Revisión de los modelos paramétricos de BRDF

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Los modelos paramétricos se utilizan a nivel operativo para obtener los productos de BRDF ( Bidireccional Reflectance Distribution Function) y albedo de los sensores de nueva generación (e.g., POLDER, SEVIRI, VEGETATION). En el contexto de la estimación de parámetros biofísicos de las cubiertas vegetales mediante técnicas de teledetección, nuestro inter´res en los modelos paramétricos reside en que éstos permiten abordar la anisotropía de la BRDF desde dos puntos de vista: como una fuente adicional de información relacionada con la estructura de las superficies vegetales o como un “ruido” que enmascara la información de interés. En este trabajo se realiza un estudio teórico de los modelos paramétricos de BRDF de más amplia aceptación entre la comunidad científica, haciendo un análisis comparataivo de los mismos y una revisión de las principales aproximaciones realizadas. Se consideran los modelos semiempíricos lineales de tipo kernel- driven, introduciendo algunos de los kernels geométricos y de volumen más conocidos, así como el modelo empírico lineal de Walthall y el modelo multiplicativo RPV. Finalmente se presenta un ejemplo de aplicación de los modelos paramétricos. EN concreto, los modelos Li-Ross, Walthall y RPV se utilizan para caracterizar la BRDF de una cubierta de alfalfa mediante dados CHRIS/PROBA.
Abstract
Parametric models are employed for operational purposes in order to obtain near real-time BRDF ( Bidirectional Reflectance Distribution FUnction ) and albedo products from coarse resolution satellite data (e.g., POLDER, MSG, VEGETION). In the context of retrieving vegetation biophysical parameters from remote sensing data, our interest in parametric models is based on the utility of this kind of models in order to take into account the anisotropy of the BRDF from two different points of viwe: as a source of noise that should be minimized or as a source of information related to the 3D-structure of surface. In this paper, a theoretical study of principal parametric BRDF models is realized. Different models are compared and a review of main hypothesis is presented. Kernel-driven models, the empirical Walthall model and the no-linear RPV model are introduced. Finally an example to illustrate the potential of apllicability of parametric models is shown. In concrete, Li-Ross, Walthall and RPV models are used to characterize the directional behaviour of the BRDF of an alfalfa crop with CHRIS/PROBA acquisitions.

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Publié le 01 janvier 2005
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Revista de Teledetección. 2005. 23: 65-80.
Revisión de los modelos paramétricos de BRDF
A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
aleixandre.verger@uv.es
Departament de Termodinàmica. Facultat de Física. Universitat de València.
C/ Dr. Moliner, 50. 46100 Burjassot (València).
RESUMEN ABSTRACT
Los modelos paramétricos se utilizan a nivel ope- Parametric models are employed for operational
rativo para obtener los productos de BRDF (Bidirec- purposes in order to obtain near real-time BRDF
cional Reflectance Distribution Function) y albedo de (Bidirectional Reflectance Distribution FUnction)
los sensores de nueva generación (e.g., POLDER, and albedo products from coarse resolution satellite
SEVIRI, VEGETATION). En el contexto de la esti- data (e.g., POLDER, MSG, VEGETION). In the con-
mación de parámetros biofísicos de las cubiertas text of retrieving vegetation biophysical parameters
vegetales mediante técnicas de teledetección, nuestro from remote sensing data, our interest in parametric
inter´res en los modelos paramétricos reside en que models is based on the utility of this kind of models
éstos permiten abordar la anisotropía de la BRDF in order to take into account the anisotropy of the
desde dos puntos de vista: como una fuente adicional BRDF from two different points of viwe: as a source
de información relacionada con la estructura de las of noise that should be minimized or as a source of
superficies vegetales o como un “ruido” que enmas- information related to the 3D-structure of surface.
cara la información de interés. In this paper, a theoretical study of principal para-
En este trabajo se realiza un estudio teórico de los metric BRDF models is realized. Different models are
modelos paramétricos de BRDF de más amplia acep- compared and a review of main hypothesis is presen-
tación entre la comunidad científica, haciendo un aná- ted. Kernel-driven models, the empirical Walthall
lisis comparataivo de los mismos y una revisión de model and the no-linear RPV model are introduced.
las principales aproximaciones realizadas. Se consi- Finally an example to illustrate the potential of aplli-
deran los modelos semiempíricos lineales de tipo ker- cability of parametric models is shown. In concrete,
nel-driven, introduciendo algunos de los kernels geo- Li-Ross, Walthall and RPV models are used to cha-
métricos y de volumen más conocidos, así como el racterize the directional behaviour of the BRDF of an
modelo empírico lineal de Walthall y el modelo mul- alfalfa crop with CHRIS/PROBA acquisitions.
tiplicativo RPV. Finalmente se presenta un ejemplo
de aplicación de los modelos paramétricos. EN con- KEY WORDS: BRDF, parametric models,
creto, los modelos Li-Ross, Walthall y RPV se utili- anisotropy, normalization.
zan para caracterizar la BRDF de una cubierta de
alfalfa mediante dados CHRIS/PROBA.
PALABRAS CLAVE: BRDF, modelos paramétri-
cos, anisotropía, normalización.
2004a). La razón de no considerar hasta ahora laINTRODUCCIÓN
influencia de los efectos angulares se debe a las
Las técnicas tradicionales para la estimación de limitaciones para muestrear adecuadamente la fun-
parámetros biofísicos de la cubierta vegetal en tele- ción de distribución de reflectividad bidireccional o
detección han ignorado, mayoritariamente, el domi- BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution
nio direccional de la reflectividad, a pesar de que Function) (Nicodemus et al., 1977). La BRDF,
puede introducir errores importantes, especialmen- como es bien sabido, es la magnitud básica que
te, cuando el campo de visión (FOV) es grande y en caracteriza las propiedades espectrales y direccio-
estudios multitemporales (Verger et al., 2002 y nales de la reflectividad.
N.º 23 - Junio 2005 65A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
En la actualidad, las diferencias en las configura- tiangulares (e.g. POLDER, SEVIRI o VEGETA-
ciones orbitales (muestreo angular, frecuencia de TION) y se utilizan en diferentes aplicaciones,
observación) y las características complementarias como son: normalizar la reflectividad a una confi-
guración óptima (normalmente, “nadir-cenit”),(espectrales, angulares, espaciales, temporales) de
interpolar o extrapolar la reflectividad a condicio-los sensores de última generación (POLDER,
nes donde no existen observaciones, calcular elVEGETATION, MODIS, SEVIRI, AVHRR) ofre-
albedo de la superficie a partir de la integracióncen posibilidades para obtener una caracterización
angular de la BRDF, establecer el muestreo óptimomucho más precisa de la BRDF de la biosfera desde
para la inversión de modelos físicos de BRDF, esti-el espacio.
mar parámetros biofísicos a partir de la signaturaEn la bibliografía pueden encontrarse numerosos
direccional de la superficie, o intervenir en la mejo-modelos propuestos para simular o reproducir la
ra de las correcciones atmosféricas y de las clasifi-BRDF de las superficies naturales. Los modelos de
caciones del uso del suelo.BRDF conectan el patrón espectro-angular de la
En este trabajo se presentan los modelos paramé-reflectividad bidireccional con las características
tricos más ampliamente aceptados entre la comuni-estructurales de las superficies y permiten, por una
dad científica, realizando un análisis comparativo departe, corregir los efectos direccionales y, por otra,
los mismos y haciendo una revisión de las principa-explotar la signatura direccional de la reflectividad.
les aproximaciones consideradas. Nuestro principalUna revisión de los diferentes modelos de BRDF
interés en los modelos paramétricos reside en la uti-puede encontrarse en Goel and Thompson (2000).
lidad de estos para caracterizar la BRDF. El acceso alSegún el nivel de detalle con que se describen los
dominio direccional permite normalizar la anisotro-procesos físicos responsables de la dispersión de la
pía de la reflectividad o incorporar la signatura direc-luz en la escena, el grado de conocimiento que se
cional como una fuente de información adicional.requiere a priori sobre el tipo de cubierta conside-
Para ilustrar la potencialidad del uso de estos mode-rada y el número de observaciones necesarias para
los para abordar el problema de la anisotropía de laderivar los parámetros del modelo (Wanner et al.,
BRDF desde estas dos perspectivas y para comparar1995), puede distinguirse entre modelos empíricos,
las diferencias entre los distintos modelos propues-modelos semiempíricos y modelos físicos. Los
tos, se muestra la función de reflectividad bidireccio-modelos empíricos o semiempíricos que no utilizan
nal que resulta de aplicar diferentes modelos en unamás de tres o cuatro parámetros independientes
misma cubierta vegetal: alfalfa, y con datos de unpara modelar la BRDF se conocen con el término
mismo sensor: CHRIS/PROBA.de modelos paramétricos (Lucht and Roujean,
2000).
Los modelos paramétricos proporcionan una
parametrización relativamente simple y directa de REVISIÓN DE LOS MODELOS
la BRDF, expresando la reflectividad como una
PARAMÉTRICOS DE BRDFfunción de los ángulos cenitales de observación y
de iluminación y del ángulo acimutal relativo. Estos
Siguiendo la notación de Lucht and Roujeanmodelos empezaron a ser investigados a principios
(2000), hemos clasificado los modelos paramétri-de la década de 1990 después de los considerables
cos en tres categorías: modelos semiempíricos line-avances producidos en los años 1980 en la teoría
ales de tipo kernel-driven, modelos empíricos linea-física de la BRDF. Dadas las dificultades prácticas
les y modelos semiempíricos no lineales de tipoque presentaban los modelos físicos para derivar la
multiplicativo.BRDF y frente a la cada vez mayor cantidad de
datos de teledetección ofrecidos por los distintos
sensores de la época, los modelos paramétricos fue- Modelos semiempíricos lineales:
ron desarrollados para estimar, casi a tiempo real, la modelos kernel-driven
BRDF y el albedo a escala global (Wanner et al,
1995). Los modelos kernel-driven se basan en la hipóte-
Prueba de la importancia que, en la actualidad, sis que a resoluciones espaciales moderadas (escala
han adquirido los modelos paramétricos de BRDF de pocos centenares de metros hasta el kilómetro),
es que éstos constituyen la base de la mayoría de los la radiación dispersada por las superficies heterogé-
métodos operativos para procesar los datos mul- neas puede descomponerse en componentes o ker-
66 N.º 23 - Junio 2005Revisión de los modelos paramétricos de BRDF
nels que representan una componente particular del tropo, geométrico y volumétrico respectivamente.
comportamiento dispersivo de las cubiertas vegeta- Los modelos kernel-driven son lineales respecto a
les. Se asume que estas componentes o kernels son los parámetros k , k y k , permitiendo aplicar la0 1 2
separables y están no correlacionadas. teoría de los sistemas lineales y hacer una inversión
Los modelos kernel-driven presentan la forma analítica del modelo.
genérica siguiente: En los modelos lineales kernel-driven, por un
convenio introducido por Roujean et al. (1992), los
kernels se expresan de manera que cuando el sol y
(1) el observador están en el cenit (q =q = 0), f (0,0,l)
i v 1
= f (0,0,l) =0. Y, por tanto, R(0,0,f;l) = k (l). Es
2 0
decir, k se define como la reflectividad de la super-
0
donde R es la reflectividad de la superficie bajo ficie cuando ésta es observada desde el nadir con el
ángulos cenitales de iluminación y de observación sol sobre el cenit. k se puede considerar, por tanto,
0
q yq , respectivamente, con ángulo acimutal relati- como una reflectividad normalizada de los efectosi v
vof, y longitud de onda l. Las funciones o kernesl, de anisotropía y proporciona la base para intercom-
f , son expresiones geométricas que caracterizan el parar datos adquiridos por un sensor bajo diferentesn
comportamiento básico de la BRDF de las cubiertas ángulos de observación y de iluminación.
vegetales y describen los procesos de interacción de En los kernels geométrico y volumétrico se con-
la radiación con la escena. k son los parámetros del templa solo la radiación dispersada de primern
modelo. Y, {p} son parámetros adicionales que orden. Esta hipótesis es válida, en general, cuandon
pueden modificar el comportamiento de los kernels. la absortividad es alta, pero pierde vigencia en el
El modelo de Roujean et al. (1992) y la mayoría infrarrojo cercano donde las hojas presentan una
de modelos posteriores del tipo kernel-driven utili- baja absortividad. Sin embargo, se considera que
zan tres componentes o kernels: las contribuciones de orden superior, que contribu-
yen significativamente a la reflectividad, presentan1. Un kernel constante que representa la disper-
una distribución aproximadamente isótropa que elsión múltiple con una distribución aproxima-
modelo recoge en su término lambertiano k .
0damente isótropa.
Los kernels geométricos y volumétricos se deri-2. Un kernel geométrico (f ) asociado a la dis-1 van, respectivamente, aproximando los modelos físi-persión simple que se produce en los elemen-
cos óptico-geométricos y de transferencia radiativa.tos tridimensionales de la superficie, mayori-
Por una parte, los kernels geométricos, f , consideran
1tariamente en las capas exteriores de la
una cubierta vegetal formada por un conjunto discre-cubierta vegetal y en las irregularidades o
to de elementos, y tienen en cuenta la estructura geo-rugosidades del terreno. Esta componente
métrica de reflectores opacos y de las sombras pro-describe los efectos de sombras y los meca-
yectadas. Por otra parte, en los kernels de volumen,nismos de ocultación mutua entre los distin-
f , la vegetación se modela como un medio turbiotos elementos de la escena. 2
donde las hojas se distribuyen de manera aleatoria.3. Un kernel volumétrico (f ) que, se puede2 En la bibliografía encontramos una amplia colec-interpretar, representa la dispersión simple
ción de kernels geométricos y volumétricos. Unque se produce en el interior de los elementos
compendio de estos kernels y de otros modelosde la escena: entre las hojas de las plantas o
semiempíricos puede encontrarse en Jupp (1998). Acopas de los árboles, y por efecto de la poro-
continuación se describen algunos de los kernelssidad del suelo.
más utilizados. Presentamos los kernels geométri-
Así, de una manera más explícita, los modelos cos: Roujean (Roujean et al., 1992), LiSparse
kernel-driven consideran, típicamente, la BRDF de (Wanner et al., 1995), LiSparse recíproco (Lucht,
la forma siguiente: 1998) y LiDense (Wanner et al., 1995). Y, los ker-
nels volumétricos: RossThick (Roujean et al.,
1992) y RossThin (Wanner et al., 1995). Además de
(2)
estos kernels se describe una de las muchas modifi-
caciones que se han realizado sobre estos kernels
donde los parámetros del modelo k , k y k actúan para incorporar el efecto hot spot: el kernel RossT-0 1 2
como factores de peso asociados a los kernels isó- hick modificado por Maignan et al. (2004).
N.º 23 - Junio 2005 67A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
R RKernel de Roujean (f ) do q está por encima de este valor límite, f aumen-1 i 1
El kernel geométrico introducido por Roujean et ta de manera monótona con q y diverge para qv v
al. (1992) se obtiene modelando la reflectividad aproximándose a p/2, ya que para estas condiciones
que resulta de considerar un conjunto de paralepí- no pueden despreciarse las sombras mutuas. En el
pedos que representan los árboles y que se distribu- plano ortogonal, la variación del kernel de Roujean,
Ryen de manera aleatoria sobre una superficie plana f , con q presenta simetría respecto al nadir. Esta1 v
y lambertiana. Las fracciones de suelo y de vegeta- tendencia, común en todos los kernels que aquí se
ción iluminadas se consideran igualmente brillan- presentan, reproduce el comportamiento observado
tes, es decir, tienen la misma reflectividad. Las en la reflectividad de las cubiertas naturales en esta
sombras se consideran perfectamente negras de configuración (Camacho-de Coca et al., 2004a)
manera que no contribuyen a la reflectividad. Se donde la anisotropía es mínima. Además, puede
desprecian las sombras mutuas entre los elementos verse, en la Figura 1, que el kernel de Roujean cum-
de la escena por lo que tienen que considerarse ple la condición impuesta en su definición de anu-
ángulos cenitales no superiores a 60º, aproximada- larse cuando q = q .i v
mente. Realizadas estas hipótesis, el kernel de Rou-
S’jean viene dado por la expresión: Kernel LiSparse (f )1
Este kernel propuesto por Wanner et al. (1995) se
obtiene partiendo del modelo óptico-geométrico de
BRDF de Li and Strahler (1986) realizando las mis-
(3)
mas hipótesis consideras en el kernel de Roujean,
donde, con la salvedad que ahora los elementos geométri-
cos, que representan la vegetación de la escena, no
son paralepípedos sino esferoides con una longitud
2b, una anchura 2r y una distancia h entre sus cen-(4)
tros y la superficie. Como en el caso anterior del
REn la Figura 1 se representa el kernel f en fun- kernel de Roujean, la separación espacial entre los1
ción del ángulo de observación, q , tanto en el plano elementos de la escena (se considera vegetaciónv
principal como en el plano ortogonal, para tres dispersa) y el rango de ángulos de observación y de
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º). iluminación considerados (ángulos cenitales noi
Con valores de q negativos indicamos que la con- superiores a 60º, aproximadamente), permiten des-v
tribución a la reflectividad proviene de la dispersión preciar las sombras mutuas. El kernel LiSparse se
hacia delante, y con valores positivos que proviene expresa de la forma:
de la retrodispersión.
Rf tiene un máximo en la dirección de retrodis-1
persión para valores de q inferiores a un ciertoi (5)valor mínimo ( según Roujean et al., 1992). Cuan-
RFigura 1. Comportamiento del kernel geométrico de Roujean (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal para tres
1
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).
i
68 N.º 23 - Junio 2005Revisión de los modelos paramétricos de BRDF
donde, senta un máximo más pronunciado en la configura-
Rción del hot spot que el kernel de Roujean, f , y una1
forma más compleja que la de éste. Así mismo, en el
S’plano principal, f diverge para valores altos de q ..
1 v
SKernel LiSparse recíproco (f )
1
El kernel LiSparse en la forma original es no recí-
proco respecto al intercambio de los ángulos ceni-
tales de observación y de iluminación. Lucht (1998)
(6) introduce una modificación en este kernel para
hacer que cumpla la condición de reciprocidad:
Este kernel contiene dos parámetros internos adi-
mensionales, b/r y h/b, que describen, respectiva-
mente, la forma y la altura relativa de los árboles. (4)
Cada combinación de valores b/r y h/b dará lugar a
Suna familia de kernels LiSparse. En la práctica, El comportamiento de la función f se ilustra en la1
Sestos parámetros pueden fijarse a uno o dos valores. Figura 3. Se observa que f presenta una forma simi-1
S’Así, por ejemplo, en el procesado de MODIS se uti- lar al kernel LiSparse en la forma original, f (com-1
S S’liza la combinación b/r=1, h/b=2 (Lucht, 1998). parar Figuras 2 y 3). f y f difieren básicamente en
1 1
S’ SEn la Figura 2, se representa el kernel LiSparse, f , que mientras que el kernel f permanece inalterado al
1 1
frente al ángulo de observación, q para la selección intercambiar los valores de los ángulos q y q con f
v, i v
S’ S’de parámetros b/r =1, h/b=2. Se observa que f pre- constante, el kernel f no cumple esta condición.
1 1
S’Figura 2.Comportamiento del kernel geométrico LiSparse (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal para tres
1
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º) y con la selección de parámetros b/r =1, h/b=2.
i
SFigura 3. Comportamiento del kernel geométrico LiSparse recíproco (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal
1
para cuatro ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º, 70º) y con la selección de parámetros b/r =1, h/b=2.
i
N.º 23 - Junio 2005 69A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
D rencia radiativa de Ross (1981) haciendo lasKernel LiDense (f )1
siguientes hipótesis. Se considera una distribuciónWanner et al. (1995) formula el kernel geométri-
isótropa de elementos dispersores (hojas) en unco LiDense para modelar la reflectividad en cubier-
medio turbio sobre una superficie plana y lamber-tas vegetales densas donde no puede despreciarse
tiana. Se asume que la reflectividad de estos ele-las sombras mutuas entre los árboles pero donde
mentos dispersores es igual a su transmisividadpuede despreciarse la fracción de suelo desnudo
(esta hipótesis es válida, en general, para la vege-que resulta iluminada:
tación tanto en el visible como en el infrarrojo cer-
cano pero resulta más difícil de aceptar en los sue-
los). Se considera que la cubierta vegetal es densa
y presenta valores altos del índice de área foliar
(LAI>>1). Bajo estas hipótesis, el kernel RossT-(8)
hick viene dado por la expresión:
DLa función f se representa en la Figura 4. Se1
Dobserva que con la aproximación LiDense, f , se1
evitan las soluciones no físicas que presentan los
R Skernels geométricos de Roujean, f , y LiSparse, f
1 1 (9)
S’y f , que divergen para ángulos cenitales grandes,
1
porque ahora se consideran las sombras mutuas
donde x es el ángulo de fase, entre las copas de los árboles (comparar la Figura 4
con las Figuras 1, 2 y 3). La inclusión de estas som-
-1bras produce, también, picos más pronunciados en x = cos (cosq cosq + sin q sinq cosf)
i v i v
la dirección de retrodispersión para el kernel
LiDense en comparación con el resto de kernels La figura 5 muestra el comportamiento de la fun-
Kgeométricos considerados. ción f en el plano principal y en el plano ortogo-2
KPor otra parte, entre los distintos kernels de volu- nal. La función f presenta un mínimo en el plano2
men existentes, destacamos los siguientes: principal en la dispersión hacia delante. En el plano
ortogonal, como en el resto de kernels, la variación
K K KKernel RossThick (f ) de f con q presenta simetría respecte al nadir. f2 2 v 2
Este kernel introducido por Roujean et al. aumenta con q , cuando q es suficientemente gran-v v
(1992) se obtiene a partir del modelo de transfe- de, para cualquier ángulo f.
DFigura 4. Comportamiento del kernel geométrico LiDense (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal para tres
1
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º) y con la selección de parámetros b/r =1, h/b=2.
i
70 N.º 23 - Junio 2005Revisión de los modelos paramétricos de BRDF
KFigura 5. Comportamiento del kernel volumétrico RossThick (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal para tres
2
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).
i
Khs KhsKernel RossThick modificado (f ) La función f se representa en la Figura 6.2 2
Maignan et al. (2004) incorporan en el kernel Las diferencias entre el kernel RossThick origi-
-1 K KhsRossThick un factor 1 + (1+ x /x ) que reproduce, nal, f , y el kernel modificado, f , se manifies-
0 2 2
de acuerdo con el modelo de Bréon et al. (2002), el tan en la geometría del hot spot (plano principal,
Kaumento que se produce en la reflectividad cuando q = q ): f no reproduce el efecto hot spot mien-
i v 2
Khsse considera el efecto hot spot. Así, la versión modi- tras que f , como era de esperar, aumenta rápi-
2
ficada del kernel RossThick toma la forma: damente cuando el ángulo de observación se
aproxima a la dirección de retrodispersión (com-
parar Figuras 5 y 6).
NKernel RossThin (f )2
El kernel RossThin fue introducido por Wanner(10)
et al. (1995) para el caso de una cubierta vegetal
poco densa (LAI<<1). La formulación de este ker-
x es un ángulo característico relacionado con el nel es:0
tamaño de los elementos dispersores y la densidad
vertical de la escena. Se toma el valor constante x
0
= 1.5º observado en la mayoría de superficies a
(11)diferentes escalas (Bréon et al., 2002; Camacho-
Coca et al., 2004b).
KhsFigura 6. Comportamiento del kernel volumétrico RossThick modificado por Maignan et al. (2004) (f ) en el plano prin-
2
cipal y en el plano ortogonal para tres ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).
i
N.º 23 - Junio 2005 71A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
Nf se representa en la Figura 7. Los kernels un valor máximo en la geometría del hot spot (q =2 i
K NRossThick, f , y RossThin, f , no presentan dife- q ) (Figuras 1, 2, 3 y 4).2 2 v
rencias significativas para ángulos cenitales peque- Por su parte, la forma que presentan los kernels
ños, pero con la aproximación RossThin la reflecti- de volumen viene gobernada por la función de fase
vidad aumenta más rápidamente para ángulos y por la orientación de las hojas, que determinan un
Ncenitales grandes, es decir, f presenta una forma aumento de la reflectividad con el ángulo cenital q2 v
Kcóncava más pronunciada que f (comparar Figu- (Figuras 5, 6 y 7). Esta tendencia es característica2
ras 5 y 7). del gap effect, efecto que produce un aumento de la
Las principales diferencias entre los kernels geo- reflectividad a medida que aumenta q , indepen-v
métricos y los de volumen residen en que mientras dientemente del plano de observación. Consideran-
los kernels geométricos, f , presentan una forma do solamente la influencia del gap effect, la forma1
convexa y muestran grandes diferencias entre el de la BRDF seria la de un bol cóncavo con simetría
plano principal y el plano ortogonal (véanse Figu- acimutal y centrado en el valor del nadir.
ras 1, 2, 3 y 4); las funciones de volumen, f , pre- En principio, los distintos kernels geométricos y2
sentan una dependencia menor con el ángulo aci- volumétricos introducidos en esta sección pueden
mutal y presentan una forma cóncava con una combinarse libremente para formar diferentes
tendencia a aumentar para ángulos cenitales gran- modelos kernel-driven de la forma mostrada en la
des (Figuras 5, 6 y 7). ecuación 2. Así, cualquier combinación de un ker-
La forma que presentan los kernels geométricos y nel geométrico con uno volumétrico dará lugar a un
de volumen puede interpretarse en términos de los modelo. Pero dado que los modelos son sensibles al
mecanismos físicos que explican la anisotropía de la muestreo angular y a las características de la super-
BRDF: el gap effect, o efecto hueco, y el backshadow ficie, según el sensor que se utilice y el tipo de
effect, o efecto de dispersión direccional (Sandmeier cubierta vegetal, unas combinaciones de kernels
et al., 1998; Camacho-de Coca et al., 2002). resultan más efectivas que otras para reproducir la
Los kernel geométricos pueden relacionarse con BRDF observada. En la práctica, se utiliza la com-
el backshadow effect o efecto de dispersión direc- binación de kernels Roujean-RossThick (modelo de
cional. En este sentido, su forma viene dada por la Roujean) para procesar los datos del sensor POL-
cantidad de sombras que son visibles o quedan DER, VEGETATION o SEVIRI. Mientras que el
ocultas al sensor, y que determinan que la reflecti- algoritmo utilizado para calcular los productos
vidad disminuye a medida que la dirección de BRDF y albedo de MODIS se basa en invertir en
observación, q , se separa de la dirección de ilumi- paralelo diferentes combinaciones de kernels: LiS-v
nación, q . Por este motivo, las funciones f presen- parse(recíproco)-RossThick, LiDense-RossThick,i 1
tan una fuerte dependencia con el ángulo acimutal LiSparse(recíproco)-RossThin y LiDense-RossThin,
y, en el plano principal, disminuyen en la dispersión para encontrar el modelo que mejor se ajusta a las
hacia delante y aumentan en la retrodispersión, con observaciones (Strahler et al., 1999).
NFigura 7. Comportamiento del kernel volumétrico RossThin (f ) en el plano principal y en el plano ortogonal para tres2
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).i
72 N.º 23 - Junio 2005Revisión de los modelos paramétricos de BRDF
Modelos empíricos lineales global sobre una gran variedad de superficies
(Strahler et al., 1999). Sin embargo, este modelo no
Los modelos empíricos lineales pueden conside- verifica el principio de reciprocidad y no tiene en
consideración el efecto hot spot.rarse como modelos del tipo kernel-driven, donde
los kernels son ahora funciones empíricas (Wanner
et al., 1995). Un ejemplo de este tipo de modelos es Modelo de Walthall modificado (MW)
el modelo de Walthall, introducido por Walthall et Nilson and Kuusk (1989) proponen una variante
al. (1985), y modificado posteriormente por Nilson mejorada del modelo de Walthall, recíproca respec-
and Kuusk (1989). to a los ángulos de observación y de iluminación.
Expresan la reflectividad de la forma:
Modelo de Walthall (W)
Walthall et al. (1985) desarrollan un modelo sim-
ple de tres parámetros (p , p , p ) que permite0 1 2
modelar la reflectividad de las cubiertas vegetales y
(13)
de los suelos en función del ángulo cenital de
visión, q , y del acimutal relativo, f, de la forma donde p (l) son los cuatro parámetros del modelo.v i
siguiente: En la Figura 9 mostramos una representación que
ilustra el comportamiento de los términos del
modelo de Walthall en esta versión modificada.
(12) Modelos semiempíricos no lineales:
modelos multiplicativos
2El termino q describe la forma cóncava de la Rahman et al. (1993) proponen de manera alter-v
BRDF asociada al gap effect (Figura 8). El termino nativa a los modelos lineales de tipo kernel-driven,
q cosf proporciona una dependencia lineal entre la un modelo semiempírico no lineal donde la reflec-v
reflectividad y el ángulo q que permite describir la tividad se expresa como el producto de una serie dev
anisotropía de la BRDF y el aumento que se produ- términos t que actúan como factores de peso,n
ce en la reflectividad en la retrodispersión. Este aumentando o disminuyendo, en un cierto dominio
segundo término, por tanto, recoge básicamente la angular, rasgos particulares en la dependencia
influencia del backshadow effect. Finalmente, el angular de la reflectividad, y controlando aspectos
termino constante, p , representa el valor de la básicos de la forma de la BRDF:2
reflectividad en el nadir.
El modelo de Walthall permite una inversión sim-
ple, rápida y analítica, y se ha mostrado como uno (14)
de los modelos más robustos en estudios a escala
Figura 8. Comportamiento de los términos del modelo Walthall en la forma original (W) en el plano principal y en el plano
ortogonal para tres ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).
i
N.º 23 - Junio 2005 73A. Verger, F. Camacho-de Coca y J. Meliá
Figura 9. Comportamiento de los términos del modelo Walthall en la forma modificada por Nilson and Kuusk (1989) (MW)
en el plano principal y en el plano ortogonal para tres ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º).
i
donde f son los parámetros del modelo. Los mode- donden
los de este tipo se llaman modelos multiplicativos
(Lucht and Roujean, 2000).
(16)Modelo RPV
El modelo de Rahman-Pinty-Verstraete (RPV)
(Rahman et al., 1993) aproxima la reflectividad
como el producto de tres funciones: la primera, se
(17)basa en la función empírica de Minnaert (M) y des-
cribe la concavidad de la BRDF (está relacionada,
por tanto, con el gap effect); la segunda, es la fun-
ción de fase Henyey-Greenstein (P) que describe la
anisotropía de la BRDF entre la dispersión hacia (18)
delante y la retrodispersión (relacionada con el
backshadow effect); y el tercer termino, tiene en
cuenta, explícitamente, el efecto hot spot (H). De yr , k,Q son los tres parámetros libres del modelo.0
esta manera, la reflectividad se expresa de la forma: En la Figura 10, se representa la variación de los
términos M, P y H del modelo RPV con el ángulo
cenital de observación q tanto en el plano principalv
como en el plano ortogonal. Los coeficientes r , k y0(15) Q que se utilizan en esta representación son los que
Figura 10. Comportamiento de los términos M, P y H del modelo RPV en el plano principal y en el plano ortogonal para tres
ángulos de iluminación diferentes (q = 0º, 30º, 60º) y con coeficientes r = 0.30, k = 0.71, Q = -0.03 (alfalfa a 803 nm).i 0
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