$Analyse de Fourier des fractions continues a quotients restreints$

Analyse de Fourier des fractions continues a quotients restreints

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Analyse de Fourier des fractions continues a quotients restreints 1 RESUME. Let A be a finite alphabet of positive integers with |A| ≥ 2, and F(A) , the set of numbers in [0, 1) whose partial quotients belong to A . We construct a Kaufman measure on every such set with Hausdorff dimension > 1/2 and establish, this way, the existence of infinitely many normal numbers in F(A) . This improves previous results of Kaufman and Baker.

analyse de fourier des fractions continues

kaufman measure

dimension de hausdorff

borne inferieure de la vitesse de convergence de µ

developpement en fraction continue

relecture soigneuse de la construction de kaufman

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Dimension de Hausdorff

Analyse de Fourier des fractions continues aquotients restreints

RESUM´E. ´ LetAbe a nite alphabet of positive integers with|A| ≥ and2 ,F(A the set) , of numbers in [0,1) whose partial quotients belong toA. We construct a Kaufman measure on every such set with Hausdorff dimension>1/2 and establish, this way, the existence of innitely many normal numbers inF(A) . This improves previous results of Kaufman and Baker.

ANALYSE DE FOURIER DES FRACTIONS CONTINUES A QUOTIENTS RESTREINTS

par Martine Queffe´lec et Olivier Ramare´

1. INTRODUCTION

Ilestint´eressantdeclasserlesensemblesdemesuredeLebesguenulle: onpeutconsid´ererleurcardinalite´,leurdimensiondeHausdorff,oupr´eciser le comportement des mesures (singulieres) qu’ils portent. 1.1 On sait que les nombres normaux (en toute base) sont de mesure pleine pour la mesure de Lebesgue, et Kahane & Salem [9] ont pos ´e la question suivante : soitµune mesure bore´lienne surTidentie´ a[0,1) dont latransform´eedeFouriertendvers0al’inni(µ∈M0(T est-il encore)) ; vrai queµ- presque tout nombre de [0, exemple ? en base 2 par1) est normal Autrement dit, est-ce que l’ensemble des nombres non-normaux en base 2 est ann l´ par toute mesure deM0(T) ? ou porte-t-il, au contraire, une mesure u e deM0(T) ?

DE´FINITION1.1. Un sous-ensembleE⊂Test ditde multiplicite´ (stricte) s’ilexisteunemesure(deprobabilite´)∈M0(T) telle queµ(E)6=0 .

Russell Lyons [11] a montre´ que l’ensembleW∗des nombres non-normaux enbase2e´taitdemultiplicite´enpre´cisantlaborneinf´erieuredelavitessede convergence deµˆ(n lorsque ,) vers 0µcharge positivementW∗. La re´ponse ala question de Kahane & Salem est donc : non. 1.2 Les nombres aquotients partiels borne´s sont de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue. Pour chaqueN≥2 , notonsF(N) l’ensemble des irrationnels de [0,1) dont le de´veloppement en fraction continue ne comporte que des entiers ∈ {1, . . . ,N}. C’est un compact de type Cantor, de mesure de Lebesgue

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