A propos de la cohomologie du deuxieme groupe stabilisateur de Morava application aux calculs de pi LK V et du groupe

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
A propos de la cohomologie du deuxieme groupe stabilisateur de Morava ; application aux calculs de pi?(LK(2)V (0)) et du groupe Pic2 de Hopkins. Nasko Karamanov 1er fevrier 2006

• theorie de lubin


• calcul de h1


• id ?


• lies aux proprietes cohomologiques du groupe stabilisateur de morava sn


• methode de construction


• groupe d'automorphismes de la loi de groupe formel


• loi de groupe formel

Sujets

• Première
• Evanston
• Munster
• Northwestern University

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
• Date de parution: 01 février 2006
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

` Aproposdelacohomologiedudeuxi`eme groupe stabilisateur de Morava ; application aux calculs deπ ∗ (L K(2) V(0)) et du groupe P ic 2 de Hopkins.

Nasko Karamanov

1 er ´fverier200

6

Remerciements

Jetiensaremerciertoutd’abordmondirecteurdethe`se,Hans-Werner ` Henn,pourm’avoirintroduitdanslemondedelatopologiealg´ebrique.Les rendez-vousau316,aucoursdesquelsiln’apasme´nag´esontemps,m’ont e´norm´ementappris.Lesrepasetlesbie`resbuesensemblen’enontpasgaˆche´ le charme. Bi sakal da i se zablagodaram na mojata familija. Bez nejzi- nata podrxka rezultatite ne bi bile ovde. Jeremercielesmembresdujuryd’avoiraccepte´deconsacrerdeleur tempspr´ecieux`alalecturedemontravail.J’adressee´galementmesremer- ciements`aMarkMahowaldpouravoiept´ed’ˆetrerapporteurexterne. r acc I would like to thanks Paul Goerss and Mark Mahowald for inviting me for one month at Northwestern University in Evanston, and also Tilman Bauer andWolfgangLu¨ckforinvitingmethreemonthsinM¨unster.Wehadvery intersting and fruitfull discutions. Lescinqcourageuxquiontpartag´emonbureaupendantcesann´ees,tous diff´erentslesunsdesautres,m’ontapport´eplusquejen’auraispul’imaginer, etparmicelabeaucoupdesavoirsurlalanguefran¸caise,surless´erieste´l´es, surlesjeux,surlebridgeetsurlesblaguespastr`esorthodoxes. J’aipartage´beaucoupdemomentsagr´eablesetdivertissantsavecmes coll`egues. Mesamis´etaientla`autantpourlesoutienquepourlessoirees. ´ Je remercie tous ceux qui se reconnaˆıtront.

1

3

2

des

mati`eres

1

Table

Introduction

5

Premi`ereapplication:surlasuitespectrale H ∗ (G 1 2 ;E 2∗ /3) 5.1 La suite spectraleE. . . . . . . . . . . . 5.2 Calcul deE 2 1,0 . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.2.1Etudedeladiff´erentielleE 0 1 ,0 →E 1 1, ´ elleE 1,0 E 2 5.2.2Etudedeladiffe´renti 1 → 1 , 0 5.2.3 La suite spectraleE. . . . . . . . 5.2.4 Modification deb 1 . . . . . . . . . 5.2.5E 1 2 ,0 . . . . . . .. . . . . . . . . .

qui converge vers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 40 41 42 47 48 50 53

4

31 31 33

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. . . .

. . . .

. . . .

. .

. . . . . .

Lare´solutionGHMRetlemorphisme∂ 2 3.1 Construction de la r´ l tion . . . . . . . . . . . . . eso u 3.1.1Me´thodedelaconstruction......... 3.1.2Premie`re´etape:lemorphisme∂ 0 :C 0 →Z 3 3.1.3Deuxi`eme´etape:lemorphisme∂ 1 :C 1 →C 0 3.1.4Troisiemee´tape:lemorphisme∂ 2 :C 2 →C 1 ` 3.2 Une formule pourn 1 . . . . . . .. . . . . . . . . .

L’action deG 2 surE 2∗ /3 4.1M´ethodedecalculdel’action 4.2 Casn= 2 etp . . . . .= 3

.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2

Pre´requis 2.1Lathe´oriedeLubinetTate... 2.2 Le groupe stabilisateur de Morava 2.2.1Propri´et´esge´ne´ralesdeG n 2.2.2 Le groupeG 2 pourp= 3 . 2.2.3Lese´l´ementsa,b,cetd. 2.2.4 Les sous-groupesKetK 0

. . . . . .

19 19 19 20 20 24 28

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8 8 10 10 12 13 15

4

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6

7

Deuxi`emeapplication:legroupeP ic 2 6.1D´efinitionetr´esultatsconnus.... 6.2 Calcul deH 1 (G 2 ;W[[u 1 ]] × ) . . . . . . 6.2.1 Calcul deH 1 (G 2 1 ;U 1 ) . . . . . 6.2.2Constructiondel’e´l´t emenη. 6.2.3 Calcul deH 1 (G 1 2 ;W[[u 1 ]] ×  .) .

Analyseete´valuationde∂ 2 7.1 Analyse de∂ 2 . . . . . . . . . . 7.1.1 Approximation dexety 7.2 Evaluation de∂ 2 . . . . . . . . 7.2.1 Formule pour∂ 2 (u k  .) .

3

. . . .

. . . .

. . . .

de . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

Hopkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

55 55 56 57 61 66

69 69 70 77 80

Chapitre

1

Introduction

SoitE ∗ ´eeng´ieees´liralacolaL.dnoitasiunetirde´hoelogoh’moduoBelefis parrapport`aE ∗ est un foncteurL E pectresdoriedessalac´tgeed-ellesna meˆmemunid’unetransformationnaturelleλ:X→L E Xterminale parmi lesE ∗ ontr´equeecneoB.sefisumadl-qu´ealivL E peuotruoethte´roieexistE ∗ . Soitpee´xfireitemprunK(n) lanme-i`eKaravedoMpaeplOl.ren-orieth´e quec’estuneth´eoriecohomologiquepe´riodiquemultiplicativedontl’anneau des coefficients estK(n) ∗ ∼ = F p [v n  v n −1 ] avec|v n |= 2(p n −1). La loi de groupe formelassocie´eestlaloideHondaH n de hauteurn. Les foncteursL K(n) jouentunrˆolte`rsemioptrnadtslanatacgo´eehri-o motopique stable des complexes finispeffet, il existe une tour de-locaux. En foncteurs de localisation

∙ ∙ ∙ →L n →L n−1  ∙ ∙→ ∙

avecL n =L K(0)∨∙∙∙∨K(n) et des transformations naturellesid→L n tels que pour tout spectre finip-local on a

X'holim n L n X.

Deplus,onauncarre´h-cart´esien(homotopypullback)

L n X ↓ L n−1 X

→

→

L K(n) X ↓ L n−1 L K(n) X

Les foncteursL K(n) est´hocolomoqugie´ilxuasporpe´irsontrguoseudep stabilisateur de MoravaS n qui est le groupe d’automorphismes de la loi de groupe formel de Honda. Ce groupe agit sur le spectre Lubin-TateE n de coefficients E n∗ =W[[u 1 ∙ ∙ ∙ u n−1 ]][u u −1 ]

4

o`uWest l’anneau des vecteurs de Witt surF p n euatern´´esgle,sru i sont en d ´ 0 etur´endegeste−2. egre L’action deS n se prolonge en une action du groupe

G n =S n oGal(F p n /F p )

et on a une suite spectrale

E 2 s,t =H s (G n ; (E n ) t )⇒π t−s L K(n) S 0

Le foncteurL 1 , tout commeL 2 , pourp >3 sont bien compris surtout de point de vue calculatoire [21]. Le casp= 3 etn= 2 est plus difficile. Dans ce cas la dimension cohomologique deG 2 est infinie donc il n’existe pasder´esolutionfinieprojectiveduG 2 -module trivialZ 3 . Par contre, la di- mension cohomologique virtuelle est 4, donc il existe un sous groupe d’indice finidontladimensioncohomologiqueest4.Donconpourraite´ventuellement construireunere´solutiondeZ 3 par des modules de permutations sur des sous-groupes finis deG 2 . Le groupeG 2 contient un sous-groupeG 2 1 tel que G 2 = ∼ G 1 2 ×Z 3 .

Ilsuffitdoncdeconstruireunere´solutionpourleG 2 1 -module trivialZ 3 . Une teller´esolutionae´te´construiteparGoerss,Henn,MahowaldetRezkdans [7] dont l’une des formes est

∂ 1 0−→C 3 − ∂ 3 →C 2 − ∂ 2 →C 1 −→C 0 − ∂ 0 →Z 3 −→0

ou ` C 0 =C 3 =Z 3 [[G 1 2 ]]⊗ Z 3 [G 24 ] Z 3 C 1 =C 2 =Z 3 [[G 2 1 ]]⊗ Z 3 [SD 16 ] χ t` e ou`G 24 etSD 16 sont des sous-groupes finis deG 2 1 etχest un certain carac er du groupeSD 16 . Cetter´esolutionestl’inspirationprincipaledecetravail.Ellepermet d’e´tudierlacat´egorieKeri`ueeqthlaor´ehcei-or-loc(2)u’enlademenauart matique. Pour toutG 1 2 -moduleMolesioutncnostontiursenuetiua`aptrriedal´r spectrale Ext t Z 3 [[G 1 2 ]] (C s ;M) =⇒H s+t (G 1 2 ;M) `seulesla0-ie`meligneetles0-i`emeet3-`emecolonnessontnonnulles. ou La construction de GHMR ne donne pas une formule explicite des mor- phismesdelare´solutiondoncdesdiff´erentiellesdelasuitespectrale.Un projet de Mahowald et Rezk [17] et de Mark Behrens [1] est d’interpreter

5

les morphismes en terme de courbes elliptiques. De ce point de vue seul le morphisme∂ 1 est bien compris. Lapartiecrucialedecettethe`seestladescriptiondesmorphismes.Pour cecionpre´senteuneautrem´ethodedeconstructiondelare´solutionGHMR. Elleutiliselesco-invariantsparrapportsa`certainssous-groupesdeG 2 bien choisis. On obtient une description explicite de∂ 1 , le morphisme∂ 0 ´ttena l’augmentation standard. Le morphismes∂ 2 est le plus difficile. On donne une approximation de∂ 2 qui est suffisante pour nos calculs. Lapremi`ereapplicationestsurlacohomologiedeG 2 1 `acoefficseitndsna E 2∗ V(0) =F 9 [[u 1 ]][u u −1 uo`]V(0) est le spectre de Moore pour le premier 3.C’estaussiladeuxie`mepagedelasuitespectraledeAdams-Novikovqui converge versπ ∗ (L K(2) Va]61[dlwahoMal.cualucedetcnpmrolui’’d`o0)),( traduitlescalculsdeShimomura[22]entermedelar´esolutionGHMR.Notre me´thodeestind´ependantedecelledeShimomuraquiutiliselesme´thodes classiquesdelath´eoriechromatique. Ladeuxie`meapplicationestlecalculdugroupP ic 2 alg de Hopkins. Rappel- lons qu’un spectreK(n)-localXest inversible s’il existe un spectreK(n)-local Ytel que L K(n) (X∧Y) =L K(n) S 0 . AlorsP ic n ernvblsictpesireepuossedtsergeltresiedespecac´tgeroseadsnal K(nenpeougrcedeceantropmi’L.xuacol-tre-etaipie´omot’dohroeihte´) marqueeparHopkins.Desr´esultatsdeHopkins,MahowaldetSadofsky ´ montrent que ∼ = Z 2 ×Z/2×Z/4 [13] = ∼ Z p ×Z/(2p−2) [13] = ∼ Z p 2 ×Z/2(p 2 −H[poiksn)1i´e],nonpubl

p= 2 p >2 p >3

P ic 1 P ic 1 P ic 2

Le groupeP ic n gla lecaeldssrbinievedesgoriat´eeeltsodsmesulougrdepe E n∗ [[G n ]]-modules profinis. Pour toutnon a un morphisme

ε:P ic n →H 1 (G 1 2 ;W F pn [[u 1  u 2 ∙ ∙ ∙ u n−1 ]] × )

ou`legroupe`adroiteestunsous-groupedeP ic la n g d’indice 2. Dans le cas qui nousint´eresse,n= 2 etp= 3, le noyau deεsetruseuaaplrnie´rmte´etdes de [7]. Notredeuxie`mere´sultatprincipalestleth´eore`mesuivant The´or`eme1.0.1.H 1 (G 1 2 ;W F 9 [[u 1 ]] × ) ∼ = Z 3 2 ×Z/8

Lepre´senttexteestorganise´commesuit:Dansledeuxi`emechapitreon faitunrappeldelath´eoriedede´formationsdesloisdegroupesformelsde

6

Lubin-Tate,ond´ecritlastructuredugroupestabilisateurdeMoravaetde certainsdesessous-groupes.Letroisi`emechapitretraiteende´taillaconstruc- tiondelar´esolution.Cetteconstructiondiff`eredecellede[7]etpermetde donner une approximation du morphisme∂ 2 nD.qeaunalsemectri`treohapi de´critl’actiondeG 2 sur l’anneau de Lubin-Tate modulo une certaine filtra- tion.Lasuitespectralementionn´eeci-dessusestd´ecritedanslechapitrecinq, ou`onfait´egalementlecalculsurlacohomologieduspectredeMoore.Le calculdelapartiealg´ebriquedugroupedePicardestfaitdanslechapitre6. L’approximationetl’e´valuationd´etaill´eedumorphismeC 2 →C 1 sont faites dans le dernier chapitre.

7