Cours et exercices d'analyse L1MPI

Marie-Salomon Sambou, Masseye Gaye, El Hadji Cheikh Mbacké Diop, El Hadji Malick Dia

Description

Ce livre couvre le programme d'Analyse de Première année de Mathématiques, Physique et Informatique. Les notions traitées sont introduites de façon progressive et illustrées par de nombreux exemples. Il contient 278 exercices et 13 problèmes.

Sujets

• manuels
• annales
• Cours

Informations

• Publié par: L'Harmattan
• Date de parution: 20 décembre 2018
• Nombre de lectures: 95
• EAN13: 9782140108488
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 21 Mo

Extrait

Cours et exercices d’Analyse

Première année de Licence
de Mathématiques, Physique
et Informatique

El Hadji Malick Dia
El Hadji Cheikh Mbacké Diop
Masseye Gaye
Marie-Salomon Sambou

Cours et exercices d’Analyse

Première année de Licence
de Mathématiques, Physique
et Informatique

cL’HARMATTAN-SENEGAL, 2018
10 VDN, Sicap Amitié 3, Lotissement Cité Police, DAKAR
http ://www.harmattansenegal.com
diff[e-mail]
[e-mail]
ISBN : 978-2-343-14829-8
EAN : 9782343148298

Table

Préface

des

Avant-propos

matières

1 Théoriedes ensembles et logique
1.1 Ensembles.Opérations sur les ensembles. . . . . . . . .
1.1.1 Notiond’ensemble et d’appartenance. . . . . . .
1.1.2 Notiond’inclusion .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Intersectionet réunion de deux sous-ensembles ..
1.1.4 Produitde deux ensembles .. . . . . . . . . . . .
1.1.5 Relationsentre ensembles. . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Compositiond’applications .. . . . . . . . . . .
1.1.7 Ensemblesfinis et ensembles infinis. . . . . . . .
1.2 Quelqueséléments de logique. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Calculdes propositions. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lesprédicats .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Lesméthodes de raisonnement .. . . . . . . . . .

2 Lesnombres réels
2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 LecorpsQdes nombres rationnels. . . . . . . . . . . .
2.2.1 Rappels.Majorants-Minorants .. . . . . . . . . .
2.2.2 Lescarences du corpsQ. . . . . . . . . . . . . .

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2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

TABLE DES MATIÈRES

Axiomes des nombres réels. . . . . . . . .
Propriétés de la relation d’ordre≤. . . .
Inclusion deQdansR. . . . . . . . . . .
Majorant et minorant .. . . . . . . . . . .
¯
La droite achevéeR. . . . . . . . . . . . .
Topologie deR. . . . . . . . . . . . . . .
Le corps des nombres complexes. . . . . .

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Suites numériques
3.1 Définitionset propriétés élémentaires. . . . . . . . . . .
3.2 Opérationsalgébriques sur les suites. . . . . . . . . . .
3.3 Suitesmonotones .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Suitesextraites–Valeurs d’adhérence. . . . . . . . . . .
3.5 Critèrede Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Caractérisationdes parties denses deR. . . . . . . . . .
3.7 Suitesrécurrentes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Suitesrécurrentes affines du premier ordre. . . .
3.7.2 Suitesrécurrentes linéaires du second ordre .. . .
3.8 Limitesinfinies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Limitesupérieure – limite inférieure .. . . . . . . . . . .
3.10 Suitede nombres complexes .. . . . . . . . . . . . . . .

Limites et continuité
4.1 Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Continuitéà droite. Continuité à gauche. . . . .
4.1.3 Caractérisationde la continuité ponctuelle. . . .
4.1.4 Opérationsalgébriques sur les fonctions continues
4.1.5 Fonctionscontinues sur un intervalle. . . . . . .
4.2 Limitesfinies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . .

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90

TABLE DES MATIÈRES

5

6

4.3
4.4
4.5

4.2.2 Limiteà droite–limite à gauche. . . . . . . . . .
4.2.3 Utilisationdes suites numériques pour étudier
l’existence de la limite d’une fonction en un point. . .
4.2.4 Opérationsalgébriques sur les limites. . . . . . .
4.2.5 Continuitéponctuelle et limite d’une fonction. .
4.2.6 Limitesen+∞, en−∞. . . . . . . . . . . . . .
Limites infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance rationnel d’un nombre réel>0. . . . . . . . .
Fonctions logarithmes et exponentielles. . . . . . . . . .

vii

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Dérivabilité 103
5.1 Définitionet exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
5.2 Opérationssur les fonctions dérivables. . . . . . . . . .108
5.3 Théorèmedes accroissements finis. . . . . . . . . . . . .110
5.3.1 Théorèmede Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.3.2 Théorèmedes accroissements finis. . . . . . . . .111
5.3.3 Applicationà l’étude des variations d’une fonction114
5.4 Dérivéeseconde. Dérivée d’ordre supérieur. . . . . . . .117
5.5 Formulesde Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
5.5.1 Formulede Taylor-Young. . . . . . . . . . . . .119
5.5.2 Formulede Taylor-Lagrange. . . . . . . . . . . .120
5.6 Fonctionsconvexes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Les fonctions trigonométriques
6.1 Définitions– formules classiques. . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Linéarisationdes polynômes trigonométriques. .
6.2 Etudedes fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . .
6.2.1 Etudede la fonction sinus. . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Etudede la fonction cosinus. . . . . . . . . . . .
6.2.3 Etudede la fonction tangente. . . . . . . . . . .

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125
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131
134

viii

7

8

TABLE DES MATIÈRES

Intégrale de Riemann
7.1 Intégraled’une fonction en escalier. . . . . . . . . . . .
7.1.1 Subdivisiond’un intervalle. . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Fonctionsen escalier. . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Intégraled’une fonction en escalier. . . . . . . .
7.2 Intégrabilitéau sens de Riemann. . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Exemplesfondamentaux .. . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Exempled’une fonction non intégrable au sens de
Riemann .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Définitionet propriétés élémentaires. . . . . . . . . . .
7.3.1 Définitionde l’intégrale de Riemann .. . . . . . .
7.3.2 Propriétésde l’intégrale de Riemann. . . . . . .
7.4 Primitived’une fonction continue. . . . . . . . . . . . .
7.5 Méthodesclassiques de calcul d’intégrales .. . . . . . . .
7.5.1 Intégrationpar parties. . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Changementde variable. . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Interprétationgéométrique de l’intégrale. . . . .
7.6 Formulesde la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Sommesde Riemann .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Formulede Taylor avec reste intégral. . . . . . . . . . .

Fonctions usuelles
8.1 Fonctionslogarithmes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Fonctionlogarithme népérienne. . . . . . . . . .
8.1.2 Fonctionlogarithme de basea. . . . . . . . . .
8.2 Fonctionsexponentielles .. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Fonctionexponentielle népérienne. . . . . . . . .
8.2.2 Fonctionexponentielle de basea. . . . . . . . . .
8.3 Fonctionspuissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Croissancecomparée des fonctions .. . . . . . . . . . . .

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140
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172
173
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175

TABLE DES MATIÈRES

9

8.5

les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

176

Quelques techniques d’intégration181
9.1 Primitivesdes fonctions classiques .. . . . . . . . . . . .181
9.2 Intégrationdes fractions rationnelles. . . . . . . . . . .182

b
dx
9.2.1 Intégralesdu typeI=. . . . . .182
2
ax+ux+v

b
cx+d
9.2.2 Intégralesde la formeI=,c= 0183
2
ax+ux+v
9.2.3 Ladécomposition en éléments simples d’une
fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

b
9.3 CalculdeR(cosx,sinx), oùRest une fraction186. . . .
a
9.3.1 Uneméthode générale. . . . . . . . . . . . . . .186
9.3.2 Casoù la fonctionR(cosx,sinx)187. . .est impaire
9.3.3 Casoù la fonctionR(x, y)est homogène de degré 0187
9.4 Intégralesabéliennes ..