Première S-Chapitre dérivation: calculs de dérivées commentées(exercice corrigé)

Description

www.MATHS-LYCEE.fr {Chapitre 3 : Calcul de d eriv ees comment ees "Pas a pas" MATHS-LYCEE.FR Premi ere S-exercice corrig e Chapitre 3: D erivation Chapitre 3 : Calcul de d eriv ees comment ees "Pas a pas" EXERCICE 3-3-6 temps estim e:15-20mn 0Dans chaque cas, justi er que f est d erivable sur I puis calculer f (x) 31. Fonction Polyn^ ome : f(x) = 2x + 3x 1 avec I =R * Solution: 3x7 !x est d erivable surR 3 2et donc pour tour r eel k, x7 !kx est d erivable surR donc x7 ! 2x est d erivable surR x7 ! 3x 1 est une fonction a ne donc d erivable sur R f est donc la somme de fonctions d erivables surR donc f est d erivable surR 0 3 0 0f (x) = 2(x ) + (3x 1) On d erive chaque terme de la somme 2 3= 2 3x + 3 On d erive x et 3x 1 2= 6x + 3 0 2f (x) = 6x + 3 22(x + 1) 2. Fonction Polyn^ ome : f(x) = avec I =R 3 * Solution: 2 2f(x) = (x + 1) 3 2x7 !x est d erivable surR 2et donc par somme , x7 !x + 1 est d erivable surR 2 f est donc le produit d’une fonction d erivable surR par le r eel 3 donc f est d erivable surR 20 2f (x) = (x + 1) Le d enominateur est une constante 3 il est inutile d’utiliser les formules de d erivation du produit ou du quotient de deux fonctions d erivables 2 2 0 0 0= (x + 1) (ku) =ku (k2R) 3 2 2= (2x + 0) On d erive x + 1 3 4x = 3 4x0f (x) = 3 Chapitre 3: D erivation Page 1/4 Maths premi ere S www.MATHS-LYCEE.fr {Chapitre 3 : Calcul de d eriv ees comment ees "Pas a pas" www.MATHS-LYCEE.

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• Publié le: 14 mars 2014
• Nombre de lectures: 25
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Extrait

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Premie`reScoceigrr´e-xereic

Chapitre 3:re´Dtavinoi

Chapitre3:Calculdede´riv´eescomment´ees”Pas`apas”

EXERCICE 3-3-6

tempsestime´:15-20mn

0
Dans chaque cas, justifier quefe´dtsrsuiverleabIpuis calculerf(x)

3
1.F:ˆomeolynionPonctf(x) =−2x+ 3x−1 avecI=R

☛Solution:
3
x−→7xselbesru´etdvariR
3 2
etdoncpourtourr´eelk,x7−→kxets´drevibaelrsuRdoncx−−→72xire´dtseruselbavR
x→7−3x−ruseire´lbavoiannotcnodcnffideunef1estR
fmeomfodeontdasclseessure´iravlbcnitnodsRdoncfestd´ruselbavireR
030 0
f(x) =−2(x(3) +x−1)measomedeltermqaeuevhce´irOdn
2 3
=−2×3x+3Orivend´exet 3x−1
2
=−6x+ 3
02
f(x) =−6x+ 3

2
2(x+ 1)
2.onFloPnoitc:emoˆnyf(xavec) =I=R
3
☛Solution:
2
2
f(x) =(x+ 1)
3
2
x7−→xdtseire´lbavruseR
2
et donc par somme ,x7−→xruselbav´eriestd+1R
2
fnodtseefund’itduroepcle´iravlbnotcoidnesurRler´eelpar
3
doncfe´dtaviresblseurR
2
02
f(x() =xnteutseruetatsnocened)L+1namino´e
3
ilestinutiled’utiliserlesformulesded´erivation
duproduitouduquotientdedeuxfonctionsde´rivables
2
20 00
= (x+ 1)(ku) =ku(k∈R)
3
2
2
= (2x+0eve´irO)dnx+ 1
3
4x
=
3
4x
0
f(x) =
3

Chapitre 3:avirnoite´D

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Premi`ereS-erexceciocrrgie´

2 2
3.f(x) = 2(3xavec+ 1)I=R

☛Solution:

Chapitre 3:D´erivation

2
x−→7xrusetdesri´eblvaR
2
doncx−7→3x´eriestdesurvablR
2
doncu:x−7→3x1+ri´etdesuresblvaR
2
donc le produitu×u=ue´iravlbesursedtR
2
et doncf= 2×u×u= 2ue´dtaviresblseurR
20 0
On poseu(x) = 3xet+ 1f(x) = 2u(x)u(xne tient pas compte du coefficient (() Onku) =ku)
Onfaitapparaˆıtrelaformuledede´rivation`autiliser

2
u(x) =v(x) = 3x+ 1
0 0
etu(x) =v(x) = 3×2x+ 0 = 6x

0 00
f(x) = 2[u(x)v(x) +u(x)v(x)]
 
2 2
= 2(6x)(3x+ 1) + (3x+ 1)(6x)

3 3
= 2(18x+ 6x+ 18x+ 6x)
3
= 2(36x+ 12x)
2
= 24x(3x+ 1)

02
f(x) = 24x(3x+ 1)

Chapitre 3:tavire´Dnoi

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Identificationdelaformule`autiliser
(produit de deux facteurs contenant la variablex)

Formuledelade´riv´eeduproduit

Poure´viterleserreursdesigneetdecalcul,
onpeut´ecrirelaformuleen”blanc”:
(...)(...) + (...)(...p)iucsmolpe´etr
0 0
avecu(x),v(x),u(x) etv(x)
Ond´eveloppeetsimplifie

Onfactorisee´ventuellement
0
danslebutd’e´tudierlesignedef(x)

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Premi`ereS-exercicerroce´gi

√
2
4.f(xavec) =I=R
2
3x+ 1
☛Solution:

Chapitre 3:D´iverioatn

2 2
x→−73xivabd´er1est+relusRet 3x+ 16= 0
1
doncg:x−→7lbavrusedtseire´R
2
3x+ 1
√
doncf, produit degbavire´druseleele2tsprael´rR
√ √
1
f(x2) =×2On ne tient pas compte du coefficient
2
3x+ 1
0 0
(ku) =ku
2
On posev(x) = 3xofmrlu`euaitilesr+1idOntienlafie
1
ici,
v(x)
1
0 00
v(x) = 3×2x+ 0 = 6xcalcul devpour utiliser ()
v
0
√
−v(x) 1
0
f(x) =2×dae´deleeeedir´vFoulrm
2
(v(x))v
0
√
−v(x)
=2Poure´viterleserreursdesigneetdecalcul,
2
(v(x))
onpeut´ecrirelaformuleen”blanc”:
−(....)
puiscompl´eter
2
(.....)
0
avecv(x) etv(x)
√
−6x
= 2
2 2
(3x+ 1)
√
−6 2x
=
2 2
(3x+ 1)

√
−6 2x
0
f(x) =
2 2
(3x+ 1)
√ √
0
x→−7estnulle((2)=0denoscdae´ir´veencfoontinscontta)se2enut

Chapitre 3:ontivaire´D

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Premie`reSirroe´gcer-exceci

2
x−1
5.f(xavec) =I=R\ {2}
4−2x
☛Solution:

Chapitre 3:´eDvariitno

2
u:x→−7x−esblvari´etdes1ruI

etv:x−7→4−2xsurableerivstd´eIet 4−2x6= 0
u
doncflbseusrfonctionsd´erivauq,eitoedtnxued=Iavecv(x)6rusd´st0e=leabiverI
v
2
On poseu(x) =x−1 etv(x) = 4−2xscifirteatnueliitleelaf`aoriodunmId
(quotient de deux facteurs contenant la variablex)
0 00 0
u(x) = 2xetv(x) =−2 Calculdeu(x) etv(x)
pourutiliserlaformuleded´erivationd’unquotient
0 0
u(x)v(x)−u(x)v(x)
0
f(xuledelad´eriv´eeu=d)uqtoeitnerutircEmrofaled
2
(v(x))

2
(2x)(4−2x)−(x−1)(−2)
=
2
(4−2x)

2 2
8x−4x+ 2x−2
=
2
(4−2x)

2
−2x+ 8x−2
=
2
(4−2x)

2
−2x+ 8x−2
0
f(x) =
2
(4−2x)

Pour´eviterleserreursdesigneetdecalcul,
(....)(....)−(.....)(....)
onpeute´crirelaformuleen”blanc”
2
(....)
puis remplacer par les expressions
0 0
deu(x),v(x),u(x) etv(x)
Onde´veloppeetsimplifielenum´erateur

Ilfaut´eviterded´evelopperled´enominateur
danslebutd’´etudierlesignedelade´rive´e
2
car (4−2x)>0 surI

0 0
Attention aux erreurs de calculs avec le signe−ntvadenasth`esesdlesparenu v−uv

Chapitre 3:ativnioerD´

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