Les clés pour mieux comprendre son cours de maths - Seconde - Nouveaux programmes
308 pages
Français

Les clés pour mieux comprendre son cours de maths - Seconde - Nouveaux programmes

-

308 pages
Français

Description

  • Si vous êtes en Seconde, que les cours de mathématiques vont trop vite pour vous ou vous paraissent trop difficiles.
  • Si vous avez accumulé trop de lacunes durant vos années de collège.
  • Si vous éprouvez des difficultés de raisonnement.
  • Si vous ne comprenez pas les commentaires « manque de rigueur », « justifiez », « expliquez », laissés sur votre copie.
  • Si les mathématiques n’ont pas de sens pour vous.
  • Si vous savez appliquer des techniques mais que vous ne les comprenez pas.

Cet ouvrage est fait pour vous !

Laissez-vous guider, étape par étape, pour revisiter les nombres, introduire les fonctions, développer les différents outils de l’algèbre et établir les bases du raisonnement mathématique.

Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 06 octobre 2020
Nombre de lectures 19
EAN13 9782340044111
Langue Français
Poids de l'ouvrage 9 Mo

Informations légales : prix de location à la page €. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Exrait

de2
CLASSE
DE
SECONDE
Dalila Najam
LES CLÉS
POUR MIEUX COMPRENDRE
SON COURS
DE MATHS
D. Najam
LES CLÉS POUR MIEUX COMPRENDRE SON COURS DE MATHSLES CLÉS
POUR MIEUX COMPRENDRE
COURS SON
DE MATHS
CLASSE
DE
SECONDEAVANT-PROPOS
Objectifs
Ce livre a pour objectif d’apporter une aide complémentaire dans
l’apprentissage des mathématiques en classe de seconde.
Il propose de reprendre une grande partie des notions abordées au collège
de manière organisée, progressive et simple.
Organisée, car l’apprentissage est guidé et chaque chapitre aborde une
seule notion à la fois.
Progressive car très peu de connaissances sont nécessaires au début du
livre et la difficulté croissante des exercices permet d’arriver à un niveau
suffisant pour être en réussite en seconde.
Simple car le langage utilisé est volontairement proche du langage courant
et les notations mathématiques réduites au maximum.
Les notions sont revues sous un nouvel angle afin de remotiver les élèves
qui trouvent les mathématiques ennuyeuses, obscures ou dénuées de sens.
Les exercices sont de difficultés variées pour permettre une remise à
niveau, mais aussi une préparation à l’entrée en première.
Qu’allez-vous trouver dans ce livre ?
La première partie sur le raisonnement sera l’occasion d’apprendre tout ce
que vous êtes censé savoir et qu’on ne vous explique jamais.
La deuxième partie aborde les nombres. Elle vous permettra de synthétiser ISBN 9782340-042063
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2020 vos connaissances sur ce sujet pour créer des liens et permettre une bonne
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 compréhension des nombres.


La troisième partie est consacrée à l’algèbre. Vous y développerez des
outils qui vous permettront de résoudre des problèmes.


Avant-propos • 3 LES CLÉS
POUR MIEUX COMPRENDRE
COURS SON
DE MATHS
Dalila Najam
Professeur agrégé
CLASSE
DE
SECONDEAVANT-PROPOS AVANT-PROPOS
Objectifs
Ce livre a pour objectif d’apporter une aide complémentaire dans
l’apprentissage des mathématiques en classe de seconde.
Il propose de reprendre une grande partie des notions abordées au collège
de manière organisée, progressive et simple.
Organisée, car l’apprentissage est guidé et chaque chapitre aborde une
seule notion à la fois.
Progressive car très peu de connaissances sont nécessaires au début du
livre et la difficulté croissante des exercices permet d’arriver à un niveau
suffisant pour être en réussite en seconde.
Simple car le langage utilisé est volontairement proche du langage courant
et les notations mathématiques réduites au maximum.
Les notions sont revues sous un nouvel angle afin de remotiver les élèves
qui trouvent les mathématiques ennuyeuses, obscures ou dénuées de sens.
Les exercices sont de difficultés variées pour permettre une remise à
niveau, mais aussi une préparation à l’entrée en première.
Qu’allez-vous trouver dans ce livre ?
La première partie sur le raisonnement sera l’occasion d’apprendre tout ce
que vous êtes censé savoir et qu’on ne vous explique jamais.
La deuxième partie aborde les nombres. Elle vous permettra de synthétiser
vos connaissances sur ce sujet pour créer des liens et permettre une bonne
compréhension des nombres.
La troisième partie est consacrée à l’algèbre. Vous y développerez des
outils qui vous permettront de résoudre des problèmes.
Avant-propos • 3 Avant-propos • 3
La quatrième partie aborde les fonctions. Elle vous permettra de Sommaire
comprendre la formalisation qui accompagne souvent l’introduction des
fonctions au collège ou au lycée.

À qui s’adresse ce livre ?
Ce livre est adapté à tous les élèves de seconde. Ceux qui éprouvent des
PREMIÈRE PARTIE. LE RAISONNEMENT ............................................ 9 difficultés, trouveront des réponses adaptées. Ceux qui n’aiment pas les

mathématiques, trouveront des raisons de les aimer. Et les autres
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES ................................................................ 11 trouveront des clés pour progresser.
Étape 1 : Éléments d’un ensemble....................................................................... 11
Ce livre s’adresse aussi aux professeurs de mathématiques qui pourront Étape 2 : Sous-ensembles .................................................................................... 12
peut-être y trouver l’inspiration.
CHAPITRE 2. PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES ................................. 15
Comment utiliser ce livre ? Étape 1 : ET/OU .................................................................................................. 16
Étape 2 : Les quantificateurs en mathématiques ................................................. 18
Ce livre est avant tout conçu pour permettre un travail autonome de l’élève. Étape 3 : La négation logique .............................................................................. 20
Étape 4 : L’implication ........................................................................................ 21
L’apprentissage est guidé et progressif.
CHAPITRE 3. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES ................................ 25
Les explications sont détaillées et les exemples sont multipliés.
Étape 1 : Des exemples pour quoi faire ? ............................................................ 25
Étape 2 : Le statut du contre-exemple ................................................................. 27 Les exercices sont tous corrigés.

L’idéal est de faire tous les exercices, dans l’ordre. Les exercices CHAPITRE 4. DONNÉES ET CONSIGNES ................................................ 31
constituent une grande partie de l’apprentissage. Se contenter de lire les
Étape 1 : Hypothèse ............................................................................................. 31
leçons, de parcourir les exercices en regardant trop vite les corrections est Étape 2 : Consigne ou donnée ? .......................................................................... 33
insuffisant.
CHAPITRE 5. DÉMONTRER....................................................................... 35 Il peut également être utilisé par le professeur, dans le cadre de
l’accompagnement personnalisé, en remédiation ou en approfondissent. Étape 1 : Faire fonctionner un théorème ............................................................. 35
Étape 2 : Raisonnement hypothético-déductif ..................................................... 39
Étape 3 : Raisonnement par contraposée ............................................................. 40
Étape 4 : Raisonnement par équivalence ............................................................. 41
Étape 5 : Raisonnement par l’absurde ................................................................. 42

CORRIGÉS DES EXERCICES ..................................................................... 43



Avant-propos • 4 Sommaire • 5 4 • Avant-propos

La quatrième partie aborde les fonctions. Elle vous permettra de Sommaire SOMMAIREcomprendre la formalisation qui accompagne souvent l’introduction des
fonctions au collège ou au lycée.

À qui s’adresse ce livre ?
Ce livre est adapté à tous les élèves de seconde. Ceux qui éprouvent des
PREMIÈRE PARTIE. LE RAISONNEMENT ............................................ 9 difficultés, trouveront des réponses adaptées. Ceux qui n’aiment pas les

mathématiques, trouveront des raisons de les aimer. Et les autres
CHAPITRE 1. LES ENSEMBLES ................................................................ 11 trouveront des clés pour progresser.
Étape 1 : Éléments d’un ensemble....................................................................... 11
Ce livre s’adresse aussi aux professeurs de mathématiques qui pourront Étape 2 : Sous-ensembles .................................................................................... 12
peut-être y trouver l’inspiration.
CHAPITRE 2. PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES ................................. 15
Comment utiliser ce livre ? Étape 1 : ET/OU .................................................................................................. 16
Étape 2 : Les quantificateurs en mathématiques ................................................. 18
Ce livre est avant tout conçu pour permettre un travail autonome de l’élève. Étape 3 : La négation logique .............................................................................. 20
Étape 4 : L’implication ........................................................................................ 21
L’apprentissage est guidé et progressif.
CHAPITRE 3. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES ................................ 25
Les explications sont détaillées et les exemples sont multipliés.
Étape 1 : Des exemples pour quoi faire ? ............................................................ 25
Étape 2 : Le statut du contre-exemple ................................................................. 27 Les exercices sont tous corrigés.

L’idéal est de faire tous les exercices, dans l’ordre. Les exercices CHAPITRE 4. DONNÉES ET CONSIGNES ................................................ 31
constituent une grande partie de l’apprentissage. Se contenter de lire les
Étape 1 : Hypothèse ............................................................................................. 31
leçons, de parcourir les exercices en regardant trop vite les corrections est Étape 2 : Consigne ou donnée ? .......................................................................... 33
insuffisant.
CHAPITRE 5. DÉMONTRER....................................................................... 35 Il peut également être utilisé par le professeur, dans le cadre de
l’accompagnement personnalisé, en remédiation ou en approfondissent. Étape 1 : Faire fonctionner un théorème ............................................................. 35
Étape 2 : Raisonnement hypothético-déductif ..................................................... 39
Étape 3 : Raisonnement par contraposée 40
Étape 4 : Raisonnement par équivalence 41
Étape 5 : Raisonnement par l’absurde ................................................................. 42

CORRIGÉS DES EXERCICES ..................................................................... 43



Avant-propos • 4 Sommaire • 5 Sommaire • 5

DEUXIÈME PARTIE. LES NOMBRES .................................................... 57 Étape 2 : L’ensemble des nombres réels ........................................................... 118
Étape 3 : Les intervalles .................................................................................... 120
Étape 4 : La valeur absolue ............................................................................... 124
CHAPITRE 6. LES NOMBRES ENTIERS NATURELS............................... 59
Étape 1 : Multiples et diviseurs ........................................................................... 59 CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 127
Étape 2 : Les nombres premiers .......................................................................... 60

Étape 3 : Décomposer en produits de facteurs premiers ..................................... 62


TROISIÈME PARTIE. L’ALGÈBRE ...................................................... 159
CHAPITRE 7. LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS ................................. 65

Étape 1 : L’ensemble des nombres entiers relatifs .............................................. 65
CHAPITRE 14. RÉDUIRE ET SIMPLIFIER UNE EXPRESSION .............. 161
Étape 2 : Nombres entiers relatifs et opérations .................................................. 66
Étape 1 : Reconnaître la structure d’une expression.......................................... 161
Étape 2 : Réduire une expression algébrique .................................................... 163
CHAPITRE 8. FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS ....................... 69

Étape 1 : La notion de commune mesure ............................................................ 69
CHAPITRE 15. DÉVELOPPER UNE EXPRESSION ................................. 167 Étape 2 : L’ensemble des nombres rationnels ..................................................... 71
Étape 3 : Différentes représentations d’un nombre rationnel .............................. 74 Étape 1 : Supprimer les parenthèses .................................................................. 167
Étape 2 : La distributivité de la multiplication sur l’addition ........................... 169
Étape 3 : Avec des identités remarquables ........................................................ 173
CHAPITRE 9. OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS ................................ 79

Étape 1 : Somme et produit ................................................................................. 79
CHAPITRE 16. AUTOUR DES ÉGALITÉS ............................................... 177
Étape 2 : Ne pas confondre opposé et inverse ..................................................... 83
Étape 3 : Inverse et division ................................................................................ 85 Étape 1 : Égalité toujours vraie, parfois vraie ................................................... 177
Étape 2 : Montrer qu’une égalité est toujours vraie........................................... 179

CHAPITRE 10. AVEC DES PUISSANCES .................................................. 87
CHAPITRE 17. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ ... 181
Étape 1 : Calculer avec les puissances ................................................................ 87
Étape 2 : Problèmes de puissances ...................................................................... 89 Étape 1 : Solutions d’une équation .................................................................... 181
Étape 2 : Résoudre une équation ....................................................................... 183
Étape 3 : Mettre en équation.............................................................................. 186
CHAPITRE 11. PRIORITÉS DES OPÉRATIONS ........................................ 91

Étape 1 : Propriétés des opérations 91
CHAPITRE 18. AVEC DES INÉGALITÉS................................................. 187
Étape 2 : Ne pas confondre double et carré ......................................................... 92
Étape 3 : Règles de priorité ................................................................................. 94 Étape 1 : Transformations et règles sur les inégalités ....................................... 187
Étape 2 : Résoudre une inéquation du premier degré ........................................ 190
Étape 3 : Montrer qu’une inégalité est toujours vraie ....................................... 191
CHAPITRE 12. RACINE CARRÉE ET OPÉRATIONS .............................. 101

Étape 1 : Carré ou racine carrée ? ...................................................................... 101
CHAPITRE 19. FACTORISER UNE EXPRESSION .................................. 193 Étape 2 : Calculer avec les radicaux .................................................................. 104
Étape 3 : Réduire des expressions avec des radicaux ........................................ 106 Étape 1 : Avec un facteur commun ................................................................... 193
Étape 4 : Racine carrée et écriture décimale...................................................... 107 Étape 2 : Avec des identités remarquables ........................................................ 196

CHAPITRE 13. LES NOMBRES RÉELS.................................................... 113 CHAPITRE 20. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ .... 197
Étape 1 : Les nombres irrationnels .................................................................... 113 Étape 1 : Résoudre une équation produit ........................................................... 197
Sommaire • 6 Sommaire • 7 6 • Sommaire
DEUXIÈME PARTIE. LES NOMBRES .................................................... 57 Étape 2 : L’ensemble des nombres réels ........................................................... 118
Étape 3 : Les intervalles .................................................................................... 120
Étape 4 : La valeur absolue ............................................................................... 124
CHAPITRE 6. LES NOMBRES ENTIERS NATURELS............................... 59
Étape 1 : Multiples et diviseurs ........................................................................... 59 CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 127
Étape 2 : Les nombres premiers .......................................................................... 60

Étape 3 : Décomposer en produits de facteurs premiers ..................................... 62


TROISIÈME PARTIE. L’ALGÈBRE ...................................................... 159
CHAPITRE 7. LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS ................................. 65

Étape 1 : L’ensemble des nombres entiers relatifs .............................................. 65
CHAPITRE 14. RÉDUIRE ET SIMPLIFIER UNE EXPRESSION .............. 161
Étape 2 : Nombres entiers relatifs et opérations .................................................. 66
Étape 1 : Reconnaître la structure d’une expression.......................................... 161
Étape 2 : Réduire une expression algébrique .................................................... 163
CHAPITRE 8. FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS ....................... 69

Étape 1 : La notion de commune mesure ............................................................ 69
CHAPITRE 15. DÉVELOPPER UNE EXPRESSION ................................. 167 Étape 2 : L’ensemble des nombres rationnels ..................................................... 71
Étape 3 : Différentes représentations d’un nombre rationnel .............................. 74 Étape 1 : Supprimer les parenthèses .................................................................. 167
Étape 2 : La distributivité de la multiplication sur l’addition ........................... 169
Étape 3 : Avec des identités remarquables ........................................................ 173
CHAPITRE 9. OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS ................................ 79

Étape 1 : Somme et produit ................................................................................. 79
CHAPITRE 16. AUTOUR DES ÉGALITÉS ............................................... 177
Étape 2 : Ne pas confondre opposé et inverse ..................................................... 83
Étape 3 : Inverse et division ................................................................................ 85 Étape 1 : Égalité toujours vraie, parfois vraie ................................................... 177
Étape 2 : Montrer qu’une égalité est toujours vraie........................................... 179

CHAPITRE 10. AVEC DES PUISSANCES .................................................. 87
CHAPITRE 17. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ ... 181
Étape 1 : Calculer avec les puissances ................................................................ 87
Étape 2 : Problèmes de puissances ...................................................................... 89 Étape 1 : Solutions d’une équation .................................................................... 181
Étape 2 : Résoudre une équation ....................................................................... 183
Étape 3 : Mettre en équation.............................................................................. 186
CHAPITRE 11. PRIORITÉS DES OPÉRATIONS ........................................ 91

Étape 1 : Propriétés des opérations ...................................................................... 91
CHAPITRE 18. AVEC DES INÉGALITÉS................................................. 187
Étape 2 : Ne pas confondre double et carré ......................................................... 92
Étape 3 : Règles de priorité ................................................................................. 94 Étape 1 : Transformations et règles sur les inégalités ....................................... 187
Étape 2 : Résoudre une inéquation du premier degré ........................................ 190
Étape 3 : Montrer qu’une inégalité est toujours vraie ....... 191
CHAPITRE 12. RACINE CARRÉE ET OPÉRATIONS .............................. 101

Étape 1 : Carré ou racine carrée ? ...................................................................... 101
CHAPITRE 19. FACTORISER UNE EXPRESSION .................................. 193 Étape 2 : Calculer avec les radicaux .................................................................. 104
Étape 3 : Réduire des expressions avec des radicaux ........................................ 106 Étape 1 : Avec un facteur commun ................................................................... 193
Étape 4 : Racine carrée et écriture décimale...................................................... 107 Étape 2 : Avec des identités remarquables ........................................................ 196

CHAPITRE 13. LES NOMBRES RÉELS.................................................... 113 CHAPITRE 20. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ .... 197
Étape 1 : Les nombres irrationnels .................................................................... 113 Étape 1 : Résoudre une équation produit ........................................................... 197
Sommaire • 6 Sommaire • 7 Sommaire • 7




Étape 2 : Choisir la bonne forme ....................................................................... 198 PREMIÈRE PARTIE

CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 201


QUATRIÈME PARTIE. LES FONCTIONS............................................ 223

CHAPITRE 21. INTRODUCTION AUX FONCTIONS .............................. 225
Étape 1 : Exprimer en fonction de … .......................................................... 225
Étape 2 : Notion de variable en mathématiques ................................................ 228
Étape 3 : Tableau de valeurs.............................................................................. 230
Étape 4 : Image et antécédents .......................................................................... 232
Étape 5 : Ensemble de définition ....................................................................... 234

CHAPITRE 22. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET FONCTIONS ...... 239
Étape 1 : Ensemble de points dans un repère .................................................... 239
Cette partie est consacrée au raisonnement. Étape 2 : Distance et milieu ............................................................................... 241
Étape 3 : Représentation graphique d’une fonction........................................... 244
Vous y apprendrez les bases pour construire un raisonnement Étape 4 : Lecture d’images et d’antécédents ..................................................... 246
Étape 5 : Résolution graphique d’équations ...................................................... 251 mathématique.

À la fin de cette partie, vous serez capable : CHAPITRE 23. ORDRE ET VARIATIONS................................................ 257
Étape 1 : Variations d’une fonction ................................................................... 257 de comprendre ce qu’est un raisonnement déductif et de savoir
Étape 2 : Extrema d’une fonction ...................................................................... 259 quand et comment l’utiliser ;

CHAPITRE 24. FONCTIONS AFFINES ET POURCENTAGES ................ 263 de faire la différence entre l’emploi du mot « hypothèse » en
mathématiques et dans le langage courant ; Étape 1 : Expression algébrique ........................................................................ 263
Étape 2 : Proportionnalité, pourcentage et fonctions ......................................... 264
de savoir quand et comment utiliser des exemples et contre-Étape 3 : De la proportionnalité à la représentation graphique ......................... 268
Étape 4 : Équation réduite de droite .................................................................. 269 exemples ;

d’utiliser les bon mots de liaison pour rédiger ; CHAPITRE 25. ÉTUDIER LE SIGNE D’UNE EXPRESSION ................... 275
Étape 1 : Graphiquement ................................................................................... 275 de comprendre comment étudier une leçon de mathématiques
Étape 2 : Algébriquement .................................................................................. 277
(théorèmes et définitions).
CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 279


Sommaire • 8 Première partie • 9 8 • Sommaire




Étape 2 : Choisir la bonne forme ....................................................................... 198 PREMIÈRE PARTIE

CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 201


QUATRIÈME PARTIE. LES FONCTIONS............................................ 223

CHAPITRE 21. INTRODUCTION AUX FONCTIONS .............................. 225
Étape 1 : Exprimer en fonction de … .......................................................... 225
Étape 2 : Notion de variable en mathématiques ................................................ 228
Étape 3 : Tableau de valeurs.............................................................................. 230
Étape 4 : Image et antécédents .......................................................................... 232
Étape 5 : Ensemble de définition ....................................................................... 234

CHAPITRE 22. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET FONCTIONS ...... 239
Étape 1 : Ensemble de points dans un repère .................................................... 239
Cette partie est consacrée au raisonnement. Étape 2 : Distance et milieu ............................................................................... 241
Étape 3 : Représentation graphique d’une fonction........................................... 244
Vous y apprendrez les bases pour construire un raisonnement Étape 4 : Lecture d’images et d’antécédents ..................................................... 246
Étape 5 : Résolution graphique d’équations ...................................................... 251 mathématique.

À la fin de cette partie, vous serez capable : CHAPITRE 23. ORDRE ET VARIATIONS................................................ 257
Étape 1 : Variations d’une fonction ................................................................... 257 de comprendre ce qu’est un raisonnement déductif et de savoir
Étape 2 : Extrema d’une fonction ...................................................................... 259 quand et comment l’utiliser ;

CHAPITRE 24. FONCTIONS AFFINES ET POURCENTAGES ................ 263 de faire la différence entre l’emploi du mot « hypothèse » en
mathématiques et dans le langage courant ; Étape 1 : Expression algébrique ........................................................................ 263
Étape 2 : Proportionnalité, pourcentage et fonctions ......................................... 264
de savoir quand et comment utiliser des exemples et contre-Étape 3 : De la proportionnalité à la représentation graphique ......................... 268
Étape 4 : Équation réduite de droite .................................................................. 269 exemples ;

d’utiliser les bon mots de liaison pour rédiger ; CHAPITRE 25. ÉTUDIER LE SIGNE D’UNE EXPRESSION ................... 275
Étape 1 : Graphiquement ................................................................................... 275 de comprendre comment étudier une leçon de mathématiques
Étape 2 : Algébriquement .................................................................................. 277
(théorèmes et définitions).
CORRIGÉS DES EXERCICES ................................................................... 279


Sommaire • 8 Première partie • 9 Le raisonnement • 9w
=



z
<

<
��
����
��






L


=

w
w



CHAPITRE 1
LES ENSEMBLES
ÉTAPE 1 : ÉLÉMENTS D’UN ENSEMBLE
Un ensemble est une collection d’objets clairement définis, appelés
éléments de cet ensemble.
Par exemple, on peut dire l’ensemble des pays du continent africain ou
l’ensemble des points d’une droite.
Les ensembles sont notés par des lettres, le plus souvent majuscules.
Les éléments de l’ensemble sont alors énumérés entre accolades { } et
séparés par un point-virgule.
Par exemple, l’ensemble des nombres impairs compris (au sens strict)
entre 0 et 14 sera noté L s� u � w� y � {� ss� s u .
Pour dire que le nombre est un élément de l’ensemble , on utilise le
symbole qui se lit « appartient ». On écrit : w� .
Pour dire que n’est pas un élément de , on écrit : z � .
Quand le nombre des éléments d’un ensemble est très grand ou même
infini, on ne peut pas tous les énumérer. Dans ce cas, on donne une
propriété de ses éléments qui permet de tous les retrouver.
Par exemple, @L est la médiatrice du
segment [ ].
Enfin, il existe un seul ensemble qui n’a aucun élément et que l’on appelle
ensemble vide. Il est noté .
Comme exemple d’ensemble vide on peut donner l’ensemble des
personnes qui mesurent plus de m car aucune personne ne mesure plus
de m.
Première partie • 10 Les ensembles • 11

<
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z

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L


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w
w



CHAPITRE 1
LES ENSEMBLES
ÉTAPE 1 : ÉLÉMENTS D’UN ENSEMBLE
Un ensemble est une collection d’objets clairement définis, appelés
éléments de cet ensemble.
Par exemple, on peut dire l’ensemble des pays du continent africain ou
l’ensemble des points d’une droite.
Les ensembles sont notés par des lettres, le plus souvent majuscules.
Les éléments de l’ensemble sont alors énumérés entre accolades { } et
séparés par un point-virgule.
Par exemple, l’ensemble des nombres impairs compris (au sens strict)
entre 0 et 14 sera noté L s� u � w� y � {� ss� s u .
Pour dire que le nombre est un élément de l’ensemble , on utilise le
symbole qui se lit « appartient ». On écrit : w� .
Pour dire que n’est pas un élément de , on écrit : z � .
Quand le nombre des éléments d’un ensemble est très grand ou même
infini, on ne peut pas tous les énumérer. Dans ce cas, on donne une
propriété de ses éléments qui permet de tous les retrouver.
Par exemple, @L est la médiatrice du
segment [ ].
Enfin, il existe un seul ensemble qui n’a aucun élément et que l’on appelle
ensemble vide. Il est noté .
Comme exemple d’ensemble vide on peut donner l’ensemble des
personnes qui mesurent plus de m car aucune personne ne mesure plus
de m.
Première partie • 10 Les ensembles • 11 Les ensebles • 11



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Considérons, par exemple, les ensembles L s� u� w� y , et EXERCICES
L s� t� u� v� w� x� y . ? , mais A car t� alors que t� .
1. Trouvez deux exemples d’ensemble vide.
L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble : � ? , et chaque
ensemble est inclus dans lui-même : ? . 2. Écrivez les ensembles suivants en listant entre accolades leurs
éléments.
Attention, les symboles et se trouvent entre un élément et un ensemble
L ����� 6�����6 . alors que les symboles et se trouvent entre deux ensembles.
L .
L ���� ������ �� ���t�������� uu v .
EXERCICES L � � .
L ��� ��� �� t����� �������v
5. On donne les trois ensembles :
L .
L =�>� ?�@�A� B�C�D , L @�B� D�F�G�L , L >� B�D�L� O�S .
L QT Q
Recopiez et complétez par , , ou :
B � � M…K
3. Définir les ensembles suivants en donnant une propriété qui permet de
…M L…L O� D …M
comprendre quels sont ses éléments.
6. On considère les ensembles suivants : L
L s� t� u� v� w� x� y� z� {� sr L
L
L ���� �� � ��� � ���� � ��� � . L t� u� v� w�x� y� z� {
L sx� tv� ut� vr� vz� wx� xv� yt� zr .
Compléter par , , et .
r� � � st � 4. Soit L u� w� x� {� ss et L s � u � y � z� s r .
x� � s� � Complétez par , , P ou Q :

w� z� s� 7. , et désignent les ensembles de l’exercice précédent.
ss� wz� sr � Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :
a) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
b) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
ÉTAPE 2 : SOUS-ENSEMBLES c) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
d) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
e) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à . Si tous les éléments d’un ensemble sont aussi des éléments d’un
f) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à . ensemble , on dit que est un sous-ensemble de ou une partie de .
On écrit ? et on lit « est inclus dans ».
Si n’est pas un sous-ensemble de (c’est-à-dire si a au moins un
élément qui n’appartient pas à ), on écrit A et on lit « n’est pas
inclus dans ».
Les ensembles • 12 Les ensembles • 13 12 • Chapitre 1


57 55
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Considérons, par exemple, les ensembles L s� u� w� y , et EXERCICES
L s� t� u� v� w� x� y . ? , mais A car t� alors que t� .
1. Trouvez deux exemples d’ensemble vide.
L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble : � ? , et chaque
ensemble est inclus dans lui-même : ? . 2. Écrivez les ensembles suivants en listant entre accolades leurs
éléments.
Attention, les symboles et se trouvent entre un élément et un ensemble
L ����� 6�����6 . alors que les s et se trentre deux ensembles.
L .
L ���� ������ �� ���t�������� uu v .
EXERCICES L � � .
L ��� ��� �� t����� �������v
5. On donne les trois ensembles :
L .
L =�>� ?�@�A� B�C�D , L @�B� D�F�G�L , L >� B�D�L� O�S .
L QT Q
Recopiez et complétez par , , ou :
B � � M…K
3. Définir les ensembles suivants en donnant une propriété qui permet de
…M L…L O� D …M
comprendre quels sont ses éléments.
6. On considère les ensembles suivants : L
L s� t� u� v� w� x� y� z� {� sr L
L
L ���� �� � ��� � ���� � ��� � . L t� u� v� w�x� y� z� {
L sx� tv� ut� vr� vz� wx� xv� yt� zr .
Compléter par , , et .
r� � � st � 4. Soit L u� w� x� {� ss et L s � u � y � z� s r .
x� � s� � Complétez par , , P ou Q :

w� z� s� 7. , et désignent les ensembles de l’exercice précédent.
ss� wz� sr � Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :
a) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
b) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
ÉTAPE 2 : SOUS-ENSEMBLES c) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
d) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à .
e) Si un nombre appartient à , alors ce nombre appartient à . Si tous les éléments d’un ensemble sont aussi des éléments d’un
f) Si un e appartient à , alors ce e appartient à . ensemble , on dit que est un sous-ensemble de ou une partie de .
On écrit ? et on lit « est inclus dans ».
Si n’est pas un sous-ensemble de (c’est-à-dire si a au moins un
élément qui n’appartient pas à ), on écrit A et on lit « n’est pas
inclus dans ».
Les ensembles • 12 Les ensembles • 13 Les ensebles • 13


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CHAPITRE 2
PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES
Un énoncé mathématique est une phrases qui a pour but de définir des
objets mathématiques ou bien d’en donner des propriétés.
Voici des exemples d’énoncés :
Le nombre est un entier positif
Il existe un entier naturel plus grand que
Soit x un nombre positif
Posons = L t Fs
L’ensemble des nombres compris (au sens large) entre et est
l’intervalle r� s
est inférieur ou égal à sera noté : tQ w
Certains énoncés sont des affirmations ou des propositions : ce sont les
er e1 et 2 énoncés. D’autres définissent et nomment un nouvel objet : les
e e5 et 6 énoncés.
e eEnfin, il y a des énoncés, comme le 3 ou le 4 , qui indiquent que l’on va
désigner par un certain symbole un objet déjà existant.
Ce sont des notations.
Une proposition mathématique admet une valeur de vérité. Elle est soit
vraie, soit fausse. Les mathématiques reposent sur le principe du tiers
exclu : il est impossible qu’une proposition mathématique soit à la fois
vraie et fausse.
Par exemple, « t E t L v » est une proposition vraie,
« Tous les chats sont gris » est une proposition fausse,
« x est un nombre impair » dépend de la valeur de x. Nous ne pouvons
donc pas décider si cette proposition est vraie ou fausse sans avoir plus
d’informations.


Les ensembles • 14 Propositions mathématiques • 15
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5444
w
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CHAPITRE 2
PROPOSITIONS MATHÉMATIQUES
Un énoncé mathématique est une phrases qui a pour but de définir des
objets mathématiques ou bien d’en donner des propriétés.
Voici des exemples d’énoncés :
Le nombre est un entier positif
Il existe un entier naturel plus grand que
Soit x un nombre positif
Posons = L t Fs
L’ensemble des nombres compris (au sens large) entre et est
l’intervalle r� s
est inférieur ou égal à sera noté : tQ w
Certains énoncés sont des affirmations ou des propositions : ce sont les
er e1 et 2 énoncés. D’autres définissent et nomment un nouvel objet : les
e e5 et 6
e eEnfin, il y a des énoncés, comme le 3 ou le 4 , qui indiquent que l’on va
désigner par un certain symbole un objet déjà existant.
Ce sont des notations.
Une proposition mathématique admet une valeur de vérité. Elle est soit
vraie, soit fausse. Les mathématiques reposent sur le principe du tiers
exclu : il est impossible qu’une proposition mathématique soit à la fois
vraie et fausse.
Par exemple, « t E t L v » est une proposition vraie,
« Tous les chats sont gris » est une proposition fausse,
« x est un nombre impair » dépend de la valeur de x. Nous ne pouvons
donc pas décider si cette proposition est vraie ou fausse sans avoir plus
d’informations.


Les ensembles • 14 Propositions mathématiques • 15 Propositons mathématques • 15
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5444



















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ÉTAPE 1 : ET/OU EXERCICES
Nous pouvons élaborer des énoncés en utilisant les mots du langage 1. Sur le menu du restaurant scolaire, il est écrit : fromage ou yaourt.
courant « ET » et « OU ». Comme ils relient des énoncés, on les appelle Est-il permis de prendre une portion de fromage et un yaourt ?
des connecteurs.
2. Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’option danse
La proposition « mon chien est noir ET le chien de Paul est blanc » est participeront au spectacle de fin d’année.
vraie si je possède un chien noir et si Paul en possède un blanc.
a) Sophie suit les deux options, participera-t-elle au spectacle ?
Elle sera fausse dans tous les autres cas.
b) Les deux phrases suivantes : « tous les élèves qui suivent l’option
théâtre ou l’option danse » et « tous les élèves qui suivent l’option La proposition « Paul pratique la natation OU la musculation » est vraie si
théâtre et tous ceux qui suivent l’option danse » désignent-elles les Paul pratique au moins l’un des deux sports (il peut pratiquer les deux).
mêmes élèves ? Le mot « OU » a un sens inclusif en mathématiques.

3. Un club sportif propose des cours de judo et des cours de karaté. Soit A et B deux ensembles. L'intersection de et de , notée � (se
On note : lit « inter »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à
le groupe des adhérents inscrits au judo. et à .
le groupe des adhérents inscrits au karaté.
le groupe des adhérents inscrits au judo et au karaté.
le groupe des adhérents inscrits au judo ou (au sens inclusif) au
karaté.
le groupe des adhérents inscrits à un seul de ces deux sports.
Farid s’est inscrit uniquement au karaté, Katia uniquement au judo, et
Léo s’est inscrit aux deux cours.
a) De quels groupes , , , ou chacun fait-il partie ?
b) Myriam est dans le groupe . Fait-elle partie du groupe des La réunion de A et B, notée � (se lit « union »), est l'ensemble
adhérents inscrits au judo ? des éléments qui appartiennent soit à soit à , soit aux deux.

4. Un sac contient srr jetons de différentes formes et couleurs. Parmi
ceux-ci, vr sont ronds, xr sont bleus et tw sont ronds et bleus.
Combien y en a-t-il qui sont :
a) Ronds sans être bleus ?
b) Bleus sans être ronds ?
c) Ni rond ni bleu ?

Le mot « ET » est associé à l'intersection de deux ensembles et le mot 5. On considère tous les nombres entiers de à wr compris.
« OU » à la réunion de deux ensembles. Parmi ces nombres, écrire :
L’ensemble A de ceux qui sont multiples de et multiples de t�
L’ensemble B de ceux qui sont carrés parfaits et multiples de {�
L’ensemble C de ceux qui sont carrés parfaits ou multiples de {�
Propositions mathématiques • 16 Propositions mathématiques • 17 16 • Chapitre 2



















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ÉTAPE 1 : ET/OU EXERCICES
Nous pouvons élaborer des énoncés en utilisant les mots du langage 1. Sur le menu du restaurant scolaire, il est écrit : fromage ou yaourt.
courant « ET » et « OU ». Comme ils relient des énoncés, on les appelle Est-il permis de prendre une portion de fromage et un yaourt ?
des connecteurs.
2. Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’option danse
La proposition « mon chien est noir ET le chien de Paul est blanc » est participeront au spectacle de fin d’année.
vraie si je possède un chien noir et si Paul en possède un blanc.
a) Sophie suit les deux options, participera-t-elle au spectacle ?
Elle sera fausse dans tous les autres cas.
b) Les deux phrases suivantes : « tous les élèves qui suivent l’option
théâtre ou l’option danse » et « tous les élèves qui suivent l’ La proposition « Paul pratique la natation OU la musculation » est vraie si
théâtre et tous ceux qui suivent l’option danse » désignent-elles les Paul pratique au moins l’un des deux sports (il peut pratiquer les deux).
mêmes élèves ? Le mot « OU » a un sens inclusif en mathématiques.

3. Un club sportif propose des cours de judo et des cours de karaté. Soit A et B deux ensembles. L'intersection de et de , notée � (se
On note : lit « inter »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à
le groupe des adhérents inscrits au judo. et à .
le groupe des adhérents inscrits au karaté.
le groupe des adhérents inscrits au judo et au karaté.
le groupe des adhérents inscrits au judo ou (au sens inclusif) au
karaté.
le groupe des adhérents inscrits à un seul de ces deux sports.
Farid s’est inscrit uniquement au karaté, Katia uniquement au judo, et
Léo s’est inscrit aux deux cours.
a) De quels groupes , , , ou chacun fait-il partie ?
b) Myriam est dans le groupe . Fait-elle partie du groupe des La réunion de A et B, notée � (se lit « union »), est l'ensemble
adhérents inscrits au judo ? des éléments qui appartiennent soit à soit à , soit aux deux.

4. Un sac contient srr jetons de différentes formes et couleurs. Parmi
ceux-ci, vr sont ronds, xr sont bleus et tw sont ronds et bleus.
Combien y en a-t-il qui sont :
a) Ronds sans être bleus ?
b) Bleus sans être ronds ?
c) Ni rond ni bleu ?

Le mot « ET » est associé à l'intersection de deux ensembles et le mot 5. On considère tous les nombres entiers de à wr compris.
« OU » à la réunion de deux ensembles. Parmi ces nombres, écrire :
L’ensemble A de ceux qui sont multiples de et multiples de t�
L’ensemble B de ceux qui sont carrés parfaits et m de {�
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Propositions mathématiques • 16 Propositions mathématiques • 17 Propositons mathématques • 17
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6. Compléter par l’une des conjonctions : « et », « ou ». EXERCICES
TU L r équivaut à T Lr ……… U Lr .
TU M r équivaut à T Mr U Mr . 7. a) Écrire la liste des carrés des nombres entiers naturels de à .
L srr donc T L sr ……… .
b) Quels sont les nombres dont le carré est pair ? vO T O { donc T Pv ……… T O{ .
Quels sont ceux dont le carré est impair ? ;:Les solutions de T Fv T E s Lr sont ……… .
est un parallélogramme » équivaut à « et sont c) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
parallèles ……… égaux ». : N’importe quel nombre pair inférieur ou égal à a un carré pair. 1
est un trapèze donc ……… . : Certains carrés impairs inférieurs ou égaux à tw sont le carré de 2
nombres pairs.
: Tous les carrés pairs inférieurs ou égaux à sont le carré de 3
nombres pairs. ÉTAPE 2 : LES QUANTIFICATEURS EN MATHÉMATIQUES
: Certains nombres impairs inférieurs ou égaux à ont un carré qui 4
est pair. Considérons l’énoncé « Ls », dépendant de la variable x.
: Il y a des nombres impairs inférieurs ou égaux à dont le carré 5Sans autre précision, cet énoncé peut paraître ambigu.
est pair.
En effet, les phrases suivantes n’ont pas la même signification :
8. Que pensez-vous des énoncés suivants ? « Quel que soit le nombre x, Ls ».
« Il existe un nombre x tel que Ls ». a) Tout nombre entier pair a un carré pair.
« Il existe un unique nombre x tel que Ls ». b) Certains nombres impairs ont un carré pair.
c) Tout carré divisible par est le carré d'un entier divisible par .
Pour exprimer la quantification, c’est-à-dire la quantité d'objets (aucun, d) Il existe des carrés divisibles par qui sont le carré d’un entier
certains, tous) pour lesquels un énoncé est vrai, on utilise souvent en divisible par .
mathématiques, deux expressions « quel que soit » (on utilise aussi « pour
tout ») et « il existe ». Ce sont des quantificateurs. 9. est un point du cercle de centre et de rayon r.
Compléter par « pour tout » ou « il existe ».
Les expressions « pour tout » ou « quel que soit » signifient qu’il n’existe
… appartenant à , L
aucune exception.
… appartenant à ,
… appartenant à , est perpendiculaire à :; Par exemple, l’énoncé « pour tout réel x, Pr » est faux car il existe une
… extérieur au cercle , L tN valeur de x pour laquelle l’énoncé est incorrect. C’est lorsque T Lr .
… extérieur au cercle , P N
L’expression « il existe » signifie que l’on peut trouver au moins un cas
10. Répondre par vrai ou faux en justifiant. (peut-être un seul, mais pas forcément !) pour lequel l’énoncé est vrai.
a) Il existe un nombre x tel que uT F s Lr .
Ainsi, « il existe un réel x tel que T Et O r » est vrai (même si en fait il b) Il existe un unique nombre x tel que uT F s Lr .
existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles T Et O r !).
c) Pour tout x on a LT .
d) Il existe un nombre x tel que uT F s Q w.
e) Pour tout x on a uT F s Q w .
f) Pour tout T Qt , on a uT F s Q w .
Propositions mathématiques • 18 Propositions mathématiques • 19 18 • Chapitre 2
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6. Compléter par l’une des conjonctions : « et », « ou ». EXERCICES
TU L r équivaut à T Lr ……… U Lr .
TU M r équivaut à T Mr ……… U Mr . 7. a) Écrire la liste des carrés des nombres entiers naturels de à .
L srr donc T L sr ……… .
b) Quels sont les nombres dont le carré est pair ? vO T O { donc T Pv ……… T O{ .
Quels sont ceux dont le carré est impair ? ;:Les solutions de T Fv T E s Lr sont ……… .
est un parallélogramme » équivaut à « et sont c) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
parallèles ……… égaux ». : N’importe quel nombre pair inférieur ou égal à a un carré pair. 1
est un trapèze donc ……… . : Certains carrés impairs inférieurs ou égaux à tw sont le carré de 2
nombres pairs.
: Tous les carrés pairs inférieurs ou égaux à sont le carré de 3
nombres pairs. ÉTAPE 2 : LES QUANTIFICATEURS EN MATHÉMATIQUES
: Certains nombres impairs inférieurs ou égaux à ont un carré qui 4
est pair. Considérons l’énoncé « Ls », dépendant de la variable x.
: Il y a des nombres impairs inférieurs ou égaux à dont le carré 5Sans autre précision, cet énoncé peut paraître ambigu.
est pair.
En effet, les phrases suivantes n’ont pas la même signification :
8. Que pensez-vous des énoncés suivants ? « Quel que soit le nombre x, Ls ».
« Il existe un nombre x tel que Ls ». a) Tout nombre entier pair a un carré pair.
« Il existe un unique nombre x tel que Ls ». b) Certains nombres impairs ont un carré pair.
c) Tout carré divisible par est le carré d'un entier divisible par .
Pour exprimer la quantification, c’est-à-dire la quantité d'objets (aucun, d) Il existe des carrés divisibles par qui sont le carré d’un entier
certains, tous) pour lesquels un énoncé est vrai, on utilise souvent en divisible par .
mathématiques, deux expressions « quel que soit » (on utilise aussi « pour
tout ») et « il existe ». Ce sont des quantificateurs. 9. est un point du cercle de centre et de rayon r.
Compléter par « pour tout » ou « il existe ».
Les expressions « pour tout » ou « quel que soit » signifient qu’il n’existe
… appartenant à , L
aucune exception.
… appartenant à ,
… appartenant à , est perpendiculaire à :; Par exemple, l’énoncé « pour tout réel x, Pr » est faux car il existe une
… extérieur au cercle , L tN valeur de x pour laquelle l’énoncé est incorrect. C’est lorsque T Lr .
… r au cercle , P N
L’expression « il existe » signifie que l’on peut trouver au moins un cas
10. Répondre par vrai ou faux en justifiant. (peut-être un seul, mais pas forcément !) pour lequel l’énoncé est vrai.
a) Il existe un nombre x tel que uT F s Lr .
Ainsi, « il existe un réel x tel que T Et O r » est vrai (même si en fait il b) Il existe un unique nombre x tel que uT F s Lr .
existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles T Et O r !).
c) Pour tout x on a LT .
d) Il existe un nombre x tel que uT F s Q w.
e) Pour tout x on a uT F s Q w .
f) Pour tout T Qt , on a uT F s Q w .
Propositions mathématiques • 18 Propositions mathématiques • 19 Propositons mathématques • 19
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11. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. 14. Quelle est la négation des phrases suivantes :
: Pour tout entier naturel , il existe un entier naturel tel que P : « est un multiple de ou un nombre pair » 1
J QI . P : « Tous les lundis, je joue au squash » 2
: Il existe un entier naturel tel que pour tout entier naturel , on P : « Tous les lundis, je joue au squash et je me douche » 3
a J QI . P : « Aucun élève n’a eu la moyenne » 4
P : « Certains aiment les maths » 5
12. Soit et deux sous-ensembles de l’ensemble des nombres entiers P : « Tout entier naturel est pair ou impair » 6
naturels.
P : « Tous les nombres réels sont tels que R r » 7
Compléter par « pour tout », « il existe », et :
P : « Tous les murs de la pièce sont blancs » 8
# L� signifie « … entier naturel , on a J �# » P : « Certains sont chauves » 9
# ?$ signifie « … entier naturel , si J �# , alors J �$ »
# A$ signifie « … J �# tel que J �$ »
ÉTAPE 4 : L’IMPLICATION
ÉTAPE 3 : LA NÉGATION LOGIQUE
La plupart des énoncés mathématiques sont du type « si l’énoncé est
vrai, alors l’énoncé est vrai », bien que cette structure peut parfois être
En mathématiques, la négation d’un énoncé est l’énoncé qui est vrai implicite.
quand P est faux et faux quand est vrai. On nie alors l’énoncé en bloc.
En aucun cas un énoncé mathématique et sa négation ne peuvent être Par exemple, l’énoncé « la somme de deux nombres pairs est paire » peut
simultanément vrais. être réécrit « si x et y sont deux nombres pairs, alors T EU est un nombre
pair ». Inversement, l’énoncé « si c’est un rectangle, alors il a quatre
La négation d’un énoncé commençant par « pour tout … » ou « chaque côtés » peut être réécrit « tout rectangle a quatre côtés ».
… » ou « tous … » doit commencer par « il existe au moins un … ». L’énoncé « s’il pleut, alors je prends mon parapluie » peut être réécrit « à
chaque fois qu’il pleut, je prends mon parapluie ».
La négation d’un énoncé commençant par « il existe au moins un … » doit
commencer par « pour tous … ». Ce type d’énoncé est appelé une implication. Nous disons implique ,
que nous écrivons : . Si et sont deux énoncés mathématiques, la négation de « ET » est
« non OU non ». La négation de « OU » est « non ET non ». Dans une implication du type : , il y a deux parties :
l’énoncé qui est appelé l’hypothèse ou la condition, et,
l’énoncé qui est appelé la conclusion ou la thèse.
EXERCICES
Revenons à notre exemple : « si c’est un rectangle, alors il a quatre côtés »
13. Associer l’énoncé et sa négation parmi les énoncés suivants : que nous avons reformulé « tout rectangle a quatre côtés ». Reformulé, il
paraît évident que c’est un énoncé mathématique. Il peut donc être vrai ou P : « Tous les hommes sont mortels » 1
faux. Il est vrai si tous les rectangles ont quatre côtés. Il ne doit exister P : « Tous les sont immortels » 2
aucune exception. P : « Il existe des hommes immortels » 3
P : « Il existe des hommes mortels » 4
D’une manière générale, l’énoncé « : » est vrai si, à chaque fois que
est vrai, est vrai.
Propositions mathématiques • 20 Propositions mathématiques • 21 20 • Chapitre 2





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11. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. 14. Quelle est la négation des phrases suivantes :
: Pour tout entier naturel , il existe un entier naturel tel que P : « est un multiple de ou un nombre pair » 1
J QI . P : « Tous les lundis, je joue au squash » 2
: Il existe un entier naturel tel que pour tout entier naturel , on P : « Tous les , je joue au squash et je me douche » 3
a J QI . P : « Aucun élève n’a eu la moyenne » 4
P : « Certains aiment les maths » 5
12. Soit et deux sous-ensembles de l’ensemble des nombres entiers P : « Tout entier naturel est pair ou impair » 6
naturels.
P : « Tous les nombres réels sont tels que R r » 7
Compléter par « pour tout », « il existe », et :
P : « Tous les murs de la pièce sont blancs » 8
# L� signifie « … entier naturel , on a J �# » P : « Certains sont chauves » 9
# ?$ signifie « … entier naturel , si J �# , alors J �$ »
# A$ signifie « … J �# tel que J �$ »
ÉTAPE 4 : L’IMPLICATION
ÉTAPE 3 : LA NÉGATION LOGIQUE
La plupart des énoncés mathématiques sont du type « si l’énoncé est
vrai, alors l’énoncé est vrai », bien que cette structure peut parfois être
En mathématiques, la négation d’un énoncé est l’énoncé qui est vrai implicite.
quand P est faux et faux quand est vrai. On nie alors l’énoncé en bloc.
En aucun cas un énoncé mathématique et sa négation ne peuvent être Par exemple, l’énoncé « la somme de deux nombres pairs est paire » peut
simultanément vrais. être réécrit « si x et y sont deux nombres pairs, alors T EU est un nombre
pair ». Inversement, l’énoncé « si c’est un rectangle, alors il a quatre
La négation d’un énoncé commençant par « pour tout … » ou « chaque côtés » peut être réécrit « tout rectangle a quatre côtés ».
… » ou « tous … » doit commencer par « il existe au moins un … ». L’énoncé « s’il pleut, alors je prends mon parapluie » peut être réécrit « à
chaque fois qu’il pleut, je prends mon parapluie ».
La négation d’un énoncé commençant par « il existe au moins un … » doit
commencer par « pour tous … ». Ce type d’énoncé est appelé une implication. Nous disons implique ,
que nous écrivons : . Si et sont deux énoncés mathématiques, la négation de « ET » est
« non OU non ». La négation de « OU » est « non ET non ». Dans une implication du type : , il y a deux parties :
l’énoncé qui est appelé l’hypothèse ou la condition, et,
l’ qui est la conclusion ou la thèse.
EXERCICES
Revenons à notre exemple : « si c’est un rectangle, alors il a quatre côtés »
13. Associer l’énoncé et sa négation parmi les énoncés suivants : que nous avons reformulé « tout rectangle a quatre côtés ». Reformulé, il
paraît évident que c’est un énoncé mathématique. Il peut donc être vrai ou P : « Tous les hommes sont mortels » 1
faux. Il est vrai si tous les rectangles ont quatre côtés. Il ne doit exister P : « Tous les hommes sont immortels » 2
aucune exception. P : « Il existe des hommes immortels » 3
P : « Il existe des hommes mortels » 4
D’une manière générale, l’énoncé « : » est vrai si, à chaque fois que
est vrai, est vrai.
Propositions mathématiques • 20 Propositions mathématiques • 21 Propositons mathématques • 21