Mathématiques 3AS (الرياضيات 3 ثانوي)

-

Livres
240 pages
Lire un extrait
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Programme algérien

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 55
EAN13 9789931639039
Langue Français

Informations légales : prix de location à la page 0,0038 €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Signaler un problème

õîŔğîœč
őŎŇîüĿí łŔŀĬøĿí ņŃ ôüĿîüĿí ôňĔĿí
ôŔòœĎĀøĿí ŁŎŀĬĿí ôòĬė

رفشوب ةدنه
يوناثلا ميلعّتلا ةذاتسأ

XICÈ

Ą

ăĄ

ąĈ

Ĉā

Ċć

Ăăā

ĂĆĂ

ĂćĈ

ĂĊą

ăăć

ÔeOIÈ

çÈvNGÈ

ËVVONÈ ® Ă

ãVJÈé ÒÈeMÈ ® ă

XP`È åÈécÈ ® Ą
ò ò
ò

XĴPNÈ XPMÒVvLÈ XÈcÈ ® ą

XP{VDIÈ XcNĩÈ ® Ć

Xe+È ÐÈc`È ® ć

XÐcGÈ ËVPV+È é mÈĹV çVļÈ ® Ĉ

XPV XVO ® ĉ

xLVKÈ ÉV!)È ® Ċ

ËVMÈ ® Ăā

© Éditions Sédia pour la présente édition en Algérie, tous droits réservés pour l'Algérie-Alger 2016.
ISBN: 978-9931-639-03-9

Exos résolus - Maths Terminale S - Enseignement obligatoire et de spécialité.
Claudine Renard et Geneviève Roche.
© HACHETTE Livre 2013, 58, rue Jean Bleuzen, 92178 VANVES CEDEX, ISBN 978-2011608376.

ËVVONÈ ® Ă

ÔÒcáÈ

_l
.ىطعم ملعم يfةلادلا ىنحنم وهCfو ،روحما،ةيقيقح دادعا يهاذه ي
ةياهنالا دنع ةيهتنم ةياهن
: فيرعت
+∞راوج ي ةفرعم f1
، يوحيحوتفم لاجم لك لجا نم نا ينعي +∞ وحنxlf(x)
لوؤت امدنعىا لوؤت
l
flx f(x)
xl i→m (x) بتكن .هديرن يذلا رادقماب ربك= :لجأ نمميق لك يوحي
-∞راوج ي ةفرعم f2
l lf(x)
،يوحي حوتفم لاجم لك لجا نم نا ينعي -∞ وحنx لوؤت امدنعىا لوؤت
f(x)
: بتكن.هديرن يذلا رادقماب ةربك ةقلطما هتميق بلاسxميق لك يوحيلجأ نم
f(x) =
l
xl i→m
ةيعجرمـلا لاودلا ةياهن
1 1 11
x ,x ,x ,x
-∞ و +∞ دنع 0 اهتياهن....،4 3 2لاودلا
x x xx
مودعم رغ يعيبطnلك لجا نم
1 1
lim =0 و lim= 0
nn
x x
x→x→
4 4

-2

-1

2

-2

0

1

2

-2

-1

2

-2

0

1

2

-4

-2

ÔÒcáÈ

تايثادحاا رواحم ةيزاوما ةبراقما تايقتسمـلا
وه y= ةلداعما وذ6gzY5˯ ΃
l
+∞ دنعCىنحنملل براقم ميقتسم
f
lim فو اذا
f(x) =l: اذاطق

x→

0 12
2
وه y= ةلداعما وذ6gzY5˯ ΃
l
اذا -∞ دنعCfىنحنملل براقم ميقتسم
lim اذا طقف و= :
f(x) l
x→
-4 -3 -2 -10
ةياهنالا دنع ةيهتنم رغ ةياهن
: فيرعت
+∞ راوج ي ةفرعمf1
[A; +∞]لكشلا نم لاجم لك لجا نم نا ينعي +∞ ىاxلوؤي امدنع -∞ ىا لوؤت
f(x)
f(x)x f(x)
xl→i m ميق لك يوحيلجا نم.فاكلا رادقماب ربك: بتكن= +∞
+∞ راوج ي ةفرعم f2
[-∞; A]لكشلا نم لاجم لك لجا نم نا ينعي +∞ وحنxلوؤي امدنع -∞ ىا لوؤتf(x)
limكن .فاكلا رادقما
x→ f(x) = -∞: بتب ربكxلجا نمf(x)ميق لك يوحي
-∞ راوج ي ةفرعم f3
[A;+∞]لكشلا نم لاجم لك لجا نم نا ينعي -∞ وحنxلوؤي امدنع +∞ ىا لوؤت
f(x)
: بتكن.فاكلا رادقمابةربك ةقلطما هتميق و بلاسxلجا نمf(x)ميق لك يوحي
f(x) = +∞
lxi→m
-∞ راوج ي ةفرعمf4
[A;+∞]لكشلا نم لاجم لك لجا نم نا ينعي -∞ وحنxلوؤي امدنع -∞ ىا لوؤت
f(x)
: بتكن.فاكلا رادقمابةربك ةقلطما هتميق و بلاسxلجا نمf(x)ميق لك يوحي
f(x) = -∞
xl i→m
4

ËVVONÈ ®1
a يقيقح ددع دنع ةياهنلا
.aيقيقح ددع راوج ي ةفرعمf،ةرقفلا هذه ي
: فيرعت
ودنع +∞ ىا لوؤت%
ميق لك يوحي [A;+∞] لاجم لك نا ينعيaحنxلوؤي امf(x)
f(x)x f a(x)
lxi→ma لجا نمنم بيرق.ياكلا رادقماب: بتكنو= +∞
ميق لك يوحي [-∞; A ] لاجم لك نا ينعي a وحنxلوؤي امدنع -∞ ىا لوؤت%
f(x)
x f(x)
xl i→am f(x) .ياكلا رادقماب: بتكنو= -∞aنم بيرقلجا نم
راسيلا نم ةياهنلا ،نميلا نم ةياهنلا
. +∞ وا -∞ ،يقيقح ددعh
[a;+∞]لاجماىع ةلادلا راصتخا ،اذا طقف و ،اذاaنم نعhةياهن لبقتfنا لوقن%
+ f( h<f(x) h h
lim x) = واlim = :ددعلا لبقتبتكن .اهل ةياهن
x→a
x→a
[-∞;A]لاجما ىع ةلادلا راصتخا ،اذا طقف و ،اذاaراسي نعةياهن لبقتfنا لوقن%
h
im- f(x) =h<f(x) h h
lx→a وا lxi →ma ددعلا لبقت= :بتكن .اهل ةياهن
ةيعجرما لاودلا ةياهن
1 11
.0 دن6 4, x
ع +∞ يه .... ،x , x2لاودلا ةياهن
x xx
1
،N* نمnلك لجا نم
lxi →m0 2n= + ∞
x
1 11
.0 دنع -∞ يه .... ،5, 3, xلاودلا ةياهن
x x
x xx
1
xl i→0m- +2n+1= - ∞ ،N* نمnلك لجا نم
x

1 11
.0 دنع +∞ يه .... ، 5 3, xلاودلا ةياهن
x ,x
x xx
1
+ ∞، *نم لكلجا نم
Nn
lxi→m0+ -2n+1=
x
بيتارلا روحم ةيزاوما ةبراقما تايقتسما
C
: اذا طقفو ،اذاfىنحنملل براقم ميقتسم وهx=aةلداعما وذǻميقتسما
f(x) limf(x) = -∞f(x)
واlim = +∞وا وا lim = +∞
x>a x<a x<a
.lim = -∞
f(x)
x>a

5

b
6
5
4
3
2
1
-1 01 2
-1
-2
-3
-4

b
6
5
4
3
2
1
-1 01 2
-1
-2
-3
-4

b
6
5
4
3
2
1
0 12 3
-1
-2
-3
-4

ÔÒcáÈ

b
6
5
4
3
2
1
-1 01 2 3
-1
-2
-3
-4

تاياهنلا ىع تايلمعلا
+∞وا -∞ ،يقيقح ددع لثمa،نايقيقح ناددع اه' ونتلاد يهfوg،يي ام لك ي
l l
نتلاد عومجم ةياهن
.aراوج ي ةفرعمf+g ةلادلا نا ضرفن
l l l
+∞ -∞ +∞aدنعfةياهن تناك اذإ
-∞ -∞+∞ -∞ +∞aدنعgةياهن تناك اذا
l'
l+l'
؟يه-∞ +∞ -∞ +∞f+gةياهن ناف

0
±∞
؟

+∞
-∞
-∞

+∞
+∞
+∞

+∞
+∞
+∞

l<0
-∞
+∞

l<0
-∞
-∞

نتلاد ءادج ةياهن
. a راوج ي ةفرعمf×g ةلادلا نا ضرفن
l<0l<0l
aدنعfةياهن تناك اذا
+∞ +∞aدنعgةياهن تناك اذا
l'
-∞ +∞يه )f . g( ةياهن ناف
l l'

6

ËVVONÈ ®1

7

±∞
±∞
؟

0
0
؟

-∞
l' <0
+∞

-∞
l' <0
-∞

+∞
l' <0
-∞

+∞
l' <0
+∞

نتلاد ةمسق لصاح ةياهن
f
.aراوج ي ةفرعمةلادلا نا ضرفن
g
l l
aدنعfةياهن تناك اذا
aدنعgةياهن تناك اذا و
l
0
f
l/l'
0aدنع ةياهن لبقتgنإف

-∞وأ< 0-∞وأ <0 +∞وأ >0 0+∞وأ >aدنعfةياهن تناك اذا
l ll l
0 0 0 0aدنعgةياهن تناك اذا و
g ≤ 0g ≥ 0g ≤ 0g ≥ 0aراوـج ي ناك اذإ و
f
+∞ -∞-∞ +∞aدنع ةياهن لبقتgنإف
ةبكرم ةلاد ةياهن
.aراوج ي ةفرعم ةلادf ، -∞ وا +∞ ،يقيقح ددعcوb،aلثم
v uf(x) =v)u)x((D x
: ققحتو نتلادلاثيح .:fنم لكلجا نم ،ناك اذا
f(x)v c(x) climu(x) =b
lxi→ma lناف .= :xi →mb = وx→a
رحلا و تاياهنلا
نيددع_و نكتل.)-∞وا +∞ ،يقيقح ددعaلثم (aراوج ي ةفرعم ةلادfنكتل
l
.نيقيقح
: نتلادhوgنكتل و
جاتنتسااaراوج ي كولسلاaراوج ي ةققحم ةنيابتما
limf(x) lim= +∞g(x) = +∞f(x) J(x)
x→a x→a
limf(x) = -∞limg(x) = -∞f(x) J(x)
x→a x→a
limf(x) =llimg(x) = 0|f(x)O_ J(x)
x→a x→a
limf(x) =llimg(x) = limh(x) = lg(x) I(x) K(x)
x→a x→a x→a
limf(x) < limg(x)aدنع ةيقيقح تاياهن لبقتgوf f(x) J(x)
x→a x→a
limf(x) <a aدنع ةياهنfةلادلا لبقتf(x)_
x→_

tÒVáMáÈ
أطخ ما حيحصب بجا1
xl i→m = -∞: ناف ،[0; +∞]لاجما ىع امام ةصقانتمfةلادلا تناك اذا - 1
f(x)
g(x)
: ناف ،xl i→m و= +∞xl i→m f(x) = -∞ثيح نتلادgوfتناك اذا - 2
f(x)
lim = -1
x→
g(x)
]0; +∞] ىا يمتنيx]0; +∞]ىع ةفرعملك لجا نم ،ثيحf ةلادلا تناك اذا - 3
f(x)

.xl i→m = 0ناف 0 I(x) [
g(x)
. 0 دنع ةياهن لبقت ا اهنإف ، 0 دنع ةفرعم رغ ةلاد تناك اذا - 4
+∞ دنع0 اهتياهن ةلاد يه +∞دنع +∞ اهتياهن ةلادب +∞دنع 0 اهتياهن ةلاد ءادج - 5
ميقتسم لبقيfةلادلا ىنحنم ناف ، يقيقح ددع وه +∞ دنعfةلادلا ةياهن تناك اذا - 6
. بيتارلا روحم يزاوم براقم
لبقتfناف ، +∞دنع يهاهتياهن تناك و ةيجوزRىع ةفرعماfةلادلا تناك اذا - 7
l
. -∞ دنع اهل ةياهنlددعلا
. +∞ دنع ةياهن لبقت+ sinx x(x)ةلادلا - 8
اهل ةياهن +∞ لبقتfةلادلا ناف ،f(x) ≥x² ،[100; +∞]نمxلك لجا نم ناك اذا - 9
+∞ دنع
اهل ةياهن -∞ لبقتfةلدلا ناف ،f(x) ≤x،[-100; +∞] نمxلك لجا نم ناك اذا - 10
. -∞دنع
ةياهناما دنع تاياهنلا2
: يي ام مما - 1
3 23 2
limx= ......limxlim= ......x= ...x
x→ ؛x→ ؛x→ .؛..xl i→m = ......
1 1
limx= ......
؛x→ ؛ lxi →m ؛= ......xl i→m = ......
x x
1
lim = ......
x→2
x
3
.Rىع ةفرعم ةلادfنكتل
f(x)
لكشلا نم لاجم لك نا ينعي +∞ ىاxىا لوؤتلوؤي امدنع +∞نا لوقلا
f(x)
.فاكلا رادقماب ربكxميق لك يوحي [A;+∞]لجا نم
لمجلا نب نم ، امود ةحيحصلالمجلا يه ام ،+∞ دنع +∞ يهfةلادلا ةياهن تناك اذا
: ةيلاتلا
. ىعأا نم ةدودحم رغfةلادلا- °1
8

ËVVONÈ ®1
. لفسأا نم ةدودحم رغfةلادلا- °2
.f(x)>2014 ناف ،x>aناك اذا ثيحaيقيقح ددع دجوي - °3
وذ ميقتسما قوفfعقي ،ةلادلا ىنحنمx>aةحجارما وذ يوتسما فصن ي - °4
.y=2014 ةلداعما
.ةديازتمfةلادلا نوكت ثيحب ]a; +∞] لكشلا نم لاجم دجوي - °5
4
. +∞ دنع 3 ةياهن تاذfةلادلا رتعن
،3 يوحي حوتفم لاجم لك نا ينعي +∞ ىاxىا لوؤتلوؤي امدنع 3f(x)نا لوقلا
.فاكلا رادقماب هربكxميق لجا نمf(x)ميق لك يوحي
: ةيلاتلا لمجلا ةحص ررب
.فاكلا رادقماب ةربكxميق لجا نم 2.5 <f(x) < 3.2%
.فاكلا رادقماب ةربكxميق لجا نم |f(x)-3| < 0.01%
. 2.5 <f(x) < 3.2 ناف ،x≥aناك اذا ثيح a يقيقح ددع دجوي%
نميقتسما نب عقيfةلادللCىنحنما ،x≥aةحجارما وذ يوتسما فصن ي"%
."yو= 3.2y= 2.5 اهتلداعم
. فاكلا رادقماب ةربكxميق لجا نمf(x) ≤ 3.001%
. ةمودعم رغfةلادلا هدنع نوكت ]a; +∞] لكشلا نم لاجم دجوي%
يقيقح ددع دنع ةياهنلا5
.fةلاد ىنحنم لثم 6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 لاكشاا - 7
: تااحلا نم ةلاح لك ي بسانما 1 دنعfةلادلا كولس قفرا
limflim= 1f=-1

1 1
limf=-∞ limf= 2

1 1
.1 دنع ةياهنةلادلا لبقت اlimf=+∞
f
1

9

3

2

1

6

5

tÒVáMáÈ

4

5
6
f(x) = 7+ : يي اك;+∞] ىع ةفرعما[ 2fةلادلا نكتل

x- 2
نميقتسم اهy= 7 هتلداعمD'ميقتسما وxهتلداعم= 2Dميقتسما نا نهرب
.fةلادلا ىنحنم نبراقم
.ةيلاتلا تااحلا نم ةلاح لك يfةلادلا ةياهن نع ،تاياهنلا ىع تايلمعلا لاعتساب
7
3 23 2
-∞ دنع% .+∞ دنع%
x3x -2x x3x +2x
1 1
1
x3+
.+∞ دنع 2% .+∞ دنع+x x%
2
x x
x
3

.+∞ دنعx2 % .+∞ دنعx -3x x %
x +2
: ةيلاتلا تاياهنلا بسحا ،عومجما ةياهن لاعتساب .1
8
3 2 5
lim
(x + x)
%lim (x + x)%

x→x→
2 3 2 1
lim %lim %
(x -x) (x -)
x→ 2
x→0
x
: ةيلاتلا تاياهنلا بسحا ،ءادجلا ةياهن لاعتساب .2
3 2
lim limx%
x -xx
%
x→x→
1 2
lim(1+%limx(1- x)
x)
2 %
x
x→0 x→0
: ةيللاح لك ي 1 دنعf9
اتلا تااحلا نم ةةلادلا كولس سردا
1 1
% %
f:x f:x
x -1x -1


x -1 1
f:x%f:x%
2
x -1 (x -1)

1

0

ËVVONÈ ®1

11

: يلي امك[-π; 0][0; π]ىلع ةفرعملاfةلادلا ربتعن )10
U10
1
f(x)=

sin(x)
.0 راسي و نيمي ىلع ةياهن لبقتfةلادلا نا نهرب
؟fةلادلل لثمملا ىنحنمل ةبسنلاب جتنتسن اذام
: يي اك[0; 1][1; +∞]ىلع ةفرعم ةلادfنكتل )11
U11
1+x
f(x)=
1- x
.1 راسيو نم نعfةياهن نع
؟fةلادلل لثمما ىنحنم ةبسنلاب جتنتسن اذام
. -∞ و +∞ دنعfةياهن نع ، ةيلاتلا تااحلا نم ةلاح لك ي
12
3 20152 3
f:x(x +4x -5)%f:x (x -5)%
3 2
f:x|x -2 |% +f:x x6 %
: ةيلاتلاfلاودلل -∞ دنع و +∞ دنع تاياهنلا نع13

x -24 3
f:x%f:x x+100x +1%
2
x -1.5
3 5
(x +1)
5 2
5x -3x
f:x
%f:x %
5 3
2
(x -1)
1- x
: ي
ي اكRىع ةفرعماfةلادلا رتعن14
2
x -1
f(x)=
2
2x +3

. -∞ دنع و +∞ دنعfةلادلا ةياهن نع
؟fةلادلا ىنحنم ةبسنلاب جتنتسن نا نكم اذام
15
.fةلادلل a ددعلا دنع ةياهنلا بسحا ، نيعتلا مدع ةلاح دوجو ظحا
1 1
a= 0 ،x -% a= +∞ ،-x x2 x%
x x
: تااحلا نم ةلاح لك ي ، a دنعfةلادلا ةياهن نع
16
2
2
a x
3x +4x +1
= -∞ ، % a= +∞ ،+x x1-2x%
قفارما و روذجلا
6+ x -6
f:x :ةلادلا نكتل
17
x
.) قفارما ةرابع لاعتسا نكم( 0 دنعf ةياهن سردا

tÒVáMáÈ

2
. ةلادلانكتل
x x-2x - x +118
f fD
ةلاحدجن ،+∞ دنعةياهن باسحل، هنأ ققحت مث ،ةلادللfفيرعت ةعومجم نع .1
. نيعتلا مدع
:gةلادلا رتعن ، ةلاحلا هذه ةلازإ .2
2
.-x x2x + x - 1
x
f(x)×g(x)بسحا ،Dfنمنم لجا
. ؟ +∞ دنعgةلادلا ةياهن يه ام
.g(x)>0 ،]2;+∞] نمx لك لجا نم : نهرب
. +∞ دنعfةياهن جتنتسا
رحلا و تاياهنلا
2
. +∞ دنعf.ةلادلا ةياهن نعx2x +x +7: ـب R ىع ةفرعمةلادf
19
2
x3x -4x +5: ـبRىع ةفرعماfةلادلل -∞ دنع ةياهنلا نع
20
I[ 2 ،xلك لجا نم : ققحتfةلادلا نا الع21
3
x xf(x)
. :ةلادلل -∞ و +∞ دنع تاياهن نع
+∞ دنع ةياهن لب
؟ قتf:x2+ sin(x)،ةلادلا له.122
2
x(2+ sin(x))
؟ g:xدنع ةياهنلا يه ام .2ةلادلل +∞
f:x x- cos(x)دنع ةياهنلا نع: ةلادلل +∞23
sin(x)
.f(x) = : يي اكR* ىع ةفرعماfةلادلا نكتل
24
x
؟ -∞دنعfةياهن يه ام .2دنع. +∞fةياهن نع .1
ايرولاكب عيضاوم
3
x - x -6
: يي امR/{2}ةفرعماfةلادلا نكتل
.f(x) = ىع
25
x -2
3
(x -x -6) (x -2)
lxi→m2 ، lxi →m2 : ةيلاتلا تاياهنلا نع .1
؟ 2دنعfةلادلا ةياهن نيعت نكم له
2
.(x -2)(x +2x +3)ةرابعلا رنا .2
.2 دنعfةلادلا ةياهن جتنتسا
cos(4x)
.f(x)= ىع ةفرعماةلادلا رتعن : يي ام
f26
R
2
1+ x
.f(x)ـل مث ،cos(4x)ـل ارح نع ،xيقيقح ددع لك لجا نم .1
. كجئاتن اينايب رف . -∞ و +∞ دنعfتاياهن جتنتسا .2
12

g(x) =+∞ limf(x) =0
lim
نكلو و
x→x→
.f(x). g(x) +
lim =∞

x→
:[0, +∞] ىا يمتنيxلجا نم
1
2
f(x) g(x) = x=x
x x
x
، يقيقح ددع يه +∞ دنعfةلادلا ةياهن تناك اذا .)6
روحم يزاوم براقم ميقتسم لبقيfةلادلا ىنحنم ناف
. بيتارلا
،ࣟيقيقحددع وه +∞ دنعfةلاد ةياهن تناك اذا . أطخ
l
y= هتلداعمبراقم ميقتسم لبقيfةلادلا ىنحنم ناف
l
. لصاوفلا روحم يزاوي براقم ميقتسم وه و
اهتياهن تناك و ةيجوزRىع ةفرعماfةلادلا تناك اذا .)7
.-∞ دنع اهل ةياهنددعلا لبقتfناف ، +∞ دنعيه
l l
تناك و ةيجوزRىع ةفرعماfةلادلا تناك اذا .أطخ
اهل ةياهن-ددعلا لبقتfيه اهتياهنناف ، +∞ دنع
l l
.-∞ دنع
لك لجا نم نأ ينعيRىع ةيجوزfةلادلا نا لوقلا
=
f(-x) f(x): x
ت
+∞ دنع ةياهن لبقx x + sin(x).)8: ةلادلا
و :يقيقحxلك لجا نم .حيحص
f(x) [1
lim(x -1) =+∞
:ةنراقما ةنهرم بسح نذاx→
. limf(x) =+∞

x→
. -1 VLQ(x) 1 : يقيقحxلك لجا نم
2
،f(x) [،[100, +∞] نمxلك لجا نم ناك اذا .)9
.+∞ دنعاهل ةياهن +∞ لبقتfةلادلا ناف
اذه ي و +∞ راوج وه[100, +∞] لاجما . حيحص
ثيح عبرما ةلادب لفسأا نم ةدودحمfةلادلا ، لاجما
،ةنراقما ةنهرم بسح ياتلاب ، +∞ دنع +∞ اهتياهن
.+∞ دنع +∞ يهfةياهن
، [-100, +∞] نمxلك لجا نم ناك اذا .)10
.-∞ دنع اهل ةياهن -∞لبقتfةلدلا نافf(x) [
.-∞ دنع ةياهنلا جاتنتسا نكم ا . أطخ
.-∞ سيل و +∞ راوج يه]a, +∞] و [a, +∞]
.+∞ سيل و -∞ راوج يه[-∞,a[ و [-∞,a]

1

3

åvLáÈ

أطخ ما حيحص
، [0, +∞] ىع امام ةصقانتم ةلادfتناك اذا .)1
1
limf(x) =-ناف∞ :
x→
ةلاد يه :ضاضم لاثم يه بولقما ةلاد .أطخ
.0 يه +∞ دنع اهتياهن و [0, +∞] ىع امام ةصقانتم
ثيح نتلادgوfتناك اذا .)2
f(x)
m =im =∞
xl →i g(x) +∞ وxl →

f(x)
= -1

. lxi→m ناف
g(x)
f:x - x
ةلادلاضاضم لاثم ذخأ يفكي . أطخ
2
: انيدل . و
g:x x
lim =∞ lim= ∞
g(x)f +(x)
x→ وx→
f(x)
. lim = 0نكل و
x→
g(x)
f(x)-x-1
=2= :[0 ,+∞]نمxلك لجا نم
g(x)x x
نم ،ثيح ]0, +∞] ىع ةفرعم ةلادfتناك اذا .)3
.]0, +∞] ىا يمتنيxلجا
f(x)
I(x) [
. lim ناف= 0

x
x→
: [0, +∞] ىا يمتنيxلك لجا نم . حيحص
1f(x) 1
lim = 0 اضيأ


x
x x
x→
f(x)
:رحلاةنهرم بسح ، جتنتسن
lim =0

x
x1
x→
x
= =: ناف ،x <0ناك اذا
x xx
x
لبقت ا اهنإف ، 0 دنع ةفرعم رغ ةلاد تناك اذا .)4
. 0دنع ةياهن
1
رغ 2ةلادلا : ضاضم لاثم كيلا .أطخ
x
x
.0 دنع +∞ يه اهتياهن نكل و 0 دنع ةفرعم
+∞ اهتياهن ةلادب +∞دنع 0 اهتياهن ةلاد ءادج .)5
.+∞ دنع0 اهتياهن ةلاد يه +∞دنع
1
f:x ةلادلا ضاضم لاثم رايتخا يفكي .أطخ
x
2
: انيدلg:x xةلادلا و

2014

x
لكشلا نم لاجم دجوي" ةلمجلا نا لوقلا نكم ا .)5
.ةحيحص "ةديازتمfةلادلا نوكت ثيحب ]a, +∞]
نم لاجم يأ ىع ةديازتمfةلادلا نوكت ا نا نكم
: ياتلا لاثما ي انيبم وه اك ،]a, +∞] لكشلا
، يبسنحيحص ددع لك لجا نم
n
؛f(2n)=2n
%
؛f(2=3
n+1) 2n+%
؛]n;n+1[ لاجما ىع ةيفلآتf
%

f(x)<x،xيقيقح ددع لك لجا نم : ءاشنإاب ، نذا
: ) ةنراقما ةنهرم بسح ( هنم و
ةصقانتمfةلادلا نايبلا بسح نذا ، limf(x) = +∞
x→
ددعnثيح ]2n+1;2n+لك ىع امام2[ لاجما
نوكت نا نكم اfةلادلا ياتلاب و ، يبسن حيحص
.]a, +∞] لكشلا نم لاجم يأ ىع ةديازتم
. +∞ دنع 3 يهfةلادلا ةياهن ،ةيضرفلا بسح4
.3 يوحي]2.5, 3.2] حوتفما لاجما .)1
xميق لجا نمf(x)ميق لك يوحي [2.5, 3.2] نذا
نم 2.5< f(x)<: فاكلا رادقماب ربك3.2 يأ
.فاكلا رادقماب ربكxلجا
نذا ،3 يوحي حوتفم لاجم وه ]2.99, 3.01] .)2
xلج قf(x)
مي انم ميقلك يوحي [2.99, 3.01]
< f(x)<يأ :فاكلا رادقماب ةربك3.01 نأ
2.99
: ىرخأ ةرابعب ، فاكلا رادقماب ربكxلجا نم
.فاكلا رادقماب ربكلجا نم|f(x)-3|<0.01
x

åvLáÈ
ةياهن اما دنع تاياهنلا
3
limx=+∞ .limx² =+∞
2
x→ x→
3
limx=-∞ .limx² =+∞
x→ x→
1 1
lim = 0 . lim = 0
x→ x→
x x
: مودعم رغ يعيبطnلك لجا نم
1 1
limn =0
xl i→mn =0.x→

x x
1
m
2 = 0.x +
xl i→m xl i→ = ∞

x
.+∞ دنع +∞ ةياهن لبقت وRىع ةفرعم ةلادf3
. ةحيحص "ىعأا نم ةدودحم رغf" ةلمجلا .)1
ددعMثيح ،[M, +∞] لكشلا نم لاجم لك
ةربكxميق لك يوحي ، يقيقحميق لجا نم
f(x)
.فاكلا رادقماب
. فاكلا رادقماب ربك لجا نم
f(x)<M
يقيقحددع دجوي ،يقيقح ددع لك لجا نم
a M
يقيقحددع يأ دجوي ا ،ياتلاب و .f(a)<Mثيح
. ىعأا نمfةلادلا دحيM
"لفسأانم ةدودحمf" ةلمجلا نا لوقلا نكم ا .)2
ةدودحمf.ةئطاخ ما ةحيحصةلادلا نوكت نا نكم
. عبرما ةلاد لاثم انذخا ول اك لفسأا نم
2
،xيقيقح ددع لك لجا نم و ، limx=+∞
x→
2
.x
0
. لفسأا دحلا و عبرما ةلادل لفساا نم اداح ارنع 0
xناك اذا ثيحa يقيقح ددع دجوي" ةلمجلا .)3
. ةحيحص "2014 نإفa
f(x)<
ميقلك ىع يوحت [2014, +∞] لاجما ،لعفلاب
f(x)
xلجا نم يأ ، فاكلا رادقماب ةربكxميق لجا نم
.aيقيقح ددع نم ركا
[ a ةحجارماوذ يوتسم فصنلا ي" ةلمجلا .)4
ةلداعما وذ ميقتسما تحتfةلادلا ىنحنمعقي
. ةحيحص"y=2014
ناف ،[ a ناكاذا :ةيصاخلا هذهل يايبلا رسفتلا
2014
f(x)<
14

ËVVONÈ ®1

1

تاياهنلا ىع تايلمعلا
: [2 ;+∞] لاجما نمxلك لجا نم
6
5
.f(x)=7 +
x -2
5+
lim++ = lim+∞ ،(x -= انيدل
2) 0
x→2 x→2
x -2
هنم و
lim+ f(x) = +∞
x→2
x2
= ةلداعماوذDميقتسما نا ينعي اذه و
fىنحنم براقم ميقتسم
5
. limf(x) = 7هنم ، lim = انيدل .0 :
x→ x→
x -2
y= 7 ةلداعما وذD'ميقتسما نا ينعي اذه و
. +∞ دنعfىنحنم براقم ميقتسم
3 2
fةلادلا .+∞ دنعf:x 3x +2x .)1
7
نتلادلا عومجم يه ،Rىع ةفرعم
2 3
اهتياهن نتلاد اه و ،x 2xوx 3x
. limf(x) = +
x→ ∞ : نا جتنتسن . +∞ دنع +∞

3 2
ا . -∞ دنع.)2
ىع ةفرعمfةلادلx 3x -2x
نتلادلا عومجم يه ،R
2 3
: انيدل ،x -2xوx 3x
2 3
: نذا lim-2xlim= -∞و3x= -∞
x→ x→
. limf(x) = -∞
x→

5

1
2 .)3
. +∞ دنعf:x x +
x
*
: نا ملعن .Rيهfفيرعت ةعومجم
+
1
و im= 0x
lim
، 2l = +∞
x→x→
x
.limf(x) = +∞ هنم
x→

ربكxلجأ نم 2.5< f(x)<لوقلا .)33.2 نأ
:ثيحaيقيقح ددع دجوي هنأ ينعي ،فاكلا رادقماب
. 2.5< f(x)<3.2 ناف،[ Dناك اذا
،[ Dةحجارما وذ يوتسما فصن ي" ةرابعلا.)4
اهتلداعم نميقتسمانب عقيf ةلادللCىنحنما
: ـل يدنه رسفت يه. "y=3.2 وy=2.5
[
. 2.5< f(x)<،3.2 نافaناك اذا
3.2
3
2.5

0
x
:نذا ، 3 ددعلا يوحي [-∞ ;3.0001]حوتفما لاجما . )5
. فاكلا رادقماب ربكxميق لجا نمf(x)<3.0001
ناف ،[ Dناك اذا : يقيقح ددع دجوي .3 بسح . )6
: نذا ؛ 2.5<f(x)<3.2
ااجم داجيإ نكم ؛f(x)<0 ناف ،] ,+∞]ناك اذا
xD a
.fࣟةلادلا هيلع مدعنت ا ثيح ],+∞] لكشلا نم
a
يقيقح ددع دنع تاياهنلا
ةفرعم ؛ 1 دنع ةفرعم رغfةلادلا. limf= 1.)1
5
1
ميقتسم وهxميقتسما . "1 راوج ي"=1 هتلداعم
. f ةلادلا ىنحنم براقم
im
فوقو ةطقن يه.lf
A(1,1) 1= 1 =f(1).)2
" نميلا نم" 1 دنع ةفرعم رغfةلادلا.Cينحنملل
عم= 2 = lim1
.1 دنع ةفرff f( ).)3
1
f f( ).)4
ةيواز ةطقن يه A(1,-1).lim1= -1 =1
قاقتشال ةلباق رغ و 1 دنع ةفرعمf.Cينحنملل
.1 دنع
1 دنعfةياهن ،لعفلاب.1 دنع ةياهن لبقت اf.)5
اهنا ام+∞ يه نميلا نم و -∞ يه راسيلا نم
.1دنع ةياهن لبقت اfةلادلا ناف ،نتفلتخم
راسي نع ةفرعم رغfةلادلاlim ،f= - ∞ .)6
1
براقم ميقتسم وهx=1 ةلداعما وذ ميقتسما . 1
.fىنحنم

5 2
نذا ، limx= +∞ و limx= +∞ .)18
x→ x→
2 5
.xl→i m(xx +) = +∞

3
lim
نذا ، lixm→x= -∞وx→ = -∞΃
x

3
. lim(x + x) = -∞
x→
12
هنم ، lim- = -∞و lim= 0΃
x
x→0 2x→0
x
21
.lim(x -) = -∞
x→ 2
x
3 2
lim =+∞ ، lim= +∞ky,` ΃
(-x) x
x→ x→
2 3
lim(x-x) = +∞نذإ
x→
2
lim =+∞ lim= +∞
x x
x→ وx→ )أ.)2
2
limx x= +∞
x→ نذإ
3
lim-xlimو ،= +∞x= -∞)ب
x→ x→
3
.xl→i mx -x= -∞نذإ

2

هنم lim(1- x) = 1و limx= 0 )ج
x→0 x→0
2
. limx(1- x) = 0
x→0
1
lim- = +∞
x→0 : انيدل)د
2
x
im =1
(+ x)
lx→0 1 و
1

lxim0 (1+ x) = +∞نذا
→ 2
x
1
f:x .)1
9
x -1
: انيدل . [1,+∞] يهfةلادلا فيرعت ةعومجم
1+
يأ lim = +∞ نذإ limx -1 = 0
x→1 x→1
x -1
lim =+∞
f(x)

x→1
براقم ميقتسم وهx=1 ةلداعما وذ ميقتسما
.fةلادلا ىنحنملل

åvLáÈ

1 1
-.)4
.∞+ دنعf:x 3+2
x x
1
*
= 0
lim
وx→ : انيدل .Rيه فيرعت ةعومجم
x
+
1
= 0
. limf(x) = 3→
x→نذا ،xlim2

x


.Rىع ةفرعمf . +∞ دنعf:x -3x x.)5
+
: نتلدلا ءادج يهو
x -3x
.+∞ دنع -∞ اهتياهن

: ياتلاب؛ +∞ دنع +∞ اهتياهنx x
lim =-∞
f(x)
x→

3

. +∞ دنعf:x .)6
2
x +2
2
هنم lim= +∞رعم
x→(x +2) انيدل .Rىع ةفf

1
(x) = 0
.xl i→mf= 0ياتلاب وlxi→m
2
x +2

1

6

ËVVONÈ ®1

1
Fx10
: [-π ,0][0, +π] نملك لجانم f:x .)2
1
x -1
=
f(x)
sin(x)+∞] يه[-∞,1] [1,fةلادلا فيرعت ةعومجم
F
1+
) sin0 0m(x -1)
: و lxi →m0 sin(x= = lim+ نذا li= +∞+ = 0:انيدل
x→1 x→1
x -1
lim+f(x) = +∞
sin(x)<0 : <x <0x→1 يأ

!
: نذا
x)<0 : 0< xπ
sin(<
براقم ميقتسم وهx=1 ةلداعما وذ ميقتسما
f
+ f(xli+. ةلادلاىنحنملل
. lim ) و m= -∞ (x) = +∞f
x→0x→0
lim-f(x) = -∞ نأ نبن ةقيرطلا سفنب
x→1
ميقتسم وهx=0 ةلداعما وذ ميقتسما نأ جتنتسن
.fةلادلا ىنحنملل براقم

: [0,1] [1,+∞] نملك لجا نم
Fx11
1+ x
. =
f(x)

1- x
: و. lim(1+x) = 2: انيدل
x→1
1- x<0 :0 [ 1
!
: نذا
<
1- x0 x<1
m ∞
li+و lim= --= +∞
f(x) f(x)
x→1 x→1
: نأ جتنتسن
براقم ميقتسم وهx=1 ةلداعما وذ ميقتسما
.fةلادلا ىنحنملل

2 3
: يقيقحxلك لجأ نم .f:x (x -5) .)1
12
: ثيح=
f(x)v(u(x))
3 2
x: x ةلادلا يهvوx: x -5ةلادلا يهu
: انيدل و
3 2
. limxو lim= +∞(x -5)= +∞
x→ x→
17

1
f:x .)3
2
(x -1)
: انيدل و[-∞,1] [1,+∞] ىع ةفرعم ةلادلا
F
12+
يأ lim هنم lim= +∞(x - 1) = 0

x→1 2x→1
(x -1)
lim =+∞
f(x)
x→1
براقم ميقتسم وهx=1 ةلداعما وذ ميقتسما
.fةلادلا ىنحنملل

x -1
.)
[1, +∞] ىع ةفرعم ةلادلاf:x 4
x -1
: [1, +∞] نمx لك لجأ نم و
x -1x -1- x1
=
f(x) = هنم

x -1x -1
limf(x) = 0 هنم .-f(x) x1 هنم
=
x→1
+

ىنحنملل "فوقو ةطقن" يه )1,0( اهتايثادحا ةطقنلا
.fةلادلا

3
: نذاlxi→m (100x +1) = -∞

4
(-x +100x +1)
.xl i→m= -∞

. +∞ دنعfةياهن .
نيعتب حمست ا ةياهنلا باسحلعمجلا نناوق
4
f(x) fة
-xجارخإب ةباتكرغن كلذل .+∞ دنعياهن
. كرشم لماع
: مودعم رغ يقيقحxلك لجأ نم
4 100 1
-
: انيدل و ، =4
f(x) x(1- -)
x x
4 100 1
هنم . lim-xو lim= -∞(1- -=
) 1
x→ x→ 4
x x
. limf(x) = -∞
x→
x -2
ةقطان ةلاد يهfةلادلا .f(x) = .)2

2
x -1.5
- 1.5و 1.5نع فلتخيxلك دنع ةفرعميقيقح ددع
fةياهن نيعت حمست ا تاياهنلا ىع باسحلا نناوق
f(x)
رغن كلذل . ةرابم +∞ و -∞ دنعجارخإب ةباتك
. سأ ركا وذ دحلا كرشم لماع
x -2
،f(x)= : ميقيقح لكلجأ نم
D x
2 f ن
x -1.5
2
x(1-)
x
: انيدل و .f(x) =

21.5
x(1-)
2
x
1,5 2

xm(1-)= 1وxl im
li→ x→(1-)= 1

x
1
.xl i mf(x)= 0 : نذا.xl i→m = 0و

x

. lxi→mf(x)= 0 : نأ نبن ةقيرطلا سفنب

5 2
5x -3x
ةقطان ةلاد يهfةلادلا .f:x .)3
2
1- x
.R-{-1,1} ىع ةفرعم
ىع تايلمعلا لاعتساب ةياهنلا باسح نكم ا
لماع جرخن كلذل .+∞ و -∞ دنع روسكلا تاياهن
. ماقما و طسبلا ي سأ ركا وذ دحلا كرشم
5 2
5x -3x
،f(x) لك لجأ نمم يقيقح
D x
=
2 : f ن
1- x
3
5
x(5-)
3
x
=
: انيدل و،f(x)

21
x(1 -)
2
x
1 3

li(-1)lim(5-)=5
x→m 2و= -1x→ 3
x x

åvLáÈ
limf(x) نذا= +∞

x→
2
lim(x -5)= +∞: ةقيرطلا سفنب
x→
3
.limf(x) نذا lim= +∞x= +∞ و
x→ x→
+∞ اهتياهن و ةيجوزRىع ةفرعماfةلادلا تناك اذا
. +∞ يه -∞ دنع اهتياهن ناف ،∞+ دنع
3 2015
x.لك لجأ نمf:x (x -4x -5).)2
=: يقيقح
f(x) v(u(x))
3
ةلادلا يهvوx x +4x -5ةلادلا يهuثيح
2015
: اضيأ و .x x
2015 3
نذا lxi→mx= +∞ : و . lim(x -4x -5)= +∞
x→

lxi→mf(x)= +∞ :

3 2015
lxi→m(x -4x -5)= -∞ نأ نبن: ةقيرطلا سفنب

2
f:x x+6
لك لجأ نم ،بتكن نا نكم . .)3
f(x) =v(u(x)):xيقيقح ددع
2
ةلادلا يهvوx: x +6: ةلادلا يهuعم
: ىرخأ ةهج نم .x: x
3
، lim= +∞
(x +6)
نذا ،xl i→m xو= +∞x→

.xl →i m f(x) = +∞

lim f(x) = +∞ ؛ انيدلةيجوزfنا ام
x→
3
لك لجأ نم ، بتكن نا نكم .f:x |x -2|.)4
= :يقيقح ددع
f(x) v(u(x))x
3
x x-2
ةلادلا يهvو : ةلادلا يهuعم
: نا ام و . |x|
x
3
ناف lim|x|= +∞ و lim(x -2)= +∞
x→ x→
. limf(x) = +∞
x→
. lim= +∞ نأ نبن : ةقيرطلا سفنب
f(x)
x→
كرشم لمع جارخا
4 3

.f:x -x +100x +1.)113
.Rىع ةفرعم نذا يهف ، دودح ةرثك يهfةلادلا
. -∞ دنعfةياهن
4
، lim(-x) = -∞ : انيدل
x→

1

8

ËVVONÈ ®1

3
.)1 .limf(x)mx= +∞
لاجما ىع ةفرعمfةلادلاf:x x -2 x15 : نذا .l= -∞xi→
x→
. ]0, +∞]. limf(x)= +∞: نا نبن ةقيرطلا سفنب
x→
x xx3 5
2 xو نتلادلا قرف يهf ةلادلا .
(x +1)
يهfةلf
، ةقطان ةلادادلا .:x )4
نكم ا . +∞ يه +∞ دنع اهتياهن نتلاد يه و(x -1)
53
.R-{1} يهاهفيرعت ةعومجم
. عمجلا تانهرم لاعتساب+∞ دنعfةياهن باسح
:Rلك لجأ نم-{1} نم
x
: انيدل
1 1
: [0, +∞] نمxلك لجأ نم .x(1+) (x(1+))
15 53 5
3 3
x x
f(x) = . =
2 xf(x)
.f(x) =x(1-)1513


x(1-)513
x
(x(1 -))
5
x
5
x
1 2
lim =0 نأام و .f(x) =x(1-) 15
x→ (1+)
x x3
x
انيدل ىرخأ ةهج نم .هنم
f(x) =

.limf(x)= +∞: ناف13
x→
(1-)
5
x
1
1 1

li
( +1)= +1
لاجما ىع ةفرعمfةلادلا .f:x -.)2 وm 3
x
x→
x x
1

1-)
. [0, +∞]lim(5= 1

x
x→
1 1
؛x وx نتلادلا قرفلا يهfةلادلا
. lim= 1نذا
f(x)
x xx→
. نميلا نم 0 دنع +∞ يه اهتياهن
limf(x)= 1 :نأ نبنةقيرطلا سفنب

x→
. 0 دنعfةياهن باسح نم حمست ا عمجلا ةنهرم
2
x -1
.f(x)x14
= : يقيقحلك لجأ نم
: [0, +∞] نمxلك لجأ نم

2
2x +3
1 1 x: مودعم رغxناك اذا
f(x) =( x -1) هنمf(x) =(-1)
1

12
x xx
x(1-)
(1-)2
x
2
x
: نأ ملعن و .f(x) = :هنم وf(x) =

323
1 2(1+) 2x(1+)
. lim= 0 ،lim+= +∞
x2 2
x→0 x→0 2x 2x
x3

lim
(1 +)

. lxi →m0 f(x)و= -∞ : نأ جتنتسنx→ 2و= +1: انيدل
2x
21
Rىع ةفرعمfةلادلا .f:x .)116. lim(1-)= 1
x+1-2x
x→ 2
x
f(x) x+1- 2x: [0, +∞] نمxلك لجأ نم
2

= .xl i→mf(x)= 1/2 : نذا

21
=

x (1+)- 2x
2 اذه و . limf(x)= 1/2 :نأ نبن ةقيرطلاسفنب
xx→

ميقتسمy= 1/2 هتلدعم يذلا ميقتسما نأ ينعي
21
x(1+)- 2x
=2
x
. -∞ و +∞ راوج يfةلادلا ىنحنم براقم
2 2
ذا ، بجومx|و =x| نكل
. =x: ن x
x
: ينعي اذه و
1
ارخأ وf(x)=x1+ -2x
2
x
1
( 2)
.f(x)=x 12+ -
x
: ةلادلا ءادج يهfةلادلا ، [0, +∞] لاجما ىع
. +∞ دنع +∞ اهتياهن
x x
19

åvLáÈ
1
f:x -2x - x +1. ددع لك لجأ نم18.+∞ دنع -1 اهتياx 1+ةلادلا و .
xهن2
-2
2
x

x fx -[ . limf(x)= -∞هنم
2
يقيقح :ةلادلا يأ2 0لجأ نم ةفرعمx→
2
x(x-2)0ىع ةفرعمfةلادلا .f:x .)2
3x+4x+1
[2 ,+∞]يه.[-∞ ,0]fةلادلا فيرعت ةعومجم هنم-∞ اهتياهن ، : نتلادلا عومجم يه و .R
Fx3x
: [2,+∞] ىا يمتنيxلجأ نم .. -∞ دنع
2
x 4x+1
2
و ،f(x)= x-2x -(x -1). -∞ دنع +∞ اهتياهن ،

2
4 x+1
. lim (x-1) = +∞ ، lim x-2x= +∞m ∞
2
اx→ x→، lxi→m x= +∞ ، lxi→ = +

تاياهنلا ىع تايلمعلا لاعتساب ةياهنلا باسح نكم: لاودلا بيكرتةنهرم بسح
2
.fةلادلا ةرابع ةباتك رغت نكم ياتلاب ،lxi→m 4 x+1= +∞

2
x +4 x+1
:انيدل [2, +∞] نمxلك لجأ نمf(x)= 3:[-∞ ,0 ] نمxلك لجأ نم
2 2
( x-2x -(x -1)) x-2x +(x -1)) 21
f(x)= .f(x)= 3x +4 (1+)
x
2
24x
x-2x +(x -1)
1
(x-2x)-(x -1): هنم و .f(x)=3x -2x(1+)
2 2
2
4x
هنم .f(x)=
2
x-2x +(x -1) 1
لاجما ىع.f(x)=x(3-2 (1+2)
)
-14x

=
f(x)
: ءادج يهf، [-∞,0]
2
x-2x +(x -1)
. -∞ دنعx x
-∞ اهتياهن ،ةلادلا .
2
ناف ،limx-2x+(x -1) = +∞و: نأ ام
1
x→
دنع 1 اهتياهن ، 2 (12ةلادلا و .
x3-+)
. limf(x) = 04x
x→

. limf(x)= -∞ هنم . -∞
x→
وهy=x-1هتلداعم يذلا ميقتسما نأ جتنتسن
2قفارما و روذجلا
x-2x
x ةلادلا ىنحم براقم ميقتسم
6+ x -617
لاجما ىع ةفرعمfةلادلا .f:x
x
.[0, +∞]
x 6+ x -6
اهل ةلادلاوx xةلادلا
fةلادلا ةياهن باسح نكم ا ياتلاب.0 دنع 0 ةياهن
. تاياهنلا ىع تايلمعلا لاعتساب
انيدل ، [0, +∞] نملك لجأ نم
x
ةنراقمابةياهنلا 6+ x -6 6+ x +6
f(x)
=x
x19x6+ x +6
:يقيقح ددع لك لجأ نم

6+ x -6
2 2
x+ <
. 70 وf(x)= 2x + x+7f(x)
هنم .=
x( 6+ x +6)
بسح . lim 2x= +∞نأ ملعن و .نذا
f(x)<2x
x→
x
: ىرخأ ةهج نم.f(x)=
. lim= +∞ رحلا ةنهرم
f(x)
x→ 6+ x +6

دحم ةلاد تناك اذاim( 6+ x +6
l+∞ ىا لوؤت ةلادب لفسأا نم ةدو
x→0 6 ) =2و lxi →m0 x= 0


. lim = +∞: ناف ،دنع
f
a. limf(x)= 0 : نذا
a
x→0

20

ËVVONÈ ®1

:xيقيقح ددع لك لجأ نم
20
2 2
.
4x+5<0وf(x)= 3x -
4x+5

بسحlim3xنأ ملعن و .= -∞f(x)<3xهنمو
x→
. limf(x) = -∞ رحلا ةنهرم
x→
-∞ ىا لوؤت ةلادب ىعأا نم ةدودحم ةلاد تناك اذا
ىع ةفرعمfةلادلا.f:x f
cosx -(x)23
. lima= -∞: ناف ،aدنع
يعيبرلا رذجلا ةلاد نب قرفلا يه و ،]0, +∞]
.]0, +∞] نمxيقيقح ددع لك لجأ نم
21
لبقت ا يتلا ماتلا بيج ةلاد و ، +∞ دنع +∞ اهتياهن
3 3 3
. ≥: نذا .≥ و≥
xf(x) 2x x 0f(x) 2
حمست ا تاياهنلا عمج تانهرم ؛ +∞ دنع ةياهن
3
نم ةدودحم ةلاد يهx xf(x)ةلادلا
لفسأا :
ماتلا بيج ةلاد نأ ام . +∞ دنعfةياهن باسحب
3
x2x
اهتياهن يتلا، : ةلادلاب ]0, +∞] لاجما ىع
: انيدل نوكي ،Rىع ةدودحم
: رحلا ةنهرم بسح ينعي اذه و . +∞ دنع+∞
هنم ،-1 FRV(x)1 :xيقيقح ددع لك لجأ نم
3
. lim= +∞
xf(x)
x→
xيقيقح ددع لك لجأ نم ، نذا FRV(x)

f(x) ≥ 2: [-∞ ,0[ نمxيقيقح ددع لك لجأ نم .
.

x -1 FRV [(x) [1 : بجوم3 3 3
. ≤: نذا ،x ≤ 0و
xf(x) 2x
. :نأ جتنتسن
x -1 I(x)3
نم ةدودحمx : ةلادلا نأ جتنتسن
xf(x)

lim
: هنم ،x = +∞نأ ملعن ىرخأ ةهج نم3
x
اهتياهن يتلا،x : ةلادلاب [-∞ ,0[ ىع ىعأا
→ 2x

. lim1= +∞
( x- )
: رحلا ةنهرم بسح ينعي اذه و . -∞ دنع-∞
x→
،+∞ اهتياهن ةلادب لفسأا نم ةدودحمةلادلا
f3
lim =-∞
xf(x)
x→

limf= +∞: انيدل ةنراقما ةنهرم بسح

2+ sin(x)22
ةفرعمfةلادلا .f:x .)1
ةلادلا ناف +∞ دنع ةياهنfةلادلا تلبق اذا .Rىع
sin(x)
fةلادلا نب قرفلا ( +∞ دنع ةياهن لبقتx
x 2
اذه و +∞ دنع2اهتياهن لبقت يتلاةلادلا و
. +∞ دنع ةياهن لبقت اfةلادلا نذا . ضقاني
2
ةلادلا. .)2
Rىع ةفرعمgg:x x(2+ sin(x))
sin(x)2
x x
.f(x)= ،R* نملك لجأ نم24و +∞ دنع +∞ اهتياهن ،x ةلادلا ءادج يه و
x
دf:x 2+ sin(x)
نع ةياهن لبقت ا يتلاةلادلا
نذا ،-1 VLQ(x)1 :xيقيقح ددع لجأ نم .)1
ةنهرم لاعتسااب ةياهنلا جاتنتسا نذا نكم ا . +∞
فرط لك ةمسقب و ،[0, +∞] نمxلك لجأ نم
، نيعتلا مدع ةلاح ةلازإ . تاياهنلا ىع تايلمعلا
:x امام بجوم يقيقح ددعب ةنيابتما
. 1- و 1 نب ةروصحم )sinus( بيجلاةلاد نا ظحان
sin(x)
1 1
نمx لك لجأ نم ياتلاب ،-
x x x:هنم ،-1 VLQ(x)1:xيقيقح ددع لك لجأ نم
1 1
ةدودحمfةلادلا نذا ،-f(x) ،[0, +∞]لك برب نذا .نم فرط12+ sin(x)3
x x
x [(2+ sin x)3x :xبجوم ددعب ةنيابتما
2 22 2
1 1
x
دنع 0 اهيتياهنx - و نتلادلاب2
x xيقيقح ددع لك لجا نم : نذا انيدل. ،
J[ [x
: جتنتسن رحلا ةنهرم بسح . +∞
xl i→mg(x) : جتنتسن رحلا ةنهرم بسح= +∞


.xl i→m = 0
f
21