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• Langue: English

Extrait

oN d’ordre: 141-2005 Ann´ee 2005
`THESE
pr´esent´ee devant
´L’UNIVERSITE CLAUDE BERNARD,
LYON 1
pour l’obtention du
ˆDIPLOME DE DOCTORAT
(arrˆet´e du 25 avril 2002)
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 23/09/2005 par
Jean-Baptiste GRAMAIN
GENERALIZED BLOCK THEORY
Au vu des rapports de:
´M. Michel BROUE,
¨M. Burkhard KULSHAMMER.
Devant le jury compos´e de:
´M. Michel BROUE,
M. Marc CABANES,
M. Meinolf GECK, directeur de th`ese,
¨M. Burkhard KULSHAMMER,
M. Olivier MATHIEU,
M. Geoffrey R. ROBINSON, directeur de th`ese.23
`A mon p`ere.
Une civilisation sans la science, c’est aussi absurde qu’un poisson sans
bicyclette.
Pierre Desproges, Je baisse.
It is not how fast you go that matters, it is the object of your journey. It is
not how you send a message, it is what the value of the message may be.
Sir Arthur Conan Doyle, The land of mist.
Je sers la science et c’est ma joie.
Basile (disciplus simplex).45
Remerciements
Merci d’abord `a Geoffrey Robinson qui, malgr´e la distance, a su diriger
mes recherches, et dont le travail a inspir´e le mien. Merci de m’avoir fait
d´ecouvrir, parfois dans la douleur, les repr´esentations de groupes, et de
m’avoir donn´e envie de poursuivre dans ce domaine.
`Amonautredirecteur, MeinolfGeck, jeveuxexprimermaprofondegrat-
itude. Je lui suis extrˆemement reconnaissant pour le temps qu’il a pass´e
`a r´epondre `a toutes mes questions, mˆeme, et surtout, les plus stupides, `a
m’encourager et `a me soutenir dans les moments difficiles, et `a me conseiller
sur la route `a suivre. Je le remercie aussi pour son amiti´e, son humanit´e, et
les bons moments pass´es ensemble. Merci´egalement `a son´epouse Lacri pour
sa gentillesse et son soutien.
Merci `a Michel Brou´e et Burkhard Ku¨lshammer d’avoir accept´e d’ˆetre
rapporteurs pour cette th`ese et de faire partie du jury. Merci ´egalement aux
autres membres du jury: Marc Cabanes et Olivier Mathieu.
Je suis reconnaissant `a l’Universit´e de Birmingham (Angleterre) et `a
´l’Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne (Suisse), ainsi qu’`a leurs per-
sonnels, de m’avoir accueilli pendant les quelques mois que j’y ai pass´es.
Je veux remercier du fond du coeur ma famille et mes ami(e)s qui, depuis
des ann´ees, ont cru en moi (souvent plus que moi) et m’ont soutenu. Merci `a
tou(te)sd’avoirtoujours´et´el`a,pourpartagerlesjoiesetlespeines,lesdoutes
et les espoirs. Merci et bravo en particulier `a ceux qui ont eu a` me supporter
au quotidien pendant ces trois ann´ees: mes parents, Lisa et Pauline. Merci
aussi`acellesetceuxquim’ontaccueillietentour´equandjefuyaisLyonpour
le soleil du Sud ou les montagnes.
Merci `a tous mes compagnons d’aventures math´ematiques: Sophie, Mar-
tin, Florence et Laurian, mˆeme si notre piscine de bureau n’aura jamais
vu le jour, David, S´everine et Ammar, Daniel et Jean. Je remercie tout
sp´ecialement Attila, Nicolas et Olivier pour l’aide et l’amiti´e qu’ils m’ont
donn´ees, chacun `a leur mani`ere, et toujours au bon moment.
Merci `a tous les producteurs de caf´e et de tabac sans qui cette th`ese
n’aurait jamais vu le jour. Merci ´egalement `a tous les producteurs de bi`ere,
ainsiqu’`atousceuxquienontbuavecmoi(etdontlalisteseraittroplongue),
que ce soit pour parler maths, litt´erature, politique ou religion, pour jouer
aux cartes, ou pour le simple plaisir d’ˆetre ensemble et de boire une bi`ere.
Jepr´esentemesexcuses`atouslesarbresabattuspourservirdesupport`a
messucc`eset`ames´echecs(beaucoupplusnombreux). Merciauxmontagnes
et aux d´eserts qui m’ont accueilli et m’ont permis de me ressourcer et de6
m’´emerveiller. Enfin, je veux remercier de tout coeur les Beatles, Beethoven,
Terry Pratchett et Ian Rankin, qui ont toujours ´et´e disponibles et pr´esents
avec moi.Contents
Introduction 9
Introduction 13
Notations 17
1 Generalized Block Theory 19
1.1 Block Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Modular systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 Brauer characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3 Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.4 Defect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.5 Brauer’s First and Second Main Theorems . . . . . . . 25
1.2 Generalized Block Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Generalized blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3 Second Main Theorem property . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4 π-blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Generalized Blocks for Symmetric Groups . . . . . . . . . . . 35
1.3.1 Sections, blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Nakayama Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.3 Second Main Theorem property . . . . . . . . . . . . . 38
2 Generalized Perfect Isometries 41
k2.1 p -blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 (Generalized) Perfect Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Special Unitary Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Irreducible characters, principal blocks . . . . . . . . . 46
2.3.3 A generalized perfect isometry . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Suzuki Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
78 CONTENTS
2.4.1 Conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2 Irreducible characters of B . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.3 A generalized perfect isometry . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Ree Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1 The groups G, B and U . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Conjugacy classes of U . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.3 Irreducible characters of U . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.4 Irreducible characters of B =N (U) . . . . . . . . . . 68G
2.5.5 A generalized perfect isometry . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Cartan Group, Generalized Characters 73
3.1 Cartan Group, Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Generalized Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 Order in the Cartan group . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.2 First observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 The prime case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 First Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Abelian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 Special unitary groups, Suzuki groups, Ree groups . . . 81
3.3.3 Defect and order in the Cartan group . . . . . . . . . . 95
3.4 Symmetric Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 Some facts about ℓ-blocks of the symmetric group . . . 97
3.4.2 Invariant factors of the Cartan matrix . . . . . . . . . 99
3.4.3 Orders in the Cartan group . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Finite General Linear Group 107
4.1 Conjugacy classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.1 Rational canonical form . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2 The Jordan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.3 Primary decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 (X,Y)-sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 (X,Y)-blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.1 Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 Irreducible characters of G . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.3 Murnaghan-Nakayama Rule for unipotent characters . 115
4.3.4 Nakayama Conjecture for unipotent blocks . . . . . . . 118
4.4 Second Main Theorem property . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.1 (X,Y)-blocks of centralizers . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.2 SecondMainTheorempropertyforcombinatorialunipo-
tent (X,Y)-blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216
Introduction
Lath´eoriedesblocsa´et´eintroduiteaumilieudu20`emesi`ecleparR.Brauer.
SiG est un groupe fini et si Irr(G) est l’ensemble de ses caract`eres complexes
irr´eductibles, alors `a tout nombre premier p est associ´ee une partition de
Irr(G) en p-blocs. Les blocs correspondent aux termes d’une d´ecomposition
en somme directe d’id´eaux bilat`eres de l’alg`ebre de groupe sur un anneau de
valuation discr`ete complet. La plupart des propri´et´es des p-blocs viennent
des propri´et´es arithm´etiques p-locales des caract`eres et sont obtenues grˆace
`a une passerelle entre caract´eristique 0 et caract´eristique p. Mais les p-blocs
peuvent aussi ˆetre obtenus ´el´ementairement `a partir du d´ecoupage de G en
′ ′p-sections. Tout ´el´ement g de G a une unique ´ecriture g = g g = g g ou`p pp p
′g est un p-´el´ement et g est p-r´egulier (i.e. l’ordre de g est une puissancep pp
′dep et celui deg est premier `ap). Deux ´el´ements appartien