pro...9662.3.2.2toScaling.limit.for.thlimitejoinheigh.t.onefeldeld.....one.....Prop.......5...........72.asy62c3.2.3.Scaling.limit.for.th.e.heigh3.5toonetjoincumt.cum.ulan.ts..Scaling.r.t.........3.6.1.heigh.t..63.3.3.The.heighoft6,one.eld.in.nite.v.olume90.of...............y.........3.4.function.mp.ti.s......6.5.3.3.1.The.burning.test........75.Scaling.f.r.heigh.one.t.ulan.................3.6.limit.o.the.heigh.one......66.3.3.2.Heigh.t.one.probabilities84.Estimate.the.t.join.cum.ts.............85.Pro.of.ositions.7.8............67.3.3.3.Heigh.t.one3.6.3joinoftTheoremcum.ulan.ts........................Bibliograph.97.aChaptere1criticalIntotrooductione1.1criticalSelf-organizeddropletscriticereaeqlitInypManmecymecsystemsNextlikyewhereameccollectiontoofneelectrons,foraandpilewhofinsanmdagrains,cafbueguncmagnetickgroettoofaluid,oforinantheecosystemcriticalconsisthofonemanparametersyrathercompoonenBak,tsththatamhaesvlaenotsometuninginthatternalthmwsecthehanismtoofmanineteraction.yAesdwn,ditionallysuptooftheseLaterinereternalosedinbteractions,ariousthereymateractionsystudbmecssomebdrivinofgtransition.externaleforcesphenomenalikilibriumetoaphmagneticspeld,alues,orikanlighprotningPthatThitsWiesenfeldandtignitesyactreehintoawforest.correlationsDrimvvenybpara