Sketched stable planes [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Anke Wich

Anke Wich

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• Publié par: universitat_stuttgart
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 13
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Sketched Stable Planes
Von der Fakultat Mathematik und Physik der Universitat Stuttgart
zur Erlangung der Wurde einer Doktorin der
Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
Anke Wich
aus Kelkheim im Taunus
Hauptberichter Prof. Dr. Markus Stroppel
Mitberichter Prof. Dr. Hermann Hahl
Tag der mundlichen Prufung 13. Februar 2003
Institut fur Geometrie und Topologie der Universitat Stuttgart
2003Anke Wich
Institut fur Geometrie und Topologie
Lehrstuhl fur Geometrie
Universitat Stuttgart
Pfa enwaldring 57
D-70569 Stuttgart
[e-mail]
Mathematics Subject Classi cation (MSC 1991) :
51H10 Topological linear incidence geometries
51H20 Topological geometries on manifolds
51A40 Translation planes and spreads
51A45 Incidence structures imbeddable into projective geometries
51A10 Homomorphism, automorphism and dualities
22F50 Groups as automorphisms of other structures
57S20 Noncompact Lie groups of transformations
51J99 Incidence groups
Keywords : topological geometry, stable plane, complex projective plane, transformation
group, group partition, embedding
This thesis is also available as an online publication at
http://elib.uni-stuttgart.de/opusAbstract
Standard objects in classical (topological) geometry are the real a ne and hyperbolic
planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane
(endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve
as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability.
One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes –in
fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the
real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called
classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane.
Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into
one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes.
An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups.
Planes of that type can be treated more eciently studying these groups along with
certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This
method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been
gratifying.
Maier in his dissertation gives a classi cation of all 4-dimensional connected Lie groups
which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group = RnHei R,3
had not been expected, and it hosts an in nite number of stable partitions. Our objective
is whether or not the resulting stable planesP are embeddable into an already well known
plane. Using sketches, it can be proved that none of these planesP is embeddable into
the classical projective planeP C. As an interesting counterpoint, those planes — hostile2
as they are towards being embedded into classical planes — do contain an abundance
of both, a ne and non-a ne 2-dimensional classical subplanes.
The full automorphism group of such a planeP does not contain a certain selection
of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble is : either it
is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl R. The normaliser2
N ( )of in turns out to be soluble, after all.

On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane
is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes
so far have been point homogeneous geometries ? And indeed, any line homogeneous
sketched stable plane is necessarily ag homogeneous.
iZusammenfassung
DerBegri der stabilen Ebenen verallgemeinert alltagliche klassische Ebenen wie die re-
elle a ne Ebene oder die reelle hyperbolische Ebene. Besonders sch one Exemplare lassen
sich aus Gruppen mit gewissen Partitionen konstruieren, die sogenannten skizzierten sta-
bilen Ebenen. Die Gruppen, die solche stabilen Partitionen zulassen, sind sehr hau g
Liegruppen und haben nach einem Satz von Lowen die Dimension 2, 4, 8 oder 16.
Maier klassi zierte alle vierdimensionalen Liegruppen mit stabilen Partitionen. Die
stabilen Ebenen, die sich aus den vier Kandidaten ergeben, sind wohlbekannt — mit
Ausnahme derer, die aus der Frobeniusgruppe =RnHei R entstehen. Diese Familie3
vonEbenenwirdhiern aher beleuchtet.
Neben dem erwahn ten Konstruktionsmechanismus spielt der Begri der Einbettung
eine tragende Rolle. Beispielsweise lassen sich die a ne und auch die hyperbolische reelle
Ebene als oene Unterebenen einbetten in die reelle projektive Ebene, erschlie en sich
mithin dem gemeinsamen Zugri mit Hilfe nur einer Theorie. Umgekehrt ist jede o ene
Unterebene einer stabilen Ebene wiederum eine stabile Ebene. Auf diesem Wege kann
man sich also mit einer fremden stabilen Ebene vertraut machen — indem man namlich
eine bekannte Ebene ndet, in die sie einbettbar w are. Die begehrtesten “Betten” sind
naturlich die klassischen stabilen Ebenen, also die projektiven Ebenen uber den reellen
Zahlen, den komplexen Zahlen, den Hamiltonschen Quaternionen und den Cayleyschen
Oktaven.
Es wird nachgewiesen, da keine der aus konstruierten stabilen Ebenen auf irgendei-
nem Wege in die vierdimensionale komplexe projektive Ebene eingebettet werden kann.
Dieses Ergebnis schrankt die Suche nach der vollen Automorphismengruppe einer
solchen Ebene deutlich ein : gewisse klassische Gruppen konnen nicht als Automor-
phismengruppen auftauchen, und mithin ist entweder selbst au osbar oder enthalt
genau ein Exemplar einer Untergruppe mit Liealgebra sl R. Ihr Normalisator N ( )ist2
au osbar.
Umgekehrt ergibt sich, da diese Ebenen selber eine Vielzahl von zweidimensionalen
Unterebenen enthalten, die ane oder nichta ne Unterebenen der reellen a nen Ebene
sind.
In allgemeinerem Kontext wird ausgeleuchtet, weshalb bislang keine anderen als punkt-
homogene skizzierte stabile Ebenen bekannt sind: jede geradenhomogene skizzierte sta-
bile Ebene ist notwendigerweise bereits fahnenhomogen.
ii



Contents
Abstract i
Preface v
Kurzfassung in deutscher Sprache ix
1. Foundations 1
1.1. Sketched geometries.............................. 1
1.1.1. Categories and sketched geometries .. 1
1.1.2. Homogeneity and sketched geometries..... 5
1.2. Stable planes ....... 7
1.3. Morphisms and embeddings of stable planes ................ 8
1.4. Construction of stable planes from stable partitions ........ 10
1.5. Stable partitions of 4-dimensional Lie groups ..... 16
2. Line homogeneous sketched stable planes 19
2.1. Euclidean, hyperbolic and skew hyperbolic geometries ........... 19
2.2. Non-isotropic points therein ..................... 34
2.3. Classi cation of line homogeneous sketched stable planes ......... 39
3. A non-embeddability theorem for Peter planes 49
3.1. The planes ... ................................. 49
3.2. ... and their bed...... 52
3.3. A categorical user’s manual for the embedding of planes.......... 54
3.3.1. Transition from incidence structures to geometries ..... 56
3.3.2. Excursus on the topologies involved ................. 60
3.3.3. Transition from geometries to sketched geometries ..... 65
3.3.4. Transition from sketched geometries to sketches .......... 67
3.4. Hunting down group monics .......... 68
3.5. The point orbits................................ 7
3.6. The point stabilisers ... 82
3.7. The line stabilisers ........ 84
3.8. One more way of not embedding Peter planes 8
iiiContents
4. Classical subplanes in Peter planes 91
4.1. Two prototypes ................................ 91
4.2. Sketched Baer subplanes from 2-dimensional Lie subalgebras ....... 96
4.3. The prototypes as sketched Baer subplanes of the original Peter planes . 100
4.4. Classi cation of 2-dimensional Lie subalgebras of g ..103
4.5. Abelian bres in stable partitions of g....................109
4.6. A ne lines in Peter planes ................111
5. On the automorphism group of Peter planes 115
5.1. is compact-free ....................15
5.1.1. The commutator subgroup of a compact connected Lie group...17
5.1.2. The centre of a compact connected Lie group .120
5.1.3. Simply connected compact Lie groups......122
5.2. Some groups the automorphism group does not contain ..........125
5.2.1. SO R is not an automorphism group ofP ...1263
5.2.2. SL C is not an am ofP....1272
5.2.3. SU C is not an am group ofP ...1272
5.2.4. Application of a result by Bickel..................128
5.3. How soluble is the automorphism group ?129
5.3.1. Zoological considerations concerning so R ...1293
5.3.2. Consequences for the Levi decomposition ...13
5.3.3. Semisimple complex Lie algebras, real and compact forms.....134
5.3.4. What the classi cation of simple Lie algebras can do for us ....137
5.3.5. Solubility revisited ..........................140
5.3.6.y of a normaliser..140
A. Appendix 147
A.1. Topology....................................147
A.2. Groups and topological groups...149
A.3. Lie algebras and Lie groups ....149
Bibliography 153
Index of Symbols 158
Index of Subjects 159
ivPreface
Mathematics has a long and fruitful tradition of translating problems fro