DETERMINACIÓN DE VAN ESTOCÁSTICO Y OPCIONES REALESRESOLUCIÓN TEÓRICA DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA ESTOCÁSTICA

Sergio

Description

En esta investigación se propone una metodología que estandariza el uso de opciones reales con saltos al Valor Actual Neto (VAN), además de vincular los flujos de efectivo de la empresa analizada a una estructura de plazo creada a partir del modelo de tasa corta de Vasicek. Todo ello a fin de dotar al analista de un valor justo que contemple tanto los efectos macroeconómicos propios de los movimientos aleatorios de la tasa de interés como el proceso de difusión con saltos propios del desenvolvimiento de una empresa.

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• Publié le: 01 janvier 2010
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M.C. Sergio Mendoza Sandoval









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Revista ECORFAN,Vol.1,núm.2,2010,pp.3-24
DETERMINACIÓN DE VAN ESTOCÁSTICO Y OPCIONES REALES

Autor: M.C. Sergio Mendoza Sandoval






Licenciado en Economía (Universidad Autónoma Metropolitana), M.C en
Economía (IPN). Doctorante en Ciencias Económicas (IPN)

Profesor de la UTN y titular en la Dirección General de Servicios Aéreos
(DGSA) de la Procuraduría General de la República, Cursos en la Universidad
Anáhuac, CCT-PGR y ESE_IPN.




Fecha de Envió: 19 de Abril 2010.

Fecha de Aceptación: 26 de Abril 2010.

RNA: 03-2010-051311261300-01

Fecha de Acta: 28 de Mayo 2010.



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Revista
ECORFAN



CONTENIDO

 Planteamiento del Problema de Optimización Dinámica
Estocástica(PODE)
 Solución del PODE, Estructura de Plazos Plana y
Rendimientos Brownianos del Subyacente
 Solución del PODE con Tasa Corta de Vasicek y
Rendimientos Brownianos del Subyacente
 Solución del PODE con Tasa Corta de Vasicek y
Rendimientos Correlacionados con Saltos
 Bibliografía











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Revista ECORFAN,Vol.1,núm.2,2010,pp.3-24
DETERMINACIÓN DE VAN ESTOCÁSTICO Y OPCIONES REALES

Autor: M.C Sergio Mendoza Sandoval


DETERMINACIÓN DE VAN ESTOCÁSTICO Y OPCIONES REALES

RESOLUCIÓN TEÓRICA DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
DINÁMICA ESTOCÁSTICA
1M.C Sergio Mendoza Sandoval

Resumen.
En esta investigación se propone una metodología que estandariza el uso de opciones
reales con saltos al Valor Actual Neto (VAN), además de vincular los flujos de efectivo de la
empresa analizada a una estructura de plazo creada a partir del modelo de tasa corta de
Vasicek. Todo ello a fin de dotar al analista de un valor justo que contemple tanto los efectos
macroeconómicos propios de los movimientos aleatorios de la tasa de interés como el
proceso de difusión con saltos propios del desenvolvimiento de una empresa.



Palabras Clave: VAN, Flujo de Efectivo, Tasa de Interés.


Abstrac.

In this investigation a methodology sets out that standardizes the use of real options
with jumps to the Net Present Value (VAN), besides to tie the cash flow of the company
analyzed to a structure of term created from the model of short rate of Vasicek. All it in order
to equip the analyst with a right value that contemplates so much the own macroeconomic
effects of the random movements of the interest rate like the process of diffusion with own
jumps of the unfolding of a company.

Keywords: VAN, Cash flow, Interest rate.
Classification JEL: G12.



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Correo Electrónico: [e-mail]

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Revista
ECORFAN 1. Planteamiento del Problema de Optimización Dinámica Estocástica (PODE)

El valor presente esperado, F , al tiempo t, de un proyecto mediante el cálculo de los t
flujos de efectivo descontados puede ser resumido como:

 uFE e du , (1.1) ts t
t
donde  representa el flujo de efectivo esperado durante el desarrollo del proyecto en el s
tiempo s,  es la tasa de descuento apropiada según el sector y grado de apalancamiento
del proyecto y  es toda la información relevante (disponible) al tiempo t. t

En esta investigación, se propone agregar al valor del proyecto, F , el valor de la prima t
por “riesgo de propiedad”, el cual se pretende modelar como una opción real. Para justificar
esta aproximación, se supone la existencia de un inversionista, adverso al riesgo, de vida
infinita que tiene acceso a un bono libre de riesgo crédito, B , cuyo rendimiento (cambio t
porcentual) está dado por:
dBt rtd, (1.2)
Bt
donde representa la tasa de interés libre de riesgo (de incumplimiento) pagada por el bono. r
Este agente también tiene también acceso a un activo riesgoso, i.e., el proyecto, F , cuyo t
rendimiento está dado por un proceso de difusión de la forma:

(1.3) dFdt dW F ,  t F F 1t t
donde  es el rendimiento medio esperado del proyecto,  es la volatilidad instantánea F F
del proyecto y W es un movimiento browniano, es decir, W N(0,t), en cuyo caso se 1t 1t
cumple que E dW0 y Var dW dt. Es en este punto cuando, de forma natural, surge la    11tt
necesidad de modelar el valor del “riesgo de propiedad” como un derivado, puesto que, a
petición del gobierno, el inversionista deberá venderle el activo riesgoso a cambio de un
precio de indemnización, K, el cual, en el peor de los casos, puede ser determinado
unilateralmente por el propio gobierno. Observe que lo anterior se trata de la descripción de
una posición corta en una opción de compra,  Ft,,  a la que sólo le falta especificar el tt
plazo de vencimiento y la forma de ejercicio, i.e., las condiciones de frontera; ambas
características determinan el tipo de opción analizada.
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Revista ECORFAN,Vol.1,núm.2,2010,pp.3-24 DETERMINACIÓN DE VAN ESTOCÁSTICO Y OPCIONES REALES

Autor M.C: Sergio Mendoza Sandoval

En el caso de las expropiaciones, la naturaleza casi impredecible del momento de
ocurrencia del acto de autoridad hace necesaria la modelación a través de opciones
americanas, por lo que es posible suponer que el portafolio del inversionista está conformado
por posiciones largas en un bono, B , que paga una tasa libre de riesgo y en el activo t
riesgoso, F , además de una posición corta en una opción de compra sobre dicho activo,  , t t
esto es:

(1.4)  a ( F      B ), t t 1 t 2 t 3 t
donde  representa la proporción de riqueza que el inversionista asigna a cada activo en su i
portafolio.

La necesidad de simplificar el problema, lleva al supuesto de una única fecha en la cual
el gobierno debe decidir si ejerce o no la opción de compra que posee sobre el activo
riesgoso, lo que convierte la opción de compra americana en una europea, la cual resulta,
analíticamente, más tratable. Por otra parte, la naturaleza no financiera del subyacente hace
necesaria la aplicación de la metodología de opciones reales para su valuación, para mayor
referencia véanse: Abel (1983), Dixit y Pindyck (2000) ó Trigeorgis (1996), por hacer
referencia a los más conocidos.

A grandes rasgos, la metodología de opciones reales está basada en aplicar la
tecnología de opciones financieras en proyectos de inversión contingentes cuya realización
depende del desempeño de un proyecto principal que hace las veces de subyacente. Bajo
este enfoque, la posición y tipo de opción está determinada por la naturaleza del proyecto
analizado, en el caso particular del riesgo de propiedad, tal y como se explicó anteriormente,
se trata de una posición corta en una opción de compra es decir una opción real de cierre.

La naturaleza contingente de la opción, i.e., su naturaleza de derivado, conduce a
utilizar el cálculo de Itô en la determinación de la ecuación diferencial estocástica que rige su
2prima. Aplicando las reglas del cálculo estocástico al rendimiento de la opción europea de
compra, se obtiene:

(1.5) d 
dtW d , ,   1t
t


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Como referencias véanse Lamberton y Lapeyre (1996), Mikosch (1998) y Gikhman y Skorokhod (2004).
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Revista
ECORFAN Que no es otra cosa que la ecuación diferencial estocástica (EDE) del rendimiento de
la opción real de cierre que modela el “riesgo de propiedad”. En este caso se cumple que:
2    11    122    FF  y   . F t F t  F 2t F 2 F  F t t t tt
Para completar el planteamiento del problema de optimización dinámica estocástica
(PODE), es necesario establecer una función de beneficios que refleje la preferencia
creciente a tasas decrecientes por los beneficios que presenta el agente analizado. Para ello
se propone una función de beneficios de la forma:  BF, ,     /    , la cual se t t t t t
supone cóncava en concordancia con agentes adversos al riesgo.

1.1. Solución del PODE, estructura de plazos plana y rendimientos brownianos
del subyacente

Una vez obtenidas las ecuaciones diferenciales que modelan los rendimientos de los tres
activos a los que tiene acceso el inversionista, se está en posición de modelar la dinámica
estocástica del rendimiento de su riqueza, a , la está dada por