Cours et exercices d

Cours et exercices d'analyse L1MPI

-

Français
330 pages

Description

Ce livre couvre le programme d'Analyse de Première année de Mathématiques, Physique et Informatique. Les notions traitées sont introduites de façon progressive et illustrées par de nombreux exemples. Il contient 278 exercices et 13 problèmes.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 20 décembre 2018
Nombre de lectures 5
EAN13 9782140108488
Langue Français
Poids de l'ouvrage 21 Mo

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Cours et exercices d’Analyse

Première année de Licence
de Mathématiques, Physique
et Informatique

El Hadji Malick Dia
El Hadji Cheikh Mbacké Diop
Masseye Gaye
Marie-Salomon Sambou

Cours et exercices d’Analyse

Première année de Licence
de Mathématiques, Physique
et Informatique

cL’HARMATTAN-SENEGAL, 2018
10 VDN, Sicap Amitié 3, Lotissement Cité Police, DAKAR
http ://www.harmattansenegal.com
diffusion.harmattan@wanadoo.fr
senharmattan@gmail.com
ISBN : 978-2-343-14829-8
EAN : 9782343148298

Table

Préface

des

Avant-propos

matières

1 Théoriedes ensembles et logique
1.1 Ensembles.Opérations sur les ensembles. . . . . . . . .
1.1.1 Notiond’ensemble et d’appartenance. . . . . . .
1.1.2 Notiond’inclusion .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Intersectionet réunion de deux sous-ensembles ..
1.1.4 Produitde deux ensembles .. . . . . . . . . . . .
1.1.5 Relationsentre ensembles. . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Compositiond’applications .. . . . . . . . . . .
1.1.7 Ensemblesfinis et ensembles infinis. . . . . . . .
1.2 Quelqueséléments de logique. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Calculdes propositions. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lesprédicats .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Lesméthodes de raisonnement .. . . . . . . . . .

2 Lesnombres réels
2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 LecorpsQdes nombres rationnels. . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rappels.Majorants-Minorants .. . . . . . . . . .
2.2.2 Lescarences du corpsQ. . . . . . . . . . . . . .

v

xiii

xv

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1
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3
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5
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9
10
10
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15

19
19
20
20
24

vi

3

4

2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

TABLE DES MATIÈRES

Axiomes des nombres réels. . . . . . . . .
Propriétés de la relation d’ordre≤. . . .
Inclusion deQdansR. . . . . . . . . . .
Majorant et minorant .. . . . . . . . . . .
¯
La droite achevéeR. . . . . . . . . . . . .
Topologie deR. . . . . . . . . . . . . . .
Le corps des nombres complexes. . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

Suites numériques
3.1 Définitionset propriétés élémentaires. . . . . . . . . . .
3.2 Opérationsalgébriques sur les suites. . . . . . . . . . .
3.3 Suitesmonotones .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Suitesextraites–Valeurs d’adhérence. . . . . . . . . . .
3.5 Critèrede Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Caractérisationdes parties denses deR. . . . . . . . . .
3.7 Suitesrécurrentes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Suitesrécurrentes affines du premier ordre. . . .
3.7.2 Suitesrécurrentes linéaires du second ordre .. . .
3.8 Limitesinfinies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Limitesupérieure – limite inférieure .. . . . . . . . . . .
3.10 Suitede nombres complexes .. . . . . . . . . . . . . . .

Limites et continuité
4.1 Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Continuitéà droite. Continuité à gauche. . . . .
4.1.3 Caractérisationde la continuité ponctuelle. . . .
4.1.4 Opérationsalgébriques sur les fonctions continues
4.1.5 Fonctionscontinues sur un intervalle. . . . . . .
4.2 Limitesfinies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . .

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43
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77
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83
85
90
90

TABLE DES MATIÈRES

5

6

4.3
4.4
4.5

4.2.2 Limiteà droite–limite à gauche. . . . . . . . . .
4.2.3 Utilisationdes suites numériques pour étudier
l’existence de la limite d’une fonction en un point. . .
4.2.4 Opérationsalgébriques sur les limites. . . . . . .
4.2.5 Continuitéponctuelle et limite d’une fonction. .
4.2.6 Limitesen+∞, en−∞. . . . . . . . . . . . . .
Limites infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance rationnel d’un nombre réel>0. . . . . . . . .
Fonctions logarithmes et exponentielles. . . . . . . . . .

vii

91

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93
93
94
95
98
99

Dérivabilité 103
5.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.2 Opérationssur les fonctions dérivables. . . . . . . . . .108
5.3 Théorèmedes accroissements finis. . . . . . . . . . . . .110
5.3.1 Théorèmede Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.3.2 Théorèmedes accroissements finis. . . . . . . . .111
5.3.3 Applicationà l’étude des variations d’une fonction114
5.4 Dérivéeseconde. Dérivée d’ordre supérieur. . . . . . . .117
5.5 Formulesde Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
5.5.1 Formulede Taylor-Young. . . . . . . . . . . . .119
5.5.2 Formulede Taylor-Lagrange. . . . . . . . . . . .120
5.6 Fonctionsconvexes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Les fonctions trigonométriques
6.1 Définitions– formules classiques. . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Linéarisationdes polynômes trigonométriques. .
6.2 Etudedes fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . .
6.2.1 Etudede la fonction sinus. . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Etudede la fonction cosinus. . . . . . . . . . . .
6.2.3 Etudede la fonction tangente. . . . . . . . . . .

125
125
128
129
129
131
134

viii

7

8

TABLE DES MATIÈRES

Intégrale de Riemann
7.1 Intégraled’une fonction en escalier. . . . . . . . . . . .
7.1.1 Subdivisiond’un intervalle. . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Fonctionsen escalier. . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Intégraled’une fonction en escalier. . . . . . . .
7.2 Intégrabilitéau sens de Riemann. . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Exemplesfondamentaux .. . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Exempled’une fonction non intégrable au sens de
Riemann .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Définitionet propriétés élémentaires. . . . . . . . . . .
7.3.1 Définitionde l’intégrale de Riemann .. . . . . . .
7.3.2 Propriétésde l’intégrale de Riemann. . . . . . .
7.4 Primitived’une fonction continue. . . . . . . . . . . . .
7.5 Méthodesclassiques de calcul d’intégrales .. . . . . . . .
7.5.1 Intégrationpar parties. . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Changementde variable. . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Interprétationgéométrique de l’intégrale. . . . .
7.6 Formulesde la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Sommesde Riemann .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Formulede Taylor avec reste intégral. . . . . . . . . . .

Fonctions usuelles
8.1 Fonctionslogarithmes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Fonctionlogarithme népérienne. . . . . . . . . .
8.1.2 Fonctionlogarithme de basea. . . . . . . . . .
8.2 Fonctionsexponentielles .. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Fonctionexponentielle népérienne. . . . . . . . .
8.2.2 Fonctionexponentielle de basea. . . . . . . . . .
8.3 Fonctionspuissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Croissancecomparée des fonctions .. . . . . . . . . . . .

139
140
140
140
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154
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158
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159
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164

169
169
169
172
172
172
173
175
175

TABLE DES MATIÈRES

9

8.5

les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

176

Quelques techniques d’intégration181
9.1 Primitivesdes fonctions classiques .. . . . . . . . . . . .181
9.2 Intégrationdes fractions rationnelles. . . . . . . . . . .182

b
dx
9.2.1 Intégralesdu typeI=. . . . . .182
2
ax+ux+v

b
cx+d
9.2.2 Intégralesde la formeI=,c= 0183
2
ax+ux+v
9.2.3 Ladécomposition en éléments simples d’une
fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

b
9.3 CalculdeR(cosx,sinx), oùRest une fraction186. . . .
a
9.3.1 Uneméthode générale. . . . . . . . . . . . . . .186
9.3.2 Casoù la fonctionR(cosx,sinx)187. . .est impaire
9.3.3 Casoù la fonctionR(x, y)est homogène de degré 0187
9.4 Intégralesabéliennes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

2
9.4.1 CalculdeR(x, x+cx+d)dx188. . . . . . . . .

2
9.4.2 CalculdeR(x,−x+cx+d)dx. . . . . . . .188

10 Développements limités
10.1 Comparaisonlocale des fonctions. . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Dominationlocale .. . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Equivalence .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Opérationsrelatives à l’équivalence. . . . . . . .
10.1.4 Equivalentsusuels .. . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Développementslimités .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Définitionset propriétés élémentaires. . . . . . .
10.2.2 Développementlimités des fonctions usuelles. . .
10.2.3 Opérationsalgébriques sur les fonctions admettant
un développement limité. . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Primitivationd’un développement limité. . . . .
10.2.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189
190
190
193
196
199
200
201
205

206
208
210

x

TABLE DES MATIÈRES

10.3 Développementslimités asymptotiques. . . . . . . . . .
10.4 Représentationgraphique d’une fonction. . . . . . . . .
10.4.1 Recherched’extremum local .. . . . . . . . . . .
10.4.2 Recherchede branches infinies. . . . . . . . . .
10.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216
218
218
219
221

11 Équations différentielles227
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
11.2 Équationsdifférentielles du premier ordre .. . . . . . . .227
11.2.1 Equationsdifférentielles linéaires du premier ordre228
11.2.2 Équationsà variables séparées. . . . . . . . . . .231
11.2.3 Équationshomogènes .. . . . . . . . . . . . . . .231
11.2.4 Équationsde Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . .232
11.2.5 Équationsde Riccati. . . . . . . . . . . . . . . .232
11.3 Equationsdifférentielles linéaires du second ordre. . . .235
11.3.1 Résolutionde l’équation sans second membre. .236
11.3.2 Résolutionde l’équation ay”+by’+cy=f(x). . . .239

12 Courbes paramétrées planes
12.1 Définitionset exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Etudelocale d’une courbe paramétrée .. . . . . . . . . .
12.3 Etudeglobale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Casoù on peut restreindre le domaine d’étude. .
12.3.2 Etudedes variations des fonctions composantes.
12.3.3 Branchesinfinies .. . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.4 Existencede point multiple. . . . . . . . . . . .
12.3.5 Tracéde courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Quelquesexemples classiques. . . . . . . . . . . . . . .

Annexes

A Constructiondu corpsR

247
247
249
254
254
255
256
258
259
259

264

265

TABLE DES MATIÈRES

B

C

Développement décimal d’un réel
B.1 Unpeu d’histoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Rappels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Approximationsd’un réel .. . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Approximationentière .. . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Approximationdécimale .. . . . . . . . . . . . .
B.4 Développementdécimal .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5.1 Nondénombrabilité de l’ensembleR. . . . . . .
B.5.2 Caractérisationdes nombres rationnels. . . . . .

Aperçu historique de quelques notions
C.1 Lesnombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Lesfonctions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 L’aspectcalculatoire (ou algébrique). . . . . . .
C.2.2 L’aspectgraphique (ou géométrique). . . . . . .
C.2.3 L’aspectcausal .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Limiteset continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.1 Lanotion de limite. . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.2 Lanotion de continuité .. . . . . . . . . . . . . .
C.4 Lecalcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4.1 Laméthode des fluxions de Newton. . . . . . . .
C.4.2 Laméthode de différentiation de Leibniz. . . . .
C.5 Lecalcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5.1 Lespremiers pas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5.2 L’héritaged’Archimède en occident. . . . . . . .
C.5.3 Lethéorème fondamental .. . . . . . . . . . . . .
C.6 Leséquations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . .

D Notesbiographiques

xi

269
269
270
271
271
271
273
278
278
279

283
283
285
285
286
286
287
288
288
289
289
290
292
292
293
293
294

297

A la mémoire de Serigne Aliou LO

Préface

Dans le cadre de la mise en œuvre de la réforme de l’enseignement
supérieur et de la recherche issue des recommandations de la
Concertation nationale sur l’Avenir de l’Enseignement supérieur (CNAES), Son
Excellence le Président de la République Monsieur Macky Sall a défini la
feuille de route à travers les onze décisions issues du Conseil présidentiel
de l’Enseignement supérieur et de la Recherche du 14 août 2013.
Cette vision met un accent particulier sur, notamment, l’accès et la
qualité de l’enseignement supérieur, l’élargissement de la carte
universitaire dans l’équité, l’internationalisation et la promotion du label «
étudier au Sénégal ». Elle est partie intégrante de l’axe II du Plan
Sénégal Emergent (PSE) dans sa dimension alignement des formations sur
les besoins de l’économie.
La matérialisation d’une telle ambition passe, aussi et en dépit du
recours devenu massif aux TIC et aux bases de données numériques, par
l’édition et la diffusion d’ouvrages qui constituent le support
indispensable de la pédagogie. Le livre joue, incontestablement, un rôle primordial
dans ce processus de transformation de l’enseignement supérieur, de
formation de l’étudiant, de construction d’une conscience engagée au service
de la Nation et d’un esprit nouveau fondé sur la confiance en ses
enseignants.
Ce sont ces raisons qui fondent et justifient le Projet de Rédaction
et d’Edition de Manuels scientifiques des Etablissements d’Enseignement

xiii

xiv

PRÉFACE

supérieur (PREMSEES) du Ministère de l’Enseignement supérieur, de
la Recherche et de l’Innovation (MESRI). Il a pour objet, d’une part,
de renforcer les ressources documentaires mises à la disposition de nos
étudiants et, d’autre part, de valoriser le potentiel pédagogique et
scientifique de nos enseignants.
En effet, la réforme confère à l’étudiant un rôle central : il est, à
présent, acteur de sa formation. A ce titre, il a besoin d’outils pédagogiques
de qualité, d’une confiance et d’une estime de soi fondées sur des
curricula adaptés, des instruments didactiques et, sans doute, des soft skills
pour se forger une personnalité qui lui permet de développer une envie
d’étudier, une soif de connaissance et un esprit de gagneur pour réussir
ses études au Sénégal.
Il sera soutenu dans ses projets professionnel et personnel par, entre
autres, ces manuels conçus et rédigés par des enseignants-chercheurs des
établissements d’enseignement supérieur du Sénégal et évalués par un
comité de rédaction composé d’enseignants et de pédagogues expérimentés
et conscients des enjeux de la formation dans l’économie du savoir.
Le programme d’édition de manuels pédagogiques est un projet
piloté par le Centre national de Documentation scientifique et technique
(CNDST) du MESRI qui apporte sa logistique et ses moyens humains,
techniques et financiers pour l’édition d’ouvrages pédagogiques qui seront
mis à la disposition du public à des prix subventionnés. Grâce à la
générosité et, surtout, au talent des rédacteurs des ouvrages, nous pouvons,
raisonnablement, envisager de couvrir les principales disciplines dispensées
dans les années de Licence. La communauté universitaire et académique
leur est redevable des efforts fournis pour atteindre cet objectif.
Je recommande fortement cet ouvrage et son bon usage aux étudiantes
et étudiants ainsi qu’aux acteurs de la pédagogie.

Professeur Mary Teuw Niane
Ministre de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation

Avant-propos

Ce livre prend ses origines dans les cours que nous avons dispensés
pendant plusieurs années à l’Université Cheikh Anta Diop de Dakar et à
l’Université Assane Seck de Ziguinchor. Il couvre le programme
d’Analyse de première année de Mathématiques, Physique et Informatique et
de Mathématiques pour l’Enseignement. Il répond à la volonté du
Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l’Innovation du
Sénégal de mettre à la disposition des étudiants des manuels rédigés en
équipe par des enseignants des universités sénégalaises.

Les bacheliers qui arrivent aujourd’hui en première année ne savent
pas raisonner. Ils sont désarçonnés ou se découragent très vite dès qu’on
leur demande de démontrer un résultat. On constate que les difficultés
qu’ils rencontrent dans le cours d’Analyse proviennent, pour une bonne
part, de la non-maîtrise des notions élémentaires de la théorie des
ensembles et de logique. Ces notions, qui doivent bien être installées pour
aborder avec fruit les autres points du programme, sont enseignées dans le
cours d’Algèbre, qui se déroule parallèlement à celui d’Analyse, et
n’occupent pas suffisamment de place dans les enseignements. Nous avons
donc jugé utile de commencer ce livre par un chapitre sur les éléments
de la théorie des ensembles et de la logique.

Au chapitre 2, on donne une définition axiomatique du corpsRdes
nombres réels, après un exposé des carences du corpsQdes nombres
rationnels. La notion de borne supérieure est la pierre angulaire de cet

xv

xvi

AVANT-PROPOS

ouvrage. L’étudiant devra retenir que la différence essentielle entreQet
Rest la propriété d’existence d’une borne supérieure pour les parties
non vides majorées deR, ce qui n’est pas toujours le cas pour celles
deQ. Il est aussi important qu’il comprenne bien la densité deQet de
son complémentaire dansR. Cette propriété sera utilisée dans plusieurs
situations.

On aborde ensuite l’étude des suites numériques, des fonctions
continues et des fonctions dérivables, et le calcul des limites. Pour faciliter
l’apprentissage de la démonstration, on s’est limité dans les exercices
d’application des chapitres 4 et 5 aux fonctions polynômiales, rationnelles,
racinesn-ièmes ou partie entière pour lesquelles il n’est pas difficile de
faire des calculs explicites. Les résultats sur la continuité et la dérivabilité
seront aussi appliqués plus tard à l’étude des autres fonctions usuelles.
Au Chapitre 6, on définit et on étudie les fonctions trigonométriques et
leurs réciproques.

Au Chapitre 7 on met en œuvre tous les résultats et notions
développés plus haut pour construire l’intégrale de Riemann et donner les
exemples fondamentaux de fonctions Riemann-intégrables. On constate
que les étudiants passent leur temps à calculer des primitives, mais ne
prennent pas le soin de s’approprier le concept d’intégrabilité ni même
la définition de l’intégrale de Riemann d’une fonction. Dès lors, ils sont
bloqués lorsqu’il s’agit de démontrer un résultat théorique. Ils doivent
comprendre que le calcul intégral ne se limite pas à celui des primitives,
tout autant qu’il doivent maîtriser les méthodes de calcul traitées au
Chapitre 9. Les fonctions logarithmes, puissances, exponentielles et
hyperboliques sont étudiées au Chapitre 8

Le Chapitre 10 traite de façon détaillée des développements limités
des fonctions. Les résultats obtenus sont appliqués au calcul des limites,
à l’étude locale des fonctions et à leur représentation graphique.

xvii

Le Chapitre 11 traite des méthodes de résolution des équations
différentielles du premier ordre ainsi que des équations différentielles linéaires
du second ordre à coefficients constants.

Le Chapitre 12 traite des courbes planes.

Disons quelques mots en direction des étudiants.

Majorer et minorer est le pain quotidien de l’Analyste. Une lecture
attentive des démonstrations et exemples sera une source d’inspiration
pour l’étudiant. Mais l’entraînement par les exercices est indispensable
pour développer ses aptitudes et maîtriser les méthodes et techniques
usuelles. Il n’y a pas de recette : pour chaque problème posé, l’étudiant
devra faire preuve de créativité en mettant en œuvre ses connaissances
acquises dans le cours et antérieurement pour trouver le bout par lequel
il devra s’y prendre.

Nous sommes atterrés par la désinvolture et le manque de rigueur
d’un nombre non négligeable d’étudiants en lisant les copies d’examen;
n’ayant pas bien appris leur cours, ils inventent leurs propres définitions,
souvent imprécises, et affirment des propositions qu’ils ne prennent pas
la précaution de vérifier. Résoudre un problème mathématique est une
affaire aussi sérieuse que bâtir un pont ou soigner un malade : aucune
légèreté n’est tolérable.

Il est illusoire de croire que l’on peut réussir en mathématiques sans
apprendre le cours ni s’entraîner par les exercices, en se contentant de
recopier des solutions. L’étudiant devra donc s’efforcer de bien comprendre
la signification des notions abordées et les traduire sur des exemples. C’est
ce qui motive les exercices du genre :« montrer en utilisant la définition
qu’une propriété donnée est vraie pour un objet donné ».

Le livre contient 281 exercices, 13 problèmes et de nombreux exemples.
Les uns sont des exercices d’application, d’entraînement ou
d’approfondissement, d’autres ont pour but de faire participer l’étudiant à
l’élabora

xviii

AVANT-PROPOS

tion du cours en établissant des résultats intermédiaires pour la
démonstration des théorèmes. L’étudiant devra s’assurer de pouvoir les faire.

Les problèmes, placés à la fin des chapitres, sont destinés aux
étudiants qui assimilent vite et veulent aller plus loin. Ils ont pour but de
prouver les théorèmes admis, de donner des compléments de résultats ou
de construire de nouveaux objets.

Les enseignements de travaux dirigés sont l’occasion pour l’étudiant
qui les prépare d’exposer ses idées, de découvrir ses erreurs et de les
corriger (avant l’examen!), et d’avoir une meilleure compréhension du
cours. Il est important qu’il ait confiance en lui-même et que la peur de
faire des erreurs ne le retienne pas. C’est ainsi que l’on se forme.

Quatre annexes sont placées à la fin du livre.
— Dansl’annexe A, on donne une construction deRen partant des
suites de Cauchy de nombres rationnels;
— L’annexeB est consacrée au développement décimal d’un nombre
réel ;
— L’annexe C présente le développement historique et
épistémologique des principales notions abordées.
— L’annexeD est un bref aperçu biographique de quelques
mathématiciens cités.

Nous espérons que ce manuel contribuera à harmoniser l’enseignement
de l’Analyse dans les différentes universités du pays et que les étudiants
y trouveront les ressources nécessaires pour une meilleure
compréhension. Pour sa rédaction, nous avons bénéficié d’une subvention du Fonds
de publication scientifique et technique du Ministère de l’Enseignement
Supérieur, de la Recherche et de l’Innovation du Sénégal.

Nous remercions le Directeur du Centre National de Documentation
Scientifique et Technique(CNDST) Mouhamadou Moustapha Sow pour
ses encouragements et son engagement à faire aboutir ce projet.

xix

NousexprimonsnosvifsremerciementsauxmembresduComitéde
lectureduCNDSTMamadouSangharé,AbdouSèneetAissaWadeainsi
qu’ànoscollèguesBakaryManga,FarbaFayeetDiarafSeckpourleursre-
marquesetsuggestions.NousremercionsaussiAliouneCoulibaly,Moun-
tagaLametencoreFarbaFayepourleuraide UFDInique. 2VFMFT
ÏWBMVBUFVST EÏTJHOÏT QBS MF NJOJTUÒSF USPVWFOU JDJ BVTTJ UPVT OPT
SFNFSDJFFOUTBienentendutouteimperfectiondanscetouvragenousest
imputableetnousinvitonsvivementlelecteurànoussignalerles
coquilleséventuelles.

Les auteurs

Chapitre 1

Eléments de la théorie des
ensembles et de logique

1.1

1.1.1

Ensembles et sous-ensembles. Opérations
sur les ensembles

Notion d’ensemble et d’appartenance

Définition 1.1.1.Un ensemble est une collection d’objets liés par une
propriété appelée propriété caractéristique. Chaque objet de l’ensemble est
appelé élément de l’ensemble. Un singleton est un ensemble qui a un seul
élément.

Exemple 1.1.1.
— L’ensembledont les éléments sont les salles de TD de la Faculté
des Sciences et Techniques de l’UCAD.
— L’ensemble dont les éléments sont les élèves de Terminale S du
lycée Djignabo.
— L’ensembleNdes entiers naturels.
— L’ensembleZdes entiers relatifs.

1

2

CHAPITRE 1.THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

— L’ensembleQdes nombres rationnels.

Définition 1.1.2.Siaest un élément d’un ensembleE, on dira quea
appartient àEouaest un point deEet on notera :a∈E.

On va définir maintenant quelques opérations sur les ensembles.

1.1.2

Notion d’inclusion

Définition 1.1.3.Considérons un ensemble notéEet un autre ensemble
A. On dit queAestinclusdansEsi tout élément deAest un élément
deE. On note dans ce casA⊂E.
SiA⊂E, on dit queAest une partie deEou encore un
sousensemble deE.

La notationE⊃AsignifieA⊂E.

Exemple 1.1.2.Considérons l’ensembleEdes élèves de série S du lycée
Djignabo et l’ensembleAdes élèves filles de série S du même lycée. On
a :A⊂E.

Propriétés 1.—A⊂A.
— SiA, B, Csont trois ensembles vérifiantA⊂BetB⊂C, alors
A⊂C.

Exercice 1.Prouver la propriété 1.

Définition 1.1.4.L’ensemble vide est un ensemble, noté∅, qui n’a aucun
élément.

On admet que l’ensemble vide∅est inclus dans tout ensemble.
SiEest un ensemble, alors l’ensemble dont les éléments sont les parties
deEsera notéP(E). Observons que∅etEsont des éléments deP(E).

Exercice 2.SoitE={0,1,2,3}.DéterminerP(E).

Définition 1.1.5.On dit qu’un ensembleAest égal à un ensembleBet
on noteA=BsiA⊂BetB⊂A.

1.1. ENSEMBLES.OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

1.1.3

3

Notions d’intersection et de réunion.
Complémentaire d’un sous-ensemble

Définition 1.1.6.SoientAetBdeux sous-ensembles d’un ensembleE.
On appelleintersectiondeAetBle sous-ensemble deEnotéA∩B
(lireAinterB) dont les éléments sont ceux deEqui appartiennent à la
fois àAet àB:

A∩B={x∈E:x∈Aetx∈B}.

Exemple 1.1.3.Considérons les ensemblesA={1,2,3}, B={2,5,6,7}.
On a :A∩B={2}.

Propriétés 2.SoientAetBdeux parties d’un ensembleE. On a :
—A∩B⊂AetA∩B⊂B;
—A∩B=B∩A;
—A∩B=AsiB⊂A

Définition 1.1.7.SoitEun ensemble et soitA⊂E. On
appellecomA
plémentairedeAdansEle sous-ensemble notéCconstitué des
éléE
ments deEqui n’appartiennent pas àA.

Exercice 3.Prouver la remarque suivante :

Remarque 1.1.1.SoitAune partie d’un ensembleE.
A
—A∩C=∅.
E
A
C
E
—C=A.
E
Remarque 1.1.2.On trouve dans certains ouvrages la notationAou
c
encoreApour désigner le complémentaire d’une partieAd’un ensemble
Equand le contexte est clair.

Définition 1.1.8.SoientAetBdeux sous-ensembles d’un ensembleE.
On appelle réunion deAetBl’ensemble notéA∪B(lire :AunionB)
dont les éléments sont ceux deEqui appartiennent àAou àB:

A∪B={x∈E:x∈Aoux∈B}.

4

CHAPITRE 1.

THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

Exemple 1.1.4.SoientA={1,2,3,4}et

B={1,4,5,6}. On a :

A∪B={1,2,3,4,5,6}.

Exercice 4.Démontrer les propriétés suivantes :

Propriétés 3.—A∪A=A.
— SiA∪B=BalorsA⊂B.
—A⊂A∪BetB⊂A∪B.
A
— SiAest une partie d’un ensemble E, alorsA∪C=E.
E

Exercice 5.Démontrer les propriétés suivantes :

1.(A∩B)∩C=A∩(B∩C).

2.(A∪B)∪C=A∪(B∪C).

3.A∩B=B∩A.

4.A∪B=B∪A.

5.A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

6.A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

A∪B AB
7.C=C∩C.
E EE
A∩B AB
8.C=C∪C.
E EE

Définition 1.1.9.SiAetBsont deux parties d’un ensembleEtelles
queA∪B=EetA∩B=∅, on dit queAetBforment une partition
deE.

1.1.4

Produit de deux ensembles

Définition 1.1.10.SoientAetBdeux ensembles non vides. Sia∈A
etb∈B, on appelle couple(a, b)l’ensemble{{a},{a, b}}.

Remarque 1.1.3.Le couple(a, b)est différent du couple(b, a).

1.1. ENSEMBLES.OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

5

Définition 1.1.11.SoientAetBdeux ensembles. On appelle produit
deAetBl’ensembleA×Bdéfini par :

i)A×B=∅siA=∅ouB=∅;

ii)A×B={(a, b) :a∈A, b∈B}siA=∅etB=∅.

Exemple 1.1.5.
1) SoientA={0,1}etB={4,6,8}. On a :
A×B={(0,4),(0,6),(0,8),(1,4),(1,6),(1,8)}.

2) SoientNl’ensemble des entiers naturels etZl’ensemble des entiers
relatifs. On a :N×Z={(n, p) :n∈N, p∈Z}.

Exercice 6.SoientAetBdeux ensembles,EetFdeux parties deA,
etCetDdeux parties deB. Démontrer les propriétés suivantes :

a)(E×C)∩(F×D) = (E∩F)×(C∩D).

b)(E×C)∪(F×C) = (E∪F)×C.

c)(E×C)∪(E×D) =E×(C∪D).

A×C AC
d)C= (C×F)∪(E×C).
E×F EF

1.1.5

Relations entre ensembles

Dans cette sectionAetBdésignent deux ensembles non vides.

Définition 1.1.12.SoientAetBdeux ensembles non vides. Une
relationRdeAversBest la donnée d’une partie non videGdeA×B.
On dit queAest l’ensemble de départ ou source de la relation,Best
son ensemble d’arrivée ou but;Gest appelé legraphede la relation.
Si(a, b)appartient au grapheG, on dit queaetbsont liés parR.
La condition qui exprime qu’un couple(x, y)appartient àRest appelée
leliende la relationR.

6

CHAPITRE 1.

THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

Remarque 1.1.4.Il est commode de donner le lien d’une relationR
d’un ensembleAvers un ensembleBplutôt que son graphe. C’est la
pratique la plus courante.

SoitRune relation deAversB. Si un couple(a, b)appartient au
graphe deR, on écritaRb; on dit quebest l’image deaet queaest un
antécédent deb.

Définition 1.1.13.On dit qu’une relationRdeAversBest une
application si tout point deApossède une image unique.

Notation.Une application deAversBsera notée∗:A→B,∗étant
en général une lettre de l’alphabet français, grec, .. ..
Soitf:A→Bune application.
— l’imaged’un pointadeAsera notéef(a).
−1
— L’ensembledes antécédents d’un pointbdeBsera notéf(b):

−1
f(b) ={x∈A:f(x) =b}.

Exemple 1.1.6.SoitEun ensemble non vide. On définit bien une
applicationIE:E−→Een posantIE(x) =xpour toutx∈E.
On dit queIEest l’application identique ou l’identitédeE. On la
note aussiidE.

SiAest une partie non vide deE, l’injection deAdansEest
l’applicationι:A→Edéfinie parι(x) =xpour toutx∈A.

Définition 1.1.14.Soitf:A−→Bune application.
SoitF⊂B. On appellepré-imageouimage réciproquedeFpar
−1
fle sous-ensemble deAnotéf(F)et défini par

−1
f(F) ={x∈A,tel quef(x)∈F}.

SoitCune partie deA. L’ensemblef(C) ={f(x), x∈C}est appelé
image directedeCparf.

1.1.

ENSEMBLES. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

7

Définition 1.1.15.Une applicationf:A→Best dite
—injectivesi pour tousx∈Aety∈Atels quex=y, on a
f(x)=f(y);
—surjectivesi tout pointbdeBadmet au moins une image,
c’est−1
à-dire pour toutb∈B, on af(b)=∅;
—bijectivesifest à la fois injective et surjective.

Remarque 1.1.5.Une applicationf:A→Best bijective si et
seulement si tout élément de l’ensemble d’arrivéeBadmet un antécédent et un
−1
seul. S’il en est ainsi, on peut définir une application, notéef:B→A,
qui associe à tout pointbdeBson unique antécédent parf. On dit que
−1
fest la réciproque def.

−1
Attention.La notationf(F)utilisée pour désigner l’image réciproque
d’une partieFdeBpar une applicationf:A→Bne suppose pas que
l’applicationfsoit bijective; ce n’est pas le cas en général.

Proposition 1.1.1.Sif:A−→Best une application, alors on a :

−1
i) pour toutC⊂A, on aC⊂f(f(C)).

−1
ii) pour toutD⊂B, on af(f(D))⊂D.

Exercice 7.SoientAetBdeux ensembles etf:A→Bune application.

1. SoientEetFdeux parties deA. Montrer que

a)f(E∩F)⊂f(E)∩f(F)

b)f(E∪F) =f(E)∪f(F)

2. SoientCetDsont deux parties deF. Montrer que

−1−1−1
c)f(C∩D) =f(C)∩f(D)

−1−1−1
d)f(C∪D) =f(C)∪f(D)
−1
f(D)
−1D
e)f(C) =C
F E

8

CHAPITRE 1.

THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

Définition 1.1.16.UnefonctiondeAversBest la donnée d’une
applicationf:Df→Bd’une partieDfdeA, appelée domaine de définition
def, versB.

Exemples.Le diagramme 1.1 représente une fonction deAversB.
La relation représentée par le diagramme 1.2 n’est pas une fonction.
Le diagramme 1.3 représente une application.

Figure1.1 – exemple de diagramme d’une fonction

Figure1.2 – ce diagramme ne représente pas une fonction

Figure1.3 – exemple de diagramme d’une application

1.1. ENSEMBLES.OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES

9

Exercice 8.Donner un exemple d’une applicationf:A→Btelle qu’il
existe deux partiesEetFdeAvérifiantf(E∩F)=f(E)∩f(F).

1.1.6

Composition d’applications

Définition 1.1.17.SoientA, BetCtrois ensembles. Considérons deux
applicationsf:A−→Betg:B−→C. On définit une nouvelle
applicationg◦f:A−→Cen posant, pour toutx∈A,g◦f(x) =g(f(x)).
L’applicationg◦fest appelée la composée degavecf.

La notationg◦fse lit :grondf.

−1
Exemple 1.1.7.Sif:E→Fest une bijection etf:F→Eest sa
−1−1
réciproque, on a alors :f f=idFetf f=idE.
◦ ◦

1.1.7

Ensembles finis et ensembles infinis

Définition 1.1.18.SoitEun ensemble. On dit queEest unensemble
finis’il possède un nombre fini d’éléments.
SiEest un ensemble fini, le nombre d’éléments deEest appelé le

cardinaldeEet est notécard(E)ouE.

Exemples.L’ensembleAdes étudiants inscrits en L1MPI est fini.
L’ensembleEdes entiers naturels plus petits que 30 est fini

Définition 1.1.19.SoitEun ensemble. On dit que E est unensemble
infinis’il n’ a pas un nombre fini d’éléments.

Exemple 1.1.8.Nest un ensemble infini.

Il existe deux types d’ensembles infinis : les ensembles infinis
dénombrables et les ensembles infinis non dénombrables.

Définition 1.1.20.Un ensemble infiniEest ditdénombrables’il existe
une bijectionϕ:N→EdeNsurE.

10

CHAPITRE 1.THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

Exemple 1.1.9.Les ensembleN,ZetQsont dénombrables.

Un ensemble infiniEestnon dénombrables’il n’existe pas une
bijection deNsurE. On verra à l’annexe B que l’ensembleRdes nombres
réels est infini non dénombrable.

1.2

1.2.1

Quelques éléments de logique

Calcul des propositions

Définition 1.2.1.On appelleassertionoupropositionou
encoreaffirmationun énoncé qui peut être vrai ou faux, mais jamais vrai et faux
en même temps.
Une assertion toujours vraie est appeléetautologie.
Une assertion toujours fausse est appeléeantinomie.

Exemple 1.2.1.
— J’aiune pièce de monnaie.
— Issaa une dent cariée.
Ne sont pas des assertions des énoncés comme :
— Qu’ilest beau!
— Es-tumalade ?

Lesassertions élémentairessont des affirmations considérées comme
entières, indivisibles en parties.

Exemple 1.2.2.ciel est bleu.— Le
— Leshommes sont noires.

Les assertions sont désignées par des lettres majusculesA, B, P, Q,· · ·.
On peut créer de nouvelles assertions à partir de combinaisons
d’assertions élémentaires. On utilise pour cela les connecteurs logiques. Les
assertions combinaisons de plusieurs assertions élémentaires sont appelées
assertions complexes.

1.2.

QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE

11

Le connecteur de négation est non noté⌉. Il est défini comme suit :

Définition 1.2.2.SiPest une assertion , on appellenégationdePla
proposition, notée⌉P(lire nonP), qui est vraie siPest fausse et est
fausse siPest vraie.

Le connecteur de conjonction est notée∧. Il est défini comme suit :

Définition 1.2.3.SoientPetQdeux assertions. Laconjonctionde
PetQ(on dit quePest en conjonction avecQ) est la proposition notée
P∧Q(lirePetQ) qui est vraie si P est vraie et Q est vraie, et est fausse
si l’une des propositionsPouQest fausse.

Le connecteur de disjonction est noté∨. Il est défini comme suit :

Définition 1.2.4.SoientPetQdeux assertions. Ladisjonctionde
PetQest la proposition notéeP∨Q(lirePouQ), qui est vraie si
l’assertionPou l’assertionQest vraie, et est fausse si l’assertionPet
l’assertionQsont fausses.

Le connecteur d’implication est noté⇒. Il est défini comme suit :

Définition 1.2.5.SoitPetQdeux propositions. La propositionP⇒Q
(lirePimpliqueQ) signifie que siPest vraie, alorsQest vraie.

On observe que la propositionP⇒Qn’est fausse que lorsquePest
vraie et queQest fausse. SiPn’est pas vraie,Qpeut être n’importe
quoi.

Le connecteur d’équivalence est noté⇔.

Définition 1.2.6.SoientPetQdeux propositions. On dit quePest
équivalenteàQet l’on noteP⇔QsiP⇒QetQ⇒P.

SoitPune proposition. SiPest vraie, on lui attribue pour valeur de
vérité la lettreVou le chiffre1; siPest fausse, on lui attribue la lettreF

12

CHAPITRE 1.THÉORIE DES ENSEMBLES ET LOGIQUE

ou le chiffre0. On peut établir la table de vérité d’une assertion complexe
dès que l’on connait la valeur de vérité des assertions élémentaires qui la
composent.

Exemple 1.2.3.Dressons la table de vérité des propositions

P;⌉P;P∧Q;P∨Q;P⇒Q;P⇔Q.

P
P P⌉P1
1 10 1
0 01 0
0
Exercice 9.Montrer que :

Q
1
0
1
0

P∧Q
1
0
0
0

P∨Q
1
1
1
0

P⇒Q
1
0
1
1

P⇔Q
1
0
0
1

⌉(P∧Q)⇐⇒⌉P∨⌉Q
⌉(P∨Q)⇐⇒⌉P∧⌉Q
(P=⇒Q)⇐⇒(⌉P∨Q)⇐⇒(⌉Q=⇒⌉P).
⌉⌉P⇐⇒P
Remarque 1.2.1.Une table de vérité d’une assertion composée den
n
assertions élémentaires est de2lignes correspondant aux nombres
d’applications possibles d’un ensemble ànéléments vers un ensemble à2
éléments (le oui ou le non possible de chaque assertion élémentaire).

1.2.2

Les prédicats

2 2
Considérons l’énoncé suivant :x+y= 1. Ce n’est pas une assertion
car on ne peut pas dire si cet énoncé estvraioufaux. La réponse dépend
des valeurs dexety. A chaque fois que l’on donne une valeur àxety,
on a une assertion. De tels énoncés sont appelésprédicats.
Les prédicats sont désignés par des lettres majuscules avec indication
entre parenthèses des variables qui les composent.
Dans la suite, la notation:=signifie : égale par définition.