Algèbre linéaire : rappels et compléments
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Algèbre linéaire : rappels et compléments

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Maths MP Exercices Algèbre linéaire : rappels et compléments Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant et pendant le TD, tenez bon et n'allez pas les consulter ! 1 Quelques calculs effectifs Exercice 1 Pivotons... 1. Résoudre le système suivant :    x + 2y + 3z + 3t = −1 3x + y + z − t = 6 2x − y + z + 2t = 1 x + y + z + t = 0 2.
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Langue Français

Maths MP Exercices
Algèbre linéaire : rappels et compléments
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter!
1 Quelques calculs effectifs
Exercice 1 Pivotons...
1. Résoudre le système suivant :
8
>x + 2y + 3z + 3t = 1<
3x + y + z t = 6
2x y + z + 2t = 1>:
x + y + z + t = 0
2. Soient ; 2R. Résoudre le système d’inconnues (x;y) :

x + (1 +)y = 4
2x y = 9 +
8
x y + z + t = 2><
2x + y 3z + 2t = 3
3. Résoudre le système
4x y z + 4t = 1>:
x 4y + 6z + t = 9
4. Pour quelles valeurs de 2C le système suivant possède-t-il une unique solution?
8
<x + y = 3
2x 3y = 1
:
x + y = 2
Exercice 2 Donner le rang des matrices suivantes :
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 3 0 0 1 1 1 a b
@ A @ A @ A @ A @ A @ A0 0 1 ; 2 1 2 ; 1 1 1 2 ; 1 2 3 4 1 ; 1 0 1 ; b 1 a :
1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 0 1 1 1 0 a b 1
Exercice 3 Déterminer l’inverse des matrices suivantes :
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 @ A @ A @ A @ A; 1 0 1 ; 2 0 1 ; 0 0 1 ; 1 1 0 :
1 1
1 1 0 3 1 0 1 0 0 1 0 1
Exercice 4 Pour chacune des matrices A , exhiber P et Q inversibles telles que P A Q = J . Oni i i i i i ri
mettra si possible en œuvre la méthode géométrique et la méthode par opérations élémentaires (pour
ceux qui connaissent!) :
0 1 0 1
1 0 1 1 1 2 3 0
1 2 1 2 @ A @ AA = A = A = 1 1 0 A = 1 2 3 4 11 2 3 4
3 4 2 4
1 0 1 3 2 1 0 1
0 1
2 1 3 3
B C3 2 1 1 4B CExercice 5 Soit A = . On note u l’endomorphisme de E =R représenté par A@ A4 1 2 1
1 2 3 7
dans la base canoniqueE de E.
16
1. Trouver une base du noyau de u; compléter pour avoir une base de E.
2. Trouver une base de l’image de u; pour avoir une base de E.
0 1
1 1 0 1
B C1 0 1 2B C
4 5B C3. Recommencer avec cette fois B = 1 2 1 0 représentant v2L(R ;R ).B C
@ A2 1 1 3
0 1 1 1
Exercice 6 «Trouver une équation d’un hyperplan» consiste à donner une forme linéaire dont il est
3le noyau. Par exemple dans R , H = Vect(e ;e ) (avec (e ;e ;e ) la base canonique) est le noyau de1 2 1 2 3
(x;y;z)7!x : «H a pour équation x = 0 dans la base canonique».
1. On suppose que (f ;:::;f ) est une famille libre dont on connaît les coordonnées dans une basse1 n 1
E. Expliquer comment obtenir une équation deH dansE en pivotant sur les colonnes d’une matrice
(n;n) bien choisie.
22. Trouver une équation de la droite deR engendrée par (1; 2).
33. Trouver une du plan deR engendré par (1; 2; 3) et (4; 5; 6).
Exercice 7 Évaluer la complexité des différents pivots pour les algorithmes mis en œuvre dans les
exercices précédents.
Il s’agit d’évaluer (à la louche) le nombre de sommes/produits effectués dans le cas de matrices (n;n)
n 2 4(on se fiche des constantes : est-ce plutôt du 2 , n , n , n!?)
2 Espaces vectoriels, applications linéaires
2.1 Sous-espaces; familles libres, génératrices
Exercice 8 Mines 2010
Soient E et E deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que E [E est un sous-espace de E si et1 2 1 2
seulement si E E ou E E .1 2 2 1
Exercice 9 X 2010 (PC)
i xkSoient ;:::; 2 [0; 2[ distincts deux à deux, et pourk2 [[1;n],f :x7! e . Montrer que (f ;:::;f )1 n k 1 n
est libre.
Exercice 10 Mines 2010 (PC)
1
Soient E =C(R;R) et, pour k2 [[1;n]], f :x7! La famille (f ;:::;f ) est-elle libre?k 1 n2 2x +k
2.2 Applications linéaires
Exercice 11 Mines 2010 (PC)
3 2 nSoient E un espace vectoriel et u2L(E) vérifiant 2u + 5u 3u = 0. Exprimer, pour n > 3, u en
2fonction de u et u .
Exercice 12 Mines 2010 (PC)
Soient f2L(E) et T :g7!fg gf. On suppose f nilpotent. Montrer que T l’est également.
Exercice 13 CCP 2008
Soient E unK-espace vectoriel de dimension infinie, et f;g2L(E) vérifiant fg = Id .E
1. Montrer que Ker (gf) = Ker (f).
2. Montrer que Im (gf) = Img.
3. Montrer que E = Im (g) Ker (f).
Exercice 14 Mines 2010
0Soient u2L(E) et P2K[X] tels que P (f) = 0, P (0) = 0 et P (0) = 0. Montrer : E = Kerf Imf.
2Exercice 15 Théorèmes de factorisation
Soient E, F et G troisK espaces vectoriels.
1. Soient u2L(E;F ) et v2L(E;G). Montrer qu’il existe w2L(F;G) tel que v = wu si et
seulement si Ker (u) Ker (v).
2. Soient u2L(E;G) et v 2L(F;G). Montrer qu’il existe w2L(F;E) tel que v = uw si et
seulement si Im (v) Im (u).
2.3 Dimension finie
Exercice 16 CCP 2010 (PC)
nSoient n> 2, et p un projecteur deR de rang r2 [[1;n 1]]. Calculer le rang du commutant de p.
Exercice 17 X 2010 (PC)
Soient E un espace de dimension finie et u2L(E). Montrer que Ker (u) = Im (u) si et seulement si
uu = 0 et dim(E) = 2rg(u).
Exercice 18 INT 2009 (PSI)
Soient E un R-espace vectoriel de dimension n, et f2L(E) tel que ff = Id . Montrer que n estE
pair.
Exercice 19 CCP 2007
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f2L(E).
21. Montrer que si Im (f) Ker (f) =E, alors Im (f) = Im (f ).
2 22. Montrer que si Im (f) = Im (f ), alors Ker (f) = Ker (f ).
Exercice 20 Mines 2010 (PC)
SoientE unespacevectorieldedimensionn,f etg dansL(E)telsquef +g = Id ,avec rg(f)+rg(g)6n.E
Montrer que Im (f) Im (g) =E, puis que f et g sont des projecteurs.
Exercice 21 Centrale 2010 (PSI)
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f;g2L(E) tels que E = Im (f) + Im (g) = Ker (f) +
Ker (g).
1. Montrer que les sommes sont directes.
2. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
3 Polynômes, fractions rationnelles
3.1 Racines, factorisations
Exercice 22 CCP 2007, 2008
2n nSoient n2 N et P = X 2 cos(n )X + 1. Factoriser P en éléments irréductibles dans C[X] puis
R[X].
Exercice 23 X 2010 (PC)
2Déterminer les P2C[X] tels que P (X ) =P (X)P (X + 1).
Exercice 24 Mines 2010
Déterminer les P2C[X] tels que (X + 4)P (X) =XP (X + 1).
Exercice 25 Centrale 2010
Déterminer les P2R[X] tels que (X + 3)P (X) =XP (X + 1).
Exercice 26 Mines 2010
nSoient n> 2 et a;b2R. Quel est le nombre de racines réelles de X +aX +b?
3Exercice 27 Mines 2010
Soient P simplement scindé surR et a2C. Que dire des racines complexes de P a?
2m+1 2m+1 Exercice 28 Factoriser (X +i) (X i) (m2N ) en produit d’irréductibles.
mY k
En déduire une expression de cotan
2m + 1
k=1
3.2 Qui n’a pas son polynôme?
Beaucoup de polynômes rencontrés ici sont des polynômes orthogonaux pour un certain produit
scalaire : il en sera question plus tard.
Exercice 29 Mines 2010 (polynômes de Hilbert)
On définit H = 1, H =X et plus généralement, pour n2N :0 1
X(X 1)::: (X n + 1)
H = n
n!
1. (question que j’ai ajoutée) Exprimer H (20) à l’aide d’un coefficient binomial. Même chose pour15
H ( 10).15
2. Montrer que pour tout n2N et tout p2Z, on a H (p)2Z.n
3. Soit P2R[X]. Montrer qu’il y a équivalence entre :
(a) Pour tout p2Z, P (p)2Z.
(b) Il existe ;:::; 2Z tels que P = H + H + + H .0 n 0 0 1 1 n n
Exercice 30 Polynômes de Tchebychev
1. Montrer que pour tout n2N, il existeT ;U 2R[X] tel que pour tout2R, cos(n ) =T (cos)n n n
et sin ((n + 1)) = sinU (cos).n
2. Donner les premiers T et U , ainsi que le terme dominant de T et U , pour tout n2N.n n n n
3. Factoriser T et U en produit d’irréductibles.n n
Exercice 31 Polynômes de Legendre
(n)2 nOn définit, pour n2N, L = (X 1) .n
1. Déterminer le terme dominant de L .n
2. Montrer que L possède n racines simples dans ] 1; 1[.n
(k)n nOn pourra s’intéresser aux racines de ((X 1) (X + 1) ) ...
Exercice 32 Polynômes d’Hermite
(n)
2 2n x =2 x =2Montrer que pour tout n2N, l’application H :x7! ( 1) e e est polynomiale.n
Discuter le degré, coefficient dominant et la parité de H .n
Exercice 33 Polynômes de Laguerre
x e (n)x nMontrer que pour tout n2N, l’application L :x7! e x est polynomiale.n
n!
Discuter le degré, coefficient dominant et la parité de L .n
Exercice 34 Polynômes de Bernoulli
Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes (B ) telle que B = 1 et pour tout n2 N,n n2N 0Z 1
0B = (n + 1)B et B = 0.n nn+1
0
1. Déterminer B et B .1 2
2. Donner le degré et le coefficient dominant de B .n
43. Prouver :
n n 1
B (1 X) = ( 1) B (X); B (X + 1) B (X) =nX ;n n n n
B (0) =B (1) et B (0) = 0:n n 2n+1
Exercice 35 Polynômes de Unnamed
n nMontrer que pour tout n2N, il existe F ;G 2R [X] tels que X F + (1 X) G = 1.n n n 1 n n
3.3 Divers
Exercice 36 CCP 2007, 2009
0Soient E =R [X] et f2L(E) définie par f(P ) =P P .n
1. Montrer que f est bijective de deux manières :
(a) avec une matrice;
(b) sans!
2. Soit Q2R[X]. Comment trouver P2R[X] tel que f(P ) =Q?
Exercice 37 CCP 2007
Soit ’ l’endomorphisme de E =R [X] défini par ’(P ) =P (X) P (X 1).n
1. Écrire la matrice de ’ dans la base canonique de E.
2. En déduire l’image et le noyau de ’.
Exercice 38 CCP 2009
Dans E =R [X], soient u :P7!P (X + 1) et v :P7!P (X 1).n
1. Trouver la matrice de u v dans la base canonique de E, puis le rang de u v.
2. Retrouver le rang de u v sans calculer la matrice.
Exercice 39 Mines 2009
0Soit P2R[X] scindé surR. Montrer que P est scindé surR.
Exercice 40 TPE 2008
2SoitP2R [X] ayantn racines simples dansR. Montrer queP + 1 n’a que des racines simples dansC.n
Exercice 41 X 2010 (PC)
Soient r2R et n un entier> 2.
k1. Montrer qu’il existe un unique polynôme P2R [X] tel que P (k) =r pour tout k2 [[1;n]].n 1
2. Que vaut alors P (n + 1)?
3.4 Des décompositions en éléments simples
Exercice 42 Mines 2009
1
Soit p2N . Décomposer en éléments simples
X(X + 1)::: (X +p)
Exercice 43 Décomposer en éléments simples les fractions suivantes :
2 2 2X + 1 X + 1 X + 1 X + 1
; ; ;
7 4 2 3 2 2 3 2(X 1) X +X + 1 (X + 1) (X + 1) (X X + 1)
1
Exercice 44 Décomposer en éléments simples (T est le nème polynôme de Chebichev).n
Tn
Exercice 45 Mines 2010
51. Montrer l’existence de F2R(X) telle que :
8t2R; tanh(5t) =F (tanht):
2. Décomposer F en éléments simples.
Exercice 46 Théorème de Gauss-Lucas
0SoitP2C[X] de racines distinctes (éventuellement multiples) z ;:::;z . On note! une racine deP qui1 n
n’est pas racine de P, et on se propose de montrer que ! est dans «l’enveloppe convexe» des z (le plusi
petit polygone qui les contient).
n0 XP
1. En considérant , établir une relation de la forme (w z ) = 0, avec les dansR .i i i +
P
i=1
2. Conclure
4 Calcul matriciel
Exercice 47 Déterminer les matrices deM (K) commutant avec toutes les autres matrices deM (K),n n
puis celles commutant avec toutes les matrices inversibles.
Exercice 48 Mines 2010
Déterminer les endomorphisme de E (de dimension finie) ayant même matrice dans toutes les bases de
E.
Exercice 49 TPE 2010
2Soit A2M (C) telle que rg(A) = tr(A) = 1. Montrer : A =A.n
Exercice 50 CCP 2007
2 1 nSoit A = . Calculer A pour n2N.
1 2
Exercice 51 CCP 2008
3Soit A2M (C) non colinéaire à I et telle que (A +I ) = 0.n n n
11. Montrer que A est inversible et exprimer A en fonction de A. Donner un exemple d’une telle
matrice.
2. (pour les 5=2) A est-elle diagonalisable?
k3. Calculer A pour tout k2N.
Exercice 52 X 2010 (PC)
t1. Soit A2M (C). À quelle condition existe-t-il X;Y 2M (C) telles que A =XY ?n n;1
2. Soit A2M (C) de rang r. Montrer qu’il existe X ;:::;X ;Y ;:::;Y 2M (C) telles que A =n 1 r 1 r n;1
rX
tX Y .i i
i=1
Exercice 53 X 2010 (PC) Faux exo matriciel!
3Soient (n;p;q)2 (N ) , P2M (K), Q2M (K).n;p p;q
n1. On suppose que les colonnes de Q engendrentK . Montrer que rg(PQ) = rg(P ).
n2. On suppose que les lignes de PtK . Montrer que rg(PQ) = rg(Q).
Exercice 54 Mines 2010
Soit M2M (K) de rang 1. Donner une CNS pour que I +aM soit inversible. Calculer ensuite sonn n
inverse.
66
Exercice 55 Mines 2010 (PC)
2Soient A;B2M (R) telles que rg(AB BA) = 1. Calculer (AB BA) .n
Exercice 56 Mines 2010 (PC)
Soient A2M (R). Montrer que A est inversible si et seulement si il existe un polynôme P2R[X] teln
que P (A) = 0 et P (0) = 1.
Exercice 57 Centrale 2010
Soit SL (Z) l’ensemble des matrices deM (Z) de déterminant 1. Montrer que c’est un groupe, et qu’il2 2
1 1 0 1
est engendré par T = et S = .
0 1 1 0
Exercice 58 Centrale 2010
Soit A2M (C) telle que a = a pour tout i, et a = b pour tout i = j. Donner une conditionn i;i i;j
nécessaire et suffisante sur (a;b) pour que A soit inversible. Le cas échéant, donner son inverse.
Exercice 59 X 2010 (PC)
tSoit A2M (R). Déterminer les M2M (R) telle que M + M = (trM)A.n n
Exercice 60 X 2010 (PC), Mines 210 (PC)
Soient a2C et f :P2C[X]7!P (X +a) P (X).
n1. Calculer f .
nX n n k p2. En déduire, pour p<n, la valeur de S = ( 1) k .n;p
k
k=0
Exercice 61 X 2010 (PC)
Soit n> 2. On définit pour k2 [[1;n] :
2
N =fA2M (K); 8i>j k; a = 0g et (N ) =fABjA;B2Ng:k n i;j k k
21. Si k2 [[1;n 1]], montrer : (N ) N N .k k+1 k
2. Si k2 [[1;n], on définitT =fI +AjA2Ng. Montrer queT est un sous-groupe de GL (K).k k k n
Exercice 62 X 2010 (PC)
Déterminer le sous-espace deM (C) engendré pas les matrices nilpotentes.n
Exercice 63 Mines 2010 (PC)
Soient A;B2M (C). Existe-t-il M2M (C) telle que M + (trM)A =B?n n
Exercice 64 Mines 2010 (PC)
Soient A;B2M (R) et P2R[X] non constant tels que P (0) = 1 et P (A) = BA. Montrer que A estn
inversible et et que A et B commutent.
Exercice 65 Mines 2010 (PC)
2Soient (e ;e ) une base deR , etC =fae +be ; a;b2Zg. Déterminer lesf2L(E) tels quef(C) =C.1 2 1 2
Exercice 66 Centrale 20100 1
2 n1 a a a
n 1B C0 1 a aB C
B. . C. .. . . . qB C. .Soit A = . 1 . 2M (C). Calculer A pour q2Z.n+1B C
B C. . .. . .@ A. .. a
0 0 1
Exercice 67 Limite de matrices de rang 6r (difficile)
71. Exhiber une suite de matrices de rang 10 convergeant vers une matrice de rang 2.
On se propose de montrer que dans l’autre sens, ce n’est pas possible : «à la limite, le rang diminue
(au sens large)»
Onsuppose:M ! M avecM derangr,etonveutmontrerquepourk assezgrand, rg(M )>r.k k
k!+1
2. Avec le déterminant : montrer qu’il existe une «matrice extraite» (r;r) de M qui est inversible, et
conclure.
3. Par compacité : on raisonne par l’absurde.
(a) Montrer qu’on peut supposer que tous les M ont un rang strictement plus petit que r.k
(k)
(b) Montrer que pour tout k, il existe des dont le maximum (en module) vaut 1, et tels quei
rX
(k) (k) (k)
C = 0, avec C la kème colonne de M .ki i i
i=1
(c) Conclure.
Exercice 68 Décomposition LU (Lower/Upper)
Soit A2 GL (K) telle que tous les «mineurs principaux» (i.e. les déterminants des matrices extraitesn
(k;k) «en haut à gauche», pour k2 [[1;n]) soient non nuls.
En s’inspirant du pivot de Gauss, montrer qu’il existe L et U deux matrices triangulaires inférieures
et supérieures telles que A =LU.
Exercice 69 Décomposition de Bruhat
+Soit A2 GL (C). Montrer qu’il existe L2T (K) et U2T (K) telles que LAU soit une matrice den n n
permutation (i.e. : exactement un «1» par ligne et par colonne; des «0» partout ailleurs).
On s’inspirera de l’exercice précédent, que la décomposition de Bruhat généralise d’ailleurs.
5 Déterminants
Exercice 70 Centrale 2010 (PSI) 0 1
2 41 a a a
2 4B C1 b b b4 B CSoient (a;b;c;d)2C . Calculer le déterminant de 2 4@ A1 c c c
2 41 d d d
Exercice 71 Mines 2010
Soit A =Diag(1; 2; 1). Calculer le déterminant de M2M (R)7!AM +MA.3
Exercice 72 CCP 2008
a a1;1 1;2
Soit A = une application dérivable de I dansM (R).2
a a2;1 2;2