1L3 MASS Systemes dynamiques TD Corrige

Description

1L3 MASS 2005/06. Systemes dynamiques. TD 3[Corrige] Exercice 1 On considere l'equation differentielle dans le plan { dx dt = ax + bydy dt = cx + dy avec a, b, c, d ? R t.q. (a + d)2 > 4 (ad? bc) (1) 1. On pose X = [ x y ] . Verifier que (1)?? dXdt = A X ou A designe une matrice (2? 2) que l'on explicitera. 2. Determiner les valeurs propres ?1, et ?2, de la matrice A en fonction de sa trace tr(A), et de son determinant det(A). 3. Soit V1, et V2 deux vecteurs propres associes aux valeurs propres ?1, et ?2. Montrer que (V1, V2) forment une base de R2. Resoudre le systeme differentiel (1) dans cette base. 4. Decrire les portraits de phases, et discuter le comportement des solutions, dans les trois cas suivants : 1) ?1 < ?2 < 0 2) 0 < ?1 < ?2 3) ?1 < 0 < ?2 Solution : 1. On a clairement (1)?? dXdt = A X avec A = ( a b c d ) 2.

• siquement repere par la matrice diagonale


• dt

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Extrait

L3MASS2005/06.Syste`mesdynamiques.TD3[Corrig´e]

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Exercice 1 Onconsid`erel’´equationdiffe´rentielledansleplan  d d d d t x t y = = a cx x + + d by y avec a b c d ∈ R t.q. ( a + d ) 2 > 4 ( ad − bc ) (1) 1. On pose X =  y x  .Ve´rifierque (1) ⇐⇒ d d X t = A X ou` A designe une matrice (2 × 2) que l’on explicitera. ´ 2.D´eterminerlesvaleurspropres λ 1 , et λ 2 , de la matrice A en fonction de sa trace tr( A ) ,etdesond´eterminant de´t( A ) . 3. Soit V 1 , et V 2 deuxvecteurspropresassocie´sauxvaleurspropres λ 1 , et λ 2 . Montrer que ( V 1  V 2 ) forment une base de R 2 .Re´soudrelesyst`eme diffe´rentiel(1)danscettebase. 4.D´ecrirelesportraitsdephases,etdiscuterlecomportementdessolutions, dans les trois cas suivants : 1) λ 1 < λ 2 < 0 2) 0 < λ 1 < λ 2 3) λ 1 < 0 < λ 2 Solution : 1. On a clairement (1) ⇐⇒ d d X = A X avec A =  c ab d  t 2.Lepolynoˆmecaracte´ristiquede A estdonn´epar p ( λ )=de´t( A − λI )=d´et  a − c λ d b − λ  = ( a − λ )( d − λ ) − bc = ( ad − bc ) − λ ( a + d ) + λ 2 = λ 2 − λ tr( A )+d´et( A ) =  λ − tr( 2 A )  − 1 4 ×  tr( A ) 2 − 4d´et( A ) 