A propos de la cohomologie du deuxieme groupe stabilisateur de Morava application aux calculs de pi LK V et du groupe
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Niveau: Secondaire, Lycée, PremièreA propos de la cohomologie du deuxieme groupe stabilisateur de Morava ; application aux calculs de pi?(LK(2)V (0)) et du groupe Pic2 de Hopkins. Nasko Karamanov 1er fevrier 2006 theorie de lubin calcul de h1 id ? lies aux proprietes cohomologiques du groupe stabilisateur de morava sn methode de construction groupe d'automorphismes de la loi de groupe formel loi de groupe formel
Voir
` Aproposdelacohomologiedudeuxi`eme groupe stabilisateur de Morava ; application aux calculs deπ∗(LK(2)V(0)) et du groupe P ic2de Hopkins.
Nasko Karamanov
1er´fverier200
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Remerciements
Jetiensaremerciertoutd’abordmondirecteurdethe`se,Hans-Werner ` Henn,pourm’avoirintroduitdanslemondedelatopologiealg´ebrique.Les rendez-vousau316,aucoursdesquelsiln’apasme´nag´esontemps,m’ont e´norm´ementappris.Lesrepasetlesbie`resbuesensemblen’enontpasgaˆche´ le charme. Bi sakal da i se zablagodaram na mojata familija. Bez nejzi-nata podrxka rezultatite ne bi bile ovde. Jeremercielesmembresdujuryd’avoiraccepte´deconsacrerdeleur tempspr´ecieux`alalecturedemontravail.J’adressee´galementmesremer-ciements`aMarkMahowaldpouravoiept´ed’ˆetrerapporteurexterne. r acc I would like to thanks Paul Goerss and Mark Mahowald for inviting me for one month at Northwestern University in Evanston, and also Tilman Bauer andWolfgangLu¨ckforinvitingmethreemonthsinM¨unster.Wehadvery intersting and fruitfull discutions. Lescinqcourageuxquiontpartag´emonbureaupendantcesann´ees,tous diff´erentslesunsdesautres,m’ontapport´eplusquejen’auraispul’imaginer, etparmicelabeaucoupdesavoirsurlalanguefran¸caise,surless´erieste´l´es, surlesjeux,surlebridgeetsurlesblaguespastr`esorthodoxes. J’aipartage´beaucoupdemomentsagr´eablesetdivertissantsavecmes coll`egues. Mesamis´etaientla`autantpourlesoutienquepourlessoirees. ´ Je remercie tous ceux qui se reconnaˆıtront.
1
3
2
des
mati`eres
1
Table
Introduction
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Premi`ereapplication:surlasuitespectrale H∗(G12;E2∗/3) 5.1 La suite spectraleE. . . . . . . . . . . . 5.2 Calcul deE21,0. . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.2.1Etudedeladiff´erentielleE01,0→E11, ´elleE1,0E2 5.2.2Etudedeladiffe´renti1→1, 0 5.2.3 La suite spectraleE. . . . . . . . 5.2.4 Modification deb1. . . . . . . . . 5.2.5E12,0. . . . . . .. . . . . . . . . .
qui converge vers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 40 41 42 47 48 50 53
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Lare´solutionGHMRetlemorphisme∂2 3.1 Construction de la r´ l tion . . . . . . . . . . . . . eso u 3.1.1Me´thodedelaconstruction......... 3.1.2Premie`re´etape:lemorphisme∂0:C0→Z3 3.1.3Deuxi`eme´etape:lemorphisme∂1:C1→C0 3.1.4Troisiemee´tape:lemorphisme∂2:C2→C1 ` 3.2 Une formule pourn1. . . . . . .. . . . . . . . . .
L’action deG2surE2∗/3 4.1M´ethodedecalculdel’action 4.2 Casn= 2 etp . . . . .= 3
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Pre´requis 2.1Lathe´oriedeLubinetTate... 2.2 Le groupe stabilisateur de Morava 2.2.1Propri´et´esge´ne´ralesdeGn 2.2.2 Le groupeG2pourp= 3 . 2.2.3Lese´l´ementsa,b,cetd. 2.2.4 Les sous-groupesKetK0
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Deuxi`emeapplication:legroupeP ic2 6.1D´efinitionetr´esultatsconnus.... 6.2 Calcul deH1(G2;W[[u1]]×) . . . . . . 6.2.1 Calcul deH1(G21;U1) . . . . . 6.2.2Constructiondel’e´l´t emenη. 6.2.3 Calcul deH1(G12;W[[u1]]× .) .
Analyseete´valuationde∂2 7.1 Analyse de∂2. . . . . . . . . . 7.1.1 Approximation dexety 7.2 Evaluation de∂2. . . . . . . . 7.2.1 Formule pour∂2(uk .) .
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de . . . . . . . . . .
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Hopkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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55 55 56 57 61 66
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Chapitre
1
Introduction
SoitE∗´eeng´ieees´liralacolaL.dnoitasiunetirde´hoelogoh’moduoBelefis parrapport`aE∗est un foncteurLEpectresdoriedessalac´tgeed-ellesna meˆmemunid’unetransformationnaturelleλ:X→LEXterminale parmi lesE∗ontr´equeecneoB.sefisumadl-qu´ealivLEpeuotruoethte´roieexistE∗. Soitpee´xfireitemprunK(n) lanme-i`eKaravedoMpaeplOl.ren-orieth´e quec’estuneth´eoriecohomologiquepe´riodiquemultiplicativedontl’anneau des coefficients estK(n)∗∼=Fp[vn vn−1] avec|vn|= 2(pn−1). La loi de groupe formelassocie´eestlaloideHondaHnde hauteurn. Les foncteursLK(n)jouentunrˆolte`rsemioptrnadtslanatacgo´eehri-o motopique stable des complexes finispeffet, il existe une tour de-locaux. En foncteurs de localisation
∙ ∙ ∙ →Ln→Ln−1 ∙ ∙→ ∙
avecLn=LK(0)∨∙∙∙∨K(n)et des transformations naturellesid→Lntels que pour tout spectre finip-local on a
X'holimnLnX.
Deplus,onauncarre´h-cart´esien(homotopypullback)
LnX ↓ Ln−1X
→
→
LK(n)X ↓ Ln−1LK(n)X
Les foncteursLK(n)est´hocolomoqugie´ilxuasporpe´irsontrguoseudep stabilisateur de MoravaSnqui est le groupe d’automorphismes de la loi de groupe formel de Honda. Ce groupe agit sur le spectre Lubin-TateEnde coefficients En∗=W[[u1∙ ∙ ∙ un−1]][u u−1]
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o`uWest l’anneau des vecteurs de Witt surFpneuatern´´esgle,sruisont en d ´ 0 etur´endegeste−2. egre L’action deSnse prolonge en une action du groupe
Gn=SnoGal(Fpn/Fp)
et on a une suite spectrale
E2s,t=Hs(Gn; (En)t)⇒πt−sLK(n)S0
Le foncteurL1, tout commeL2, pourp >3 sont bien compris surtout de point de vue calculatoire [21]. Le casp= 3 etn= 2 est plus difficile. Dans ce cas la dimension cohomologique deG2est infinie donc il n’existe pasder´esolutionfinieprojectiveduG2-module trivialZ3. Par contre, la di-mension cohomologique virtuelle est 4, donc il existe un sous groupe d’indice finidontladimensioncohomologiqueest4.Donconpourraite´ventuellement construireunere´solutiondeZ3par des modules de permutations sur des sous-groupes finis deG2. Le groupeG2contient un sous-groupeG21tel que G2=∼G12×Z3.
Ilsuffitdoncdeconstruireunere´solutionpourleG21-module trivialZ3. Une teller´esolutionae´te´construiteparGoerss,Henn,MahowaldetRezkdans [7] dont l’une des formes est
∂1 0−→C3−∂3→C2−∂2→C1−→C0−∂0→Z3−→0
ou ` C0=C3=Z3[[G12]]⊗Z3[G24]Z3 C1=C2=Z3[[G21]]⊗Z3[SD16]χ t` e ou`G24etSD16sont des sous-groupes finis deG21etχest un certain carac er du groupeSD16. Cetter´esolutionestl’inspirationprincipaledecetravail.Ellepermet d’e´tudierlacat´egorieKeri`ueeqthlaor´ehcei-or-loc(2)u’enlademenauart matique. Pour toutG12-moduleMolesioutncnostontiursenuetiua`aptrriedal´r spectrale ExttZ3[[G12]](Cs;M) =⇒Hs+t(G12;M) `seulesla0-ie`meligneetles0-i`emeet3-`emecolonnessontnonnulles. ou La construction de GHMR ne donne pas une formule explicite des mor-phismesdelare´solutiondoncdesdiff´erentiellesdelasuitespectrale.Un projet de Mahowald et Rezk [17] et de Mark Behrens [1] est d’interpreter
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les morphismes en terme de courbes elliptiques. De ce point de vue seul le morphisme∂1est bien compris. Lapartiecrucialedecettethe`seestladescriptiondesmorphismes.Pour cecionpre´senteuneautrem´ethodedeconstructiondelare´solutionGHMR. Elleutiliselesco-invariantsparrapportsa`certainssous-groupesdeG2bien choisis. On obtient une description explicite de∂1, le morphisme∂0´ttena l’augmentation standard. Le morphismes∂2est le plus difficile. On donne une approximation de∂2qui est suffisante pour nos calculs. Lapremi`ereapplicationestsurlacohomologiedeG21`acoefficseitndsna E2∗V(0) =F9[[u1]][u u−1uo`]V(0) est le spectre de Moore pour le premier 3.C’estaussiladeuxie`mepagedelasuitespectraledeAdams-Novikovqui converge versπ∗(LK(2)Va]61[dlwahoMal.cualucedetcnpmrolui’’d`o0)),( traduitlescalculsdeShimomura[22]entermedelar´esolutionGHMR.Notre me´thodeestind´ependantedecelledeShimomuraquiutiliselesme´thodes classiquesdelath´eoriechromatique. Ladeuxie`meapplicationestlecalculdugroupP ic2algde Hopkins. Rappel-lons qu’un spectreK(n)-localXest inversible s’il existe un spectreK(n)-local Ytel que LK(n)(X∧Y) =LK(n)S0. AlorsP icnernvblsictpesireepuossedtsergeltresiedespecac´tgeroseadsnal K(nenpeougrcedeceantropmi’L.xuacol-tre-etaipie´omot’dohroeihte´) marqueeparHopkins.Desr´esultatsdeHopkins,MahowaldetSadofsky ´ montrent que ∼=Z2×Z/2×Z/4 [13] =∼Zp×Z/(2p−2) [13] =∼Zp2×Z/2(p2−H[poiksn)1i´e],nonpubl
p= 2 p >2 p >3
P ic1 P ic1 P ic2
Le groupeP icnglalecaeldssrbinievedesgoriat´eeeltsodsmesulougrdepe En∗[[Gn]]-modules profinis. Pour toutnon a un morphisme
ε:P icn→H1(G12;WFpn[[u1 u2∙ ∙ ∙ un−1]]×)
ou`legroupe`adroiteestunsous-groupedeP iclangd’indice 2. Dans le cas qui nousint´eresse,n= 2 etp= 3, le noyau deεsetruseuaaplrnie´rmte´etdes de [7]. Notredeuxie`mere´sultatprincipalestleth´eore`mesuivant The´or`eme1.0.1.H1(G12;WF9[[u1]]×)∼=Z32×Z/8
Lepre´senttexteestorganise´commesuit:Dansledeuxi`emechapitreon faitunrappeldelath´eoriedede´formationsdesloisdegroupesformelsde
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Lubin-Tate,ond´ecritlastructuredugroupestabilisateurdeMoravaetde certainsdesessous-groupes.Letroisi`emechapitretraiteende´taillaconstruc-tiondelar´esolution.Cetteconstructiondiff`eredecellede[7]etpermetde donner une approximation du morphisme∂2nD.qeaunalsemectri`treohapi de´critl’actiondeG2sur l’anneau de Lubin-Tate modulo une certaine filtra-tion.Lasuitespectralementionn´eeci-dessusestd´ecritedanslechapitrecinq, ou`onfait´egalementlecalculsurlacohomologieduspectredeMoore.Le calculdelapartiealg´ebriquedugroupedePicardestfaitdanslechapitre6. L’approximationetl’e´valuationd´etaill´eedumorphismeC2→C1sont faites dans le dernier chapitre.
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