Bac blanc 2014 de mathématiques pour les séries ES et L

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• Publié par: LEtudiant.fr
• Publié le: 09 mai 2014
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• Langue: Français

Extrait

TERMINALE ES – TERMINALE L
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
3 h
BACCALAUREAT BLANC – FEVRIER 2013
LYCEE DE LA PLAINE DE L'AIN
Ex ercice 1 : ( 4 points ) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS
Pour chaque affirmation, vous devez dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Une réponse non justifiée n'apportera aucun point.
kp(X=k) p(X<=k)
00,0047 0,0047
10,0305 0,0353
20,0916 0,12681) La variable aléatoire X suit une loi Binomiale
30,1700 0,2969
B(15 ;0,30) . 40,2186 0,5155
50,2061 0,7216On a copié ci-contre la page tableur associée à
60,1472 0,8689
cette loi 70,0811 0,9500
80,0348 0,9848X« La probabilité que la variable aléatoire soit
90,0116 0,9963
strictement supérieure à 9 et inférieure ou égale 10 0,0030 0,9993
11 0,0006 0,9999
à 12 est égale à 0,37%. »
12 0,0001 1,0000
13 0,0000 1,0000
14 0,0000 1,0000
15 0,0000 1,0000
2) Dans un échantillon de 200 voitures mises en service depuis 6 mois par un loueur de
véhicules, on constate que 182 véhicules n'ont eu aucun sinistre.
« L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion de voitures
mises en service depuis 6 mois et n'ayant eu aucun sinistre est I = [0,84;0,98] en
#2arrondissant les bornes de l'intervalle à 10 près. »
3) Un journaliste affirme que, dans la population des lycéens, 80 % des élèves déclarent
envoyer au moins un texto par jour pendant les heures de cours.
Un professeur qui n’en croit pas ses yeux décide de tester cette affirmation.
Pour cela, il constitue un échantillon de taille 100 dans cette population.
58 élèves déclarent effectivement envoyer au moins un texto par jour pendant les heures de
cours.
« Avec cette étude, le professeur va décider qu'il ne peut pas contredire le journaliste. »
4) Avec un échantillon de 800 personnes, on a obtenu un intervalle de confiance noté I , de
niveau 95 % pour la proportion de malades du sida dans une population.
« Si on veut que la longueur de l'intervalle I soit divisée par 4, il faut multiplier la taille de
l'échantillon par 4. »Ex ercice 2 : ( 5 points) POUR LES CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI
L'ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE
Le nombre d'arbres d'une forêt, est modélisé par la suite (u ) où u désigne le nombre d'arbres, en n n
milliers, au cours de l'année (2010+n) .
En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme
3 000d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter
arbres.
1) a) Montrer que la situation peut être modélisée par :
u =50 et pour tout entier naturel n , par la relation u =0,95u +3 .0 n+1 n
b) Calculer u1
2) On considère la suite (v ) définie pour tout entier naturel n par v =60#u .n n n
a) Calculer v et v0 1
b) Montrer que la suite (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.n
c) Déterminer l'expression de v en fonction de nn
nd) Démontrer que pour tout entier naturel n , u =60#10×(0,95)n
3) Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée
arrondie à l'unité.
n4) a) Vérifier que pour tout entier naturel n , on a l'égalité u #u =0,5×(0,95)n+1 n
u #u (u )b) Etudier le signe de et en déduire les variations de la suite .n+1 n n
5) On considère l'algorithme suivant
Entrée Saisir A
Traitement N prend la valeur 0
U prend la valeur ….....
Tant que …⩽A
U prend la valeur U×0,95+3
N N+1 prend la valeur
Fin Tant que
Sortie Afficher ….
Compléter sur l'annexe les parties manquantes afin que cet algorithme permette de
déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le
nombre d'arbres de la forêt en 2010. Quelle valeur devra-t-on entrer pour A ?
6) Déterminer la limite de la suite (u ) . Interpréter.nEx ercice 2 : ( 5 points) POUR LES CANDIDATS AYANT SUIVI
L'ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A :
L’économie d’un pays fictif dépend de trois secteurs : l’agriculture, les biens manufacturés et
l’énergie. Une unité de production s'exprime en milliard d’euros.
Pour pouvoir fonctionner, chaque secteur nécessite l’utilisation d’une partie de la production des
autres secteurs et d’une partie de sa propre production. Ces secteurs doivent, en outre, satisfaire les
besoins de la population. On parle alors de modèle ouvert car il y a demande extérieure aux trois
secteurs. Les tableaux des entrées-sorties ci-dessous détaillent ces échanges durant une année :
Agriculture Biens Energie Besoins de la
manufacturés population
0,293Produire 1 unité 00 13,2 unités
d'agriculture consomme d'agriculture
0,014 0,207 0,017Produire 1 unité de biens 17,6 unités de
manufacturés consomme biens
manufacturés
0,044 0,01 0,216Produire 1 unité 1,8 unités
d'énergie consomme d'énergie
Afin d’avoir une économie équilibrée, la production totale de ces secteurs doit couvrir les besoins
des secteurs et de la population. On se propose de déterminer les productions de l’agriculture, des
biens manufacturés, de l’énergie pour que l’économie soit équilibrée.
On note respectivement x, y et z le nombre d’unités produites par l’agriculture, les biens
manufacturés et l’énergie pendant une année.
1) Expliquer pourquoi 0,014x+0,207y+0,017z+17,6 = y
puis écrire des équations analogues pour tous les secteurs.
x 13,2
2) Montrer que le système obtenu s’écrit A ×P +D = P où P= , D= y 17,6( ) ( )z 1,8
Aet une matrice carrée à préciser.
3) Interpréter en termes d’économie la matrice A×P.
4) Montrer que résoudre l’équation A ×P +D = P revient à résoudre l’équation
(I #A)×P=D I où est la matrice unité d’ordre 3.3 3
La matrice I #A est appelée matrice de LEONTIEF. 3
5) On pose L=I # A .3
Déterminer L, puis utiliser la calculatrice pour résoudre l’équation matricielle L ×P =D.6) Quelle doit être la production de chaque secteur pour que l’économie soit équilibrée ?
(on arrondira au dixième de milliard d’euros).
Partie B :
Mettre en œuvre un algorithme afin de déterminer le plus
court chemin pour aller de E à S.
Ex ercice 3 : ( 4 points ) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS
L’opérateur téléphonique BonTel propose à ses abonnés deux types d’accès internet à haut débit :
– un accès internet sur ligne fixe ;
– un accès 3G sur téléphone portable.
Aujourd’hui, l’entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés :
– 58 % des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24 % ont également
un accès 3G sur téléphone portable ;
– parmi les abonnés qui n’ont pas d’accès internet sur ligne fixe, 13 % ont un accès 3G sur
téléphone portable.
Rappels de notation : Soient A et B deux événements,
– la probabilité de l’événement A est notée p(A) ;
– p (A) désigne la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé ;B
– l’événement contraire de l’événement A est noté A .
Pour une enquête de satisfaction, la fiche d’un abonné est prélevée au hasard.
Dans cet exercice on note :
– F l’événement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe » ;
– G l’événement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable ».
p (G) p (G)1) En utilisant les données de l’énoncé, préciser les valeurs de p(F), de et de .F F
2) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
p(F∩G)3) Calculer . Interpréter ce résultat.
4) a) Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un abonné qui n’a pas d’accès
3G sur téléphone portable est de 0,8062.
b) Peut-on affirmer qu’au moins 25 % des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ?
5) On prélève successivement les fiches de troi