Mécanique : éléments de mécanique rationnelle : cours, exercices et corrigés (coll. Matériaux)

Mécanique : éléments de mécanique rationnelle : cours, exercices et corrigés (coll. Matériaux)

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Eléments de mécanique rationnelle est consacré, d'une part, aux éléments de géométrie et cinématique indispensables à l'étude de la mécanique en premier et deuxième cycle, d'autre part, à la partie de la mécanique utilisant les théorèmes généraux, qui correspond à l'enseignement de premier cycle. La deuxième partie, Exercices et problèmes , contient un certain nombre de chapitres regroupant chacun des exercices et problèmes de même type, classés par ordre de difficulté croissante, ainsi qu'un corrigé détaillé et commenté.
Partie 1. Cours de mécanique rationnelle (géométrie, cinématique, dynamique) 1. L'espace euclidien à trois dimensions Définition. Produit scalaire - Produit vectoriel - Produit mixte - Double produit vectoriel - Espace affine associé à E - Fonctions à valeurs vectorielles 2. Courbes planes et gauches Propriétés géométriques intuitives - Définition vectorielle d'une courbe de E et du vecteur tangent - Représentation paramétrique normale d'une courbe gauche - Cas des courbes planes 3. Cinématique et dynamique du point matériel Cinématique du point - Mécanique du point matériel - Cas des trajectoires planes - Mouvement à accélération centrale - Mouvements planétaires 4. Cinématique du solide Les angles d'Euler - Mouvement d'un solide - Composition des mouvements - Mouvement relatif de deux solides en mouvement - Equilibre et mouvement relatifs à la surface de la Terre 5. Mouvement de deux solides en contact. Mouvement plan sur plan Mouvement de deux surfaces rigides en contact - Etude du champ des vitesses d'un solide. Axe instantané de rotation et de translation - Mouvement plan sur plan 6. Principes de la mécanique. Théorèmes généraux et auxiliaires Principes - Définitions - Systèmes matériels - Forces intérieures et extérieures à un système matériel - Théorèmes généraux - Théorèmes auxiliaires - Compléments sur les Principes - Remarques sur les théorèmes généraux 7. Cas des solides Moment cinétique d'un solide par rapport à l'un de ses points - Opérateur d'inertie en Q - Liaisons Géométrie des masses d'un solide - Equilibre d'un solide - Remarques sur les problèmes de dynamique des solides Notes Champ de moments - Torseur - Système de vecteurs glissants Annexes. Rappels de géométrie dans l'espace Perspective cavalière - Quelques théorèmes - Formules fondamentales de la trigonométrie sphérique Partie 2. Exercices et problèmes corrigés 1. Cinématique et dynamique du point matériel 2. Cinématique du solide. Mouvements plan sur plan 3. Géométrie des masses. Mouvement d'inertie 4. Dynamique des systèmes matériels. Cas des solides 5. Statique des solides Appendice Modélisation du contact entre deux solides - Classification des liaisons sans frottements, entre deux solides (S1) et (S2) Unités de mesure Bibliographie - Index

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Ajouté le 01 avril 1997
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EAN13 9782746233799
Langue Français
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collection matériaux
MÉCANIQUE
éléments de mécanique rationnelle
cours, exercices et corrigés
Roger Boudet
Alain Chauvin
HERMES Eléments
de mécanique rationnelle © Hermès, Paris, 1997
Editions Hermès
14, rue Lantiez
75017 Paris
ISBN 2-86601-594-0
ISSN 1158-3509
Catalogage Electre-Bibliographie
Boudet, Roger*Chauvin, Alain
Mécanique - éléments de mécanique rationnelle - Cours, exercices et corrigés. - Paris :
Hermès, 1997. - (Collection matériaux)
ISBN 2-86601-594-0
RAMEAU : mécanique : manuels d'enseignement supérieur
DEWEY : 378-62 : Enseignement supérieur. Mécanique générale
531 : Mécanique classique. Mécanique du solide
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intellectuelle. MÉCANIQUE
éléments de mécanique rationnelle
cours, exercices et corrigés
Roger Boudet
Alain Chauvin
HERMES EXTRAI T DU CATALOGUE GÉNÉRAL
E
Matériaux composites, 4 édition revue et augmentée , Daniel GAY, 1997 .
Mécanique des milieux continus, Roger BOUDET, Alain CHAUVIN, 1996.
Les supraconducteurs, Pascal TlXADOR, 1995.
Rupture par fissuration des structures, Naman RECHO, 1995.
E
Technologie des composites, 2 édition revue et corrigée , Maurice REYNE, 1995.
La cavitation - Truqueurs de bulles, Yves LECOFFRE, 1994.
Technologie des alliages à mémoire de forme - Comportement mécanique et mise en
œuvre, Etienne PATOOR, Marcel BERVEILLER, 1994.
Le contrôle non destructif par ultrasons, Jean PERDUON, 1993.
Les diélectriques - Propriétés diélectriques des matériaux isolants, Roland COELHO,
Bernar d ALADENIZE, 1993 .
E
Les plastiques - Polymères, transformations et applications, 2 éditio n revue et aug­
mentée , Maurice REYNE, 1992.
L'utilisation des matériaux composites, Pierre JACOUINET, 1991.
Comportement mécanique des matériaux - Volume 1, Elasticité et plasticité,
Dominiqu e FRANÇOIS, André PINEAU, André ZAOUI, 1992.
Comportement mécanique des matériaux - Volume 2, Viscoplasticité,
endommagement, de la rupture, mécanique du contact, Dominique FRANÇOIS,
Andr é PINEAU, André ZAOUI, 1993.
Modélisation des structures par éléments finis - Volume 1, Solides élastiques,
Volum e 2, Poutres et plaques, Jean-Louis BATOZ, Gouri DHATT, 1990 .
Modélisation des structures par éléments finis - Volume 3, Coques, Jean-Louis
BATOZ, Gouri DHATT 1992.
Serveu r web : http://www.editions.hermes.fr Table des matières
Avant-propos 9
Partie I. Cours de mécanique rationnelle (géométrie, cinématique, dynamique) 13
Chapitre 1. L'espace euclidien à trois dimensions 15
1.1. Définition de l'espace euclidien E à trois dimensions. Produit scalaire 1
1.2. Produit vectoriel 16
1.3.t mixte7
1.4. Double produit vectoriel8
1.5. Espace affine associé à E
1.6. Fonctions à valeurs vectorielles9
Chapitre 2. Courbes planes et gauches 21
2.1. Propriétés géométriques intuitives
2.2. Définition vectorielle d'une courbe de E et du vecteur tangent 25
2.3. Représentation paramétrique normale d'une courbe gauche7
2.4. Cas des courbes planes 3
Chapitre 3. Cinématique et dynamique du point matériel 3
3.1. Cinématique du point5
3.2. Mécanique du point matériel6
3.3. Cas des trajectoires planes8
3.4. Mouvement à accélération centrale9
3.5. Mouvements planétaires 40
Chapitre 4. Cinématique du solide3
4.1. Les angles d'Euler
4.2. Mouvement d'un solide5
4.3. Composition des mouvements8
4.4. Mouvement relatif de deux solides en mouvement 5
4.5. Equilibre et mouvement relatifs à la surface de la Terre1 6 Eléments de mécanique rationnelle
Chapitre 5 . Mouvement de deux solides en contact. Mouvement plan sur plan 55
5.1. Mouvement de deux surfaces rigides en contact 5
5.2. Etude du champ des vitesses d'un solide. Axe instantané de rotation et de translation 58
5.3. Mouvement plan sur plan 61
Chapitre 6. Principes de la mécanique. Théorèmes généraux et auxiliaires 73
6.1. Principes 7
6.2. Définitions4
6.3. Systèmes matériels5
6.4. Forces intérieures et extérieures à un système matériel 77
6.5. Théorèmes généraux
6.6.s auxiliaires 80
6.7. Compléments sur les Principes1
6.8. Remarques sur les théorèmes généraux2
Chapitre 7. Cas des solides3
7.1. Moment cinétique d'un solide par rapport à l'un de ses points 8
7.2. Opérateur d'inertie en Q 8
7.3. Liaisons5
7.4. Géométrie des masses d'un solide6
7.5. Equilibre d'un solide7
7.6. Remarques sur les problèmes de dynamique des solides 8
Notes 91
N. 1. Champ de moments
N.2. Torseur2
N.3. Système de vecteurs glissants3
Annexes. Rappels de géométrie dans l'espace 9
A. 1. Perspective cavalière5
A.2. Quelques théorèmes6
A.3. Formules fondamentales de la trigonométrie sphérique8
Partie II. Exercices et problèmes corrigés 10
Chapitre 1. Cinématique et dynamique du point matériel3
1.1. Enoncés 10
1.2. Corrigés 11
Chapitre 2. Cinématique du solide. Mouvements plan sur plan 15
2.1. Enoncés 155
2.2. Corrigés 162
Chapitre 3. Géométrie des masses. Mouvement d'inertie 177
3.1. Enoncés 17
3.2. Corrigés 180 Table des matières 7
Chapitre 4 . Dynamique des systèmes matériels. Cas des solides 191
4.1. Enoncés 19
4.2. Corrigés 204
Chapitre 5. Statique des solides 233
5.1. Enoncés
5.2. Corrigés6
Appendice 24
A. Modélisation du contact entre deux solides
B. Classification des liaisons sans frottements, entre deux solides (SI) et (S2) 247
Unités de mesure9
Bibliographie 251
Index3 Avant-propos
Cet ouvrage est destiné aux étudiants des premiers cycles scientifiques des universités,
aux élèves des classes préparatoires aux écoles d'ingénieurs, ainsi qu'aux étudiants des
I.U.T. et B.T.S. Il contient de plus des compléments indispensables aux étudiants de second
cycle spécialisés dans l'étude de la mécanique.
Il ne suppose du lecteur, pour sa partie théorique, que des connaissances mathématiques
correspondant aux sections scientifiques du baccalauréat. La résolution des problèmes de
la deuxième partie fait appel aux notions de calcul différentiel et intégral dispensées en
première année universitaire.
La première partie de l'ouvrage, "Cours de mécanique rationnelle", est consacrée
d'une part aux éléments de géométrie et cinématique indispensables à l'étude de la mécanique
en premier et deuxième cycle, d'autre part à la partie de la mécanique utilisant les théorèmes
généraux, qui correspond à l'enseignement de premier cycle.
La deuxième partie, "Exercices et problèmes" contient un certain nombre de chapitres
regroupant chacun des exercices et problèmes de même type, classés par ordre de difficulté
croissante, ainsi qu'un corrigé détaillé et commenté.
Un préalable à toute l'étude est l'assimilation du premier chapitre du cours, consacré
aux opérations dans l'espace à trois dimensions, et en particulier au double produit vectoriel
et au produit mixte.
La lecture du deuxième chapitre peut être menée en parallèle avec les autres par­
ties de l'ouvrage. Le lecteur peut d'ailleurs sauter le paragraphe 3 sur la représentation
paramétrique normale des courbes gauches (cependant la connaissance de son contenu est
un élément indispensable des études de mécanique de second cycle, et devrait continuer à
faire partie de la culture de tout scientifique).
La lecture du troisième chapitre sur la cinématique et la dynamique du point ne
présente pas de difficulté et doit être immédiatement suivie de la résolution des exercices
et problèmes correspondants de la deuxième partie, chapitre 1.
Sauf si des nécessités de contrôles en cours d'année impose au lecteur de séparer
l'étude de la cinématique de celle de la dynamique, il est recommandé de passer ensuite
directement au sixième chapitre consacré aux principes, et aux théorèmes généraux et
auxiliaires. La concision de ce chapitre ne doit pas diminuer, dans l'esprit du lecteur, son
importance. Tout ce qu'on rencontre par la suite de théorique en mécanique, ne concerne
que des cas particuliers, certes importants mais qui ici, pour ceux relevant du premier cycle,
sont traités en problèmes, et l'approche tout à fait différente de la dynamique qui est faite
en mécanique analytique (étudiée en second cycle) n'ajoute rien de plus à ses fondements,
et n'exonère en rien de la connaissance des théorèmes généraux. 10 Eléments de mécanique rationnelle
Nous nous sommes écartés, dans la présentation des principes, de la tendance actuelle
qui consiste à les faire reposer sur la notion de torseur. D'abord parce que des principes
doivent reposer sur le plus petit ensemble possible de connaissances, et que celle des torseurs
ne leur est pas nécessaire. Ensuite parce que l'assimilation en tout début d'étude des
propriétés des torseurs est en général difficile, et qu'il y a des risques de confusion à
faire reposer des principes, au demeurant très simples, sur des notions complexes. En­
fin parce que l'utilisation des torseurs doit être abandonnée quand on quitte l'étude des
systèmes matériels pour aborder celle des ensembles de points matériels qui sert de base à
la mécanique des milieux continus.
Le lecteur trouvera cependant, à la fin de la première partie, une note sur les torseurs,
dont la lecture est d'ailleurs indispensable pour l'étude de la statique des solides (para­
graphe 1-7-5, Appendice, et chapitre II-5).
L'étude du cas particulier que constitue la dynamique des solides doit être abordée
après celle des théorèmes auxiliaires. La théorie peut se résumer dans les trois premières
pages du septième chapitre, que le lecteur peut étudier en premier lieu, et qui ne présentent
pas de difficulté, mais la résolution des problèmes requiert l'étude de la cinématique du
solide, exposée dans le quatrième chapitre.
Le paragraphe 6 du septième chapitre du cours contient des conseils sur l'application
des théorèmes généraux, que le lecteur aura intérêt à prendre en compte en même temps
qu'il abordera la résolution des exercices et problèmes correspondants du chapitre II-4.
Il convient de souligner que, suite au quasi-abandon dans l'enseignement secondaire
de l'étude de la géométrie dans l'espace, la principale difficulté rencontrée par les étudiants
dans la résolution d'un problème de dynamique d'un solide, résulte de leur incapacité à
situer correctement ce solide dans l'espace. Nous avons placé en annexe de la première
partie le rappel de quelques propriétés de figures dans l'espace et de leur représentation en
perspective à deux dimensions. Il est vivement recommandé au lecteur de lire cette annexe
avant d'aborder l'étude de la cinématique du solide.
L'étude du mouvement de deux surfaces rigides en contact, située au paragraphe 1
du chapitre 1-5, est difficile pour les étudiants, depuis l'abandon de la théorie des surfaces,
qui était abordée autrefois dès la première année universitaire. Le lecteur pourra l'effectuer
en parallèle à la résolution des problèmes des chapitres II-2 et II-4 qui ne font intervenir
que des surfaces simples (plan, sphère). Le paragraphe 2 consacré à l'étude du champ des
vitesses d'un solide est d'une lecture plus facile, mais non indispensable à la résolution des
problèmes de dynamique des solides. Le lecteur trouvera cependant dans ce paragraphe,
et sur un exemple concret, l'établissement des propriétés des torseurs, et a donc intérêt à
le lire. Le paragraphe 3, traitant du mouvement plan sur plan, et qui intéresse surtout les
étudiants des I.U.T., demande une attention soutenue, et peut être évité par les étudiants
qui n'ont pas cette partie de la cinématique (essentielle pour les systèmes à engrenage)
à leur programme d'examen. Elle correspond cependant à un complément appréciable à
l'étude des propriétés de certaines courbes planes.
L'étude des liaisons des systèmes matériels est abordée sur le plan théorique au
paragraphe 1-7-3, où l'on a insisté sur la distinction (dont il faudra se souvenir en mécanique
analytique) à faire entre une liaison de contact parfait et une liaison parfaite, au paragraphe
1-5-1, et sur un plan plus concret dans l'Appendice de la deuxième partie.
Il est recommandé au lecteur qui, après le premier cycle, s'orienterait vers l'étude
de la mécanique, de ne pas abandonner l'approche fondée sur l'utilisation des théorèmes
généraux. Elle est souvent délaissée, après l'établis-sement des théorèmes de mécanique
analytique, qui demandent plus d'investissement sur le plan théorique, mais qui facilitent
beaucoup la résolution des problèmes. Cependant l'usage des théorèmes généraux est une Avant-propos 11
voie certainement plus instructive d'un point de vue cinématique et dynamique, et c'est
parfois la plus aisée sinon la seule, en particulier pour le calcul des forces de liaison. Un
excellent exercice pour le second cycle est de reprendre certains des problèmes du chapitre
II-4, et de les traiter par la mécanique analytique.
L'enseignement de lae a beaucoup souffert de l'abandon, ces dernières
décennies, de la géométrie dans les programmes de mathématiques des enseignements sec­
ondaire et supérieur. Nous nous sommes attachés dans cet ouvrage à pallier, dans la mesure
du possible, les inconvénients de cette évolution, et nous recommandons aux lecteurs qui
désirent continuer l'étude de la mécanique de compléter leurs connaissances en géométrie,
au besoin par la consultation d'ouvrages anciens.
Les auteurs adressent leurs remerciements à MM. L.S. Didier et L. Forget qui ont
élaboré les figures de cet ouvrage. Première partie
Cours de mécanique rationnelle
(Géométrie, cinématique, dynamique) Chapitre 1
L'espace euclidien à trois dimensions
1.1. Définition de l'espace euclidien E à trois dimensions. Produit scalaire
Applications bilinéaires. Soient V et V\ deux espaces vectoriels sur le corps des réels
0
R. On rappelle qu'une application
(î.i)
est dite bilinéaire si elle vérifie
f(X3,b) = f(3,Xb) = Xf(a,b), (A e R)
f(3,b + b) = f(3,b) + f(3,b), f(3+3,b) = f(ab) + f(3,b) (1.2) 1 2 l 2 1 2 u 2
Produit scalaire. On définira l'espace E comme un espace vectoriel sur R, à trois
dimensions, et doté d'un produit scalaire, c'est à dire d'une application
(5,b)eExE -* a.beR (1.3)
dans R, bilinéaire, et
1. symétrique : a.b = 6.2,
2. non dégénérée : 3.x = 0, Vi => 3 = 0.
3. définie positive : 3.3 > 0, Va / 0.
2
On posera pour simplifier 3.3 = a.
Longueur, angle. Le module d'un vecteur 3 est le scalaire
\3\ = y/3.3 (1.4)
Un vecteur de module le nombre 1 sera dit unitaire.
Le module \AÈ\ du vecteur AÈ qui joint deux points A, B d'une droite de E est la
longueur du segment AB. 16 Eléments de mécanique rationnelle
L'angle 0 de deux vecteurs a, 6 est défini par
(1.5)
Deux vecteurs a, 6 sont dits orthogonaux si a.b = 0.
Base orthonormale. Trois vecteurs ny,n2,ïiz orthogonaux deux à deux forment une
base orthonormalisée, ou orthonormale (ou orthonormée), si de plus chacun des vecteurs
fii,n2,n est unitaire. 3
1.2. Produit vectoriel
On définit le produit vectoriel a A b de deux vecteurs a, b de E comme une application
(1.6)
dans E, bilinéaire et vérifiant
1. a Ab = — b A a (d'où a A 6 = 0 si 6 = Aa),
2. a A 6 est orthogonal à a et 6,
è
3. (â*i A a ).(6 i A b ) = (âV&iH^-M ~ ("2-M(«i-2)> 2 2
d'o ù en particulier
2 2 2 2
(a Ab) = ab - (a.b) = (|a||6| sin 0f (1.7)
où 0 est l'angle de a et 6, tel que a.b = \a\\b\ cos 0.
4. Pour toute base orthonormale {i, j , k} on a i A j = ek ou e ne peut être égal qu a
+ 1 ou —1, d'après ce qui précède. Pour une certaine base orthonormale dite de référence
(¿0, jo , &o), choisie une fois pour toute, on a i A j = +fc . 0 0 0
Remarque importante. Le produit vectoriel n'est pas associatif :
(a A 6) A c ^ a A (ò A c) (1.8)
Géométriquement, le produit vectoriel a A b est un vecteur dont la direction est
orthogonale au plan contenant le parallélogramme ABCD tel que AB = a et AD = b, de
sens correspondant à une orientation positive de ce plan pour un observateur (appelé aussi
bonhomme d'Ampère) dirigé suivant le vecteur a A b et regardant ce plan, et de module
l'aire
\a Ab\ = |a||6||sin0|
de ce parallélogramme. Le vecteur a Ab & donc la dimension d'une aire si les modules de
a, 6 ont la dimension d'une longueur.
Nota. D'une façon générale un vecteur peut avoir, suivant son usage, des dimensions
diverses, longueur, aire, vitesse, etc., qu'il ne faut pas confondre, en particulier quand son
module est égal à une unité, de longueur, d'aire, etc.
Un vecteur unitaire, de module le nombre 1, n'a pas de dimension. Tout vecteur de
la forme al\a\ est unitaire quelle que soit la dimension de a. L'espace euclidien à trois dimensions 17
Nota. Dans un espace vectoriel réel R", de dimension n quelconque, doté ou non
d'un produit scalaire, on définit un produit extérieur, ou grassmannien, noté aussi o A i
qui représente en grandeur et direction le parallélogramme orienté construit sur ces deux
vecteurs, et permet de construire à partir de ces parallélogrammes et leurs combinaisons
2 2
linéaires, un espace vectoriel dit des bivecteurs, noté AR", de dimension C = n(n — l)/2 .
Il convient de distinguer ce produit (on peut dire qu'il est extérieur car sa valeur est dans
2 n
l'espace AR qui est distinct de R") du produit vectoriel défini ci-dessus, qui est à valeur
2
dans E. Le produit vectoriel réalise en fait un isomorphisme de l'espace vectoriel AE des
bivecteurs de E sur l'espace vectoriel E lui-même. Il remplace la direction d'un plan par
la direction de droite qui lui est perpendiculaire, et cet isomorphisme est rendu possible
2
parce que pour n = 3 ces deux espaces sont de même dimension, puisque C = 3. Pour
n / 3 il n'est pas possible de définir un produit vectoriel représentant un parallélogramme.
Il est regrettable que la notation a A b attribuée à l'origine au produit vectoriel de E ait
été ensuite réutilisée pour le produit extérieur de E et d'un espace vectoriel quelconque, et
étendu à la définition d'objets, construits sur p vecteurs et non plus seulement sur deux,
qui généralisent la notion de parallélogramme orienté, et qu'on appelle les p-paralléloïdes,
ou p-vecteurs décomposables.
1.3. Produit mixte
Le produit mixte [a, b, c] de trois vecteurs a, b, c est défini par la relation
[a, b, c] = (a A b).c (1.9)
Le produit mixte possède les deux propriétés suivantes :
1. [a, 6, c\ = 0 si et seulement si a, 6, c sont linéairement dépendants.
2. [a,6,c] = [6,c,a] = [c,a,b].
La première propriété résulte de ce que
[a,b, Xa + fib] = X(a A b).a + p.(a A b).b = 0.
et, réciproquement si a et 6 ne sont pas cohneaires on a a A 6 f 0, et si de plus c n est
pas combinaison linéaire de a et 6, comme il n'est pas situé dans le plan vectoriel engendré
par a et b, il n'est pas orthogonal à a A b, qui est orthogonal à ce plan, et on a (a A b).c ^ 0.
Pour démontrer la deuxième on peut écrire
[a + c, b, a + c] = 0 = [a, b, c\ + [c, b, a]
[a, b,c] = (a A b).c = —(c A b).a = +(b A cj.a = [b,c, a]
et on obtient de même [b, c, a] = [c,a,b\.
Géométriquement le produit mixte [a, b, s'interprète comme la mesure du volume
du parallélépipède construit sur les vecteurs a, b, c.
En effet, on peut écrire
\[a,b,c]\ = h\3\\b\\sme\ (1.10)
où h est la longueur de la projection orthogonale de c sur la direction du vecteur a A b, ce 18 Eléments de mécanique rationnelle
qui donne le produit de l'aire du parallélogramme, construit sur les vecteurs a, b, pris pour
base du parallélépipède, par la hauteur de celui-ci.
Figure 1.1.
Base positive. Une base (a,b,c) de E sera dite positive si le produit mixte [a,6,c] est
positif, et négative dans le cas contraire.
Une base orthonormale (nj,^,^ ) positive, sera donc, puisque telle
que , et
(1.11)
1.4. Double produit vectoriel
On va calculer (a A b) A c. Soit x un vecteur quelconque de E. On a
Comme on a il en résulte que
(1.12)
On a, comme confirmation de la non-associativité du produit vectoriel,
1.5. Espace affine associé à E
On définit à partir de l'espace vectoriel E un ensemble de points, qu'on appelle
espace affine associé à E, de la manière suivante. On considère un point particulier 0 de
cet ensemble, appelé origine de l'espace affine, et un vecteur noté OM, le point M étant
appelé l'extrémité de OM. L'ensemble des extrémités M des vecteurs OM, obtenu quand L'espace euclidien à trois dimensions 19
on considère tous les vecteurs de E, constitue cet espace affine, le choix d'une origine O
déterminant une bijection entre E et son espace affine associé.
Changer d'origine revient à considérer un autre point O' et à substituer à OM le
vecteur O'M de telle façon que ÔM = 00' + O'M.
On désignera encore par E l'espace affine associé à E, en désignant ses éléments par
le mot points, l'expression de vecteurs, ou vecteurs libres, étant réservée auxs de
l'espace vectoriel E.
Un vecteur lié est constitué par un vecteur V de l'espace vectoriel E, auquel on a
associé un point M de l'espace affine, appelé origine, ou point d'application, de V. Deux
vecteurs liés qui ne différent que par leur origine sont dits équipollents.
Le moment par rapport à un point Q d'un vecteur lié V d'origine M est le vecteur
QM A V. Ce moment ne change pas si on remplace l'origine M de V par un point M' tel
que MM' soit colinéaire à V puisqu'alors
MM' AV = 0 => QM' A V = (QM + MM') A V = QM A V
et cette invariance du moment est vérifiée quel que soit le point Q. On dit que V glisse
sur sa ligne d'action, qui est donc la droite passant par M de direction celle de V. S'il n'y
a pas d'inconvénient à ce que ce glissement s'effectue, on dit que V est un vecteur glissant.
La résultante d'un ensemble de vecteurs Vi glissants dont les lignes d'action concourent
toutes en un point I est le vecteur lié égal à la somme des Vi, d'origine /.
Repère de E. La donnée d'une origine O et d'une base (a,b,c) de l'espace vectoriel E
constitue un repère de l'espace affine E et sera noté (0,a,b,c).
Une droite D passant par un point M et colinéaire à un vecteur u sera notée (M;u). 0 0
C'est l'ensemble des points M vérifiant
ÔÂ? = 0~M + Au, \€R (1.13) 0
où A parcourt l'ensemble R des réels.
Le paramètre A a la dimension d'une longueur si le vecteur u est unitaire. Notons
que le sens de u donne une orientation naturelle à la droite D.
Le plan passant par un point M contenant deux droites (Mo;û), (M;v), non 0 0
colinéaires, sera noté (Mo;u,v). L'ordre dans lequel on considère les vecteurs du couple
(u, v) donne une orientation naturelle à ce plan.
1.6. Fonctions à valeurs vectorielles
Considérons une application
F-. uei -y = F(u)e £ (1.14)
où / est l'ensemble R des réels, ou un intervalle de R.
Pour définir une telle fonction F à valeurs dans E, on se donne pratiquement une
base (i,j,k) de E (en général on la prend orthonormale pour la facilité des calculs, mais
ce n'est pas nécessaire), dans laquelle 20 Eléments de mécanique rationnelle
(1.15)
et trois fonctions à valeurs scalaires
(1.16)
Dérivée vectorielle. Le vecteur
(1.17)
où AV = F(u + Au) — F(u), s'il existe (il faut et il suffit pour cela que chacune des
fonctions f,g, h soit dérivable), est la dérivée de V par rapport à u.
Si V = F(u), U = G(u), les propriétés de bilinéarité des produits scalaire et vectoriel
permettent d'écrire
(1.18)
(Prendre garde de respecter l'ordre des facteurs dans la dérivation du produit vectoriel). Chapitre 2
Courbes planes et gauches
2.1 . Propriétés géométriques intuitives
On peut imaginer une courbe C de E comme l'ensemble des positions M(t) successives
d'un point mobile de E. Le paramètre qui définit la position du point M de la courbe est
alors le temps t.
Représentation paramétrique normale. Mais on peut utiliser un autre paramètre pour
définir la position du point M, indépendamment de la façon dont M parcourt C dans le
temps.
Imaginons qu'on déroule la courbe C de façon à l'appliquer, sans étirement ni com­
pression, sur une droite x'x, chacun des points M de C venant en coïncidence avec un point
P de x'x. Si M est un point particulier de C et P son homologue sur x'x, la longueur s 0 0
du segment PP sera appelée l'abscisse curviligne de Mo sur C. 0
Le scalaire s est en quelque sorte la longueur du chemin parcouru sur C par M depuis
son passage en M. Au sens de parcours de M sur C correspond une variation de s dans 0
le sens croissant. Changer le sens de parcours sur C reviendrait à changer le nombre s en
—s.
Figur e 2.1.
Tangente en M à C. Soit M un point de C, d'abscisse curviligne s, et M' un point de
C voisin de M, d'abscisse curviligne s'. La droite L passant par les points M et M' est
appelée une sécante en M à C. 22 Eléments de mécanique rationnelle
Faisons tendre M' vers M et soit D la droite qui est la position limite de L. D est
appelée la tangente en M à C.
Supposons M' consécutif à M dans le parcours de C correspondant à la variation
croissante de s, c'est-à-dire tel que As = s' — s > 0, et convenons d'orienter positivement
L de M vers M'. Il en résulte, à la limite, une orientation de D que l'on dira positive
pour le sens de parcours de C choisi. On peut aussi imaginer que D est orientée par le
parcours sur D d'un point mobile parcourant C dans ce sens choisi, et qui parvenu en M
continuerait son chemin sur D. Ainsi le changement de sens de parcours de C entraîne le
changement de l'orientation de la tangente en chaque point.
La direction de la droite D, ainsi orientée, pourra être caractérisée par un vecteur
unitaire t, dit vecteur-tangente en M à C, et ona ainsi noter la droite orientée D
par D = (M;t).
Tout plan passant par la droite D est dit tangent en M à C.
Normales en M à C. Toute droite passant par M et orthogonale à la tangente D en M
à C est dite une normale en M à C. Toutes les normales en M à C sont contenues dans
un plan appelé plan normal.
Ainsi, la courbe C admet en M une seule droite tangente et une infinité de normales,
et, corrélativement, un seul plan normal et une infinité de plans tangents.
Une question se pose. Parmi toutes ces normales en M à C, n'y en a-t-il pas
une, parmi tous ces plans tangents n'y en a-t-il pas un, qui joue respectivement un rôle
privilégié ?
Figur e 2.2 .
Cas des courbes planes. Si la courbe C est contenue dans un plan P, il existe une
normale en M qui est remarquable : c'est la droite N orthogonale à D qui est située dans
P.
Soit D' = (M'; ? ) la tangente en M' à C et N' la normale en M' qui se trouve dans
P. Sauf si C se comporte au voisinage de M comme un segment de droite, les droites D
et D', donc aussi les droites N et N' qui leur sont respectivement perpendiculaires dans
le plan P, font un angle Act non nul. Comme N et N' sont dans un même plan, elles se
coupent alors nécessairement en un point J. La limite de J quand M' tend vers M est
un point I de N qu'on appelle le centre de courbure en M à C. Le point J, et donc sa Courbes planes et gauches 23
limite /, se trouvent du même côté que M' par rapport à la droite D, c'est à dire dans la
concavité de la courbe.
Le cercle de centre / passant par M admet aussi la droite D comme tangente. Il est
appelé cercle oscillateur (ce charmant qualificatif a été tiré du verbe latin "osculari" qui
veut dire "donner un baiser"). On démontre en effet que, de tous les cercles tangents en
M à la courbe C c'est celui qui a avec C le contact le plus étroit.
Menons par un point arbitraire 0 des vecteurs Om et Om' équipollents aux vecteurs
unitaires t et P tangents en M et M' à C. Les points m et m' sont sur un cercle de centre
1
0 de rayon l'unité, puisque ces vecteurs sont unitaires. Posons A< = t — t . Le scalaire \ At\
n'est autre que la longueur de la corde qui sous-tend l'arc mm', d'extrémités m et m', de
ce cercle et dont la mesure en radians est Aa. Le vecteur
(2.1)
obtenu quand on fait tendre M' vers M et donc m' vers m, est tangent en m à ce cercle
et donc, puisque orthogonal à son rayon Om, c'est-à-dire à t, parallèle à la droite N. De
plus il est unitaire, car, d'une part, le vecteur et donc le vecteur qui est sa limite, est
unitaire, et, d'autre part, parce que le rapport tend vers l'unité, d'après une propriété
générale sur le rapport de la longueur d'un arc sur celle de la corde qui le sous-tend, qui
sera établie plus tard.
Figur e 2.3.
Le scalaire
(2.2)
est appelé la courbure en M de C. Il est d'autant plus faible que C se comporte au
voisinage du point M comme un segment de droite. Son inverse R a la dimension d'une
longueur car As a la dimension d'une longueur et Aa, étant un angle, n'a pas de dimension.
Le scalaire R est appelé le rayon de courbure en M de C. Par convention il est pris
positif, ce qui revient à donner à A a le signe de l'accroissement As de s. On démontrera
qu'il est égal au rayon \IM\ du cercle osculateur. 24 Eléments de mécanique rationnelle
Il résulte de cette convention que n ne change pas de sens quand on change le sens de
parcours de M sur C. En effet, alors t et P deviennent — t et —?, s est changé en —s, As
et donc Aa sont changés en —As et -Aa . On voit sur (2.1) et (2.2) que n et 1/R restent
inchangés. La conséquence géométrique est que n est toujours pointé vers la concavité de
la courbe au point Af, indépendamment du sens de parcours choisi.
Cas des courbes gauches. Si la courbe C est gauche, c'est-à-dire non contenue dans un
1 1
plan, les droites D = (M;t) et D = (M;?), tangentes en deux points voisins M et M',
ne sont pas contenues dans un même plan. Elles n'ont donc pas de point commun. On ne
peut donc définir un centre de courbure comme on l'a fait précédemment. Cependant on
peut encore considérer l'angle Aa des droites D et D' et les points m et m', construits de
la même façon que précédemment, à ceci près qu'on peut dire d'eux qu'il sont situés, non
pas sur un cercle, mais sur une sphère de centre O de rayon l'unité, et que l'arc mm' est
non pas un arc de cercle, mais l'arc d'une courbe sphérique T (la courbe F, ensemble des
points m quand M parcourt C, est l'indicatrice sphérique de C), qui n'est plus contenu
dans un plan.
Le vecteur unitaire n, défini comme précédemment par la relation (2.1), (on peut
vérifier que le rapport tend encore vers l'unité) est appelé le vecteur-normale
prinA Q
cipale. Il conserve le même sens quand on change le sens de parcours de C. La droite
N = (M; n) est appelée la normale principale.
Le scalaire \/R défini comme précédemment par la relation (2.2), est encore appelé
la courbure en M de C, et R est encore appelé le rayon de courbure, bien qu'il ne soit
plus égal au rayon d'un cercle osculateur qui ne peut plus être défini. Le point / tel que
01 = OM + Rn est encore appelé le centre de courbure de C au point M.
Le plan P = (M;£,n), passant par M et contenant la tangente D et la normale
principale N en M h C est appelé le plan osculateur. On démontre en effet que de tous
les plans tangents en M à C, c'est celui qui a avec C le contact le plus étroit.
Quand la courbe C est contenue dans un plan, il résulte de ce qui précède que ce plan
est le plan osculateur en tout point M de la courbe. En quelque sorte, le plan osculateur
en un point M d'une courbe gauche tient, au voisinage de ce point, le même rôle que le
plan qui contient unee quand cette courbe est plane.
Figure 2.4.
Binormale. Torsion. Le vecteur unitaire b = t A n, orthogonal au plan osculateur, est
appelé vecteur-binormale. Quand on change le sens de parcours de C, b change de sens,
puisque t, mais non pas n, change de sens. Notons que l'orientation de b dépend de la
convention adoptée pour le sens d'un vecteur défini par un produit vectoriel.