Analyse en ondelettes M-bandes en arbre dual ; application à ...

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THÈSE
soutenue le 13/12/2006 pour obtenir
le grade de Docteur en Sciences de l’Université de Marne la Vallée
Spécialité : Traitement du Signal
par
Caroline CHAUX
Analyse en ondelettesM bandes en arbre dual ;
application à la restauration d’images.
Composition de la commission d’examen :
Président : Michel BARLAUD
Rapporteurs : Patrice ABRY
Josiane ZERUBIA
Examinateurs : Amel BENAZZA BENYAHIA
Ali MOHAMMAD DJAFARI
Laurent DUVAL
Directeur de thèse : Jean ChristophePESQUET Remerciements
Je tiens en premier lieu à remercier mon directeur de thèse, M. Jean Christophe
PESQUET (Laboratoire d’informatique de l’IGM, Univ. Marne la Vallée), auprès duquel
j’ai énormément appris. Je le remercie pour toute l’attention et pour le soutien qu’il m’a
porté durant ces trois années. Il m’a communiqué sa volonté d’aller toujours plus loin et
j’ai pris un réel plaisir à effectuer cette thèse sous sa direction.
Je voudrais également remercier M. BARLAUD (Laboratoire I3S, Nice Sophia Antipolis)
d’avoir bien voulu présider le jury de thèse, M. ABRY (Laboratoire de physique, ENS Lyon)
et Mme ZERUBIA (INRIA, Sophia Antipolis) d’avoir acceptés de rapporter sur cette thèse,
Mme BENAZZA (Sup’Com Tunis), M. Ali Mohammad DJAFARI (LSS, Gif sur Yvette) et M.
DUVAL (IFP, Rueil Malmaison) d’avoir bien voulu participer à ce jury. Leurs remarques et
leurs questions pertinentes contribueront à mes futurs travaux de recherche.
Ces travaux ont été menés en collaboration avec M. DUVAL pour la partie sismique ...

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THÈSE soutenue le 13/12/2006 pour obtenir le grade de Docteur en Sciences de l’Université de Marne la Vallée Spécialité : Traitement du Signal par Caroline CHAUX Analyse en ondelettesM bandes en arbre dual ; application à la restauration d’images. Composition de la commission d’examen : Président : Michel BARLAUD Rapporteurs : Patrice ABRY Josiane ZERUBIA Examinateurs : Amel BENAZZA BENYAHIA Ali MOHAMMAD DJAFARI Laurent DUVAL Directeur de thèse : Jean ChristophePESQUET Remerciements Je tiens en premier lieu à remercier mon directeur de thèse, M. Jean Christophe PESQUET (Laboratoire d’informatique de l’IGM, Univ. Marne la Vallée), auprès duquel j’ai énormément appris. Je le remercie pour toute l’attention et pour le soutien qu’il m’a porté durant ces trois années. Il m’a communiqué sa volonté d’aller toujours plus loin et j’ai pris un réel plaisir à effectuer cette thèse sous sa direction. Je voudrais également remercier M. BARLAUD (Laboratoire I3S, Nice Sophia Antipolis) d’avoir bien voulu présider le jury de thèse, M. ABRY (Laboratoire de physique, ENS Lyon) et Mme ZERUBIA (INRIA, Sophia Antipolis) d’avoir acceptés de rapporter sur cette thèse, Mme BENAZZA (Sup’Com Tunis), M. Ali Mohammad DJAFARI (LSS, Gif sur Yvette) et M. DUVAL (IFP, Rueil Malmaison) d’avoir bien voulu participer à ce jury. Leurs remarques et leurs questions pertinentes contribueront à mes futurs travaux de recherche. Ces travaux ont été menés en collaboration avec M. DUVAL pour la partie sismique, Mme BENAZZA pour la partie multicomposantes, M. COMBETTES (Laboratoire Jacques Louis Lions, Univ. Paris VI) et Mme WAJS (Laboratoire Jacques Louis Lions, Univ. Paris VI) pour la partie « problèmes inverses » et je voudrais leur adresser mes remerciements pour m’avoir fait découvrir de nouveaux domaines d’applications, de nouvelles méthodes, de nouveaux outils. Les discussions que nous avons pu avoir m’ont beaucoup apporté, et pas uniquement du point de vue scientifique. Cette thèse a été effectuée dans l’Équipe Signal et Communications (elle même fai sant partie du Laboratoire d’informatique de l’Institut Gaspard Monge) dans laquelle j’ai été très bien accueillie et au sein de laquelle j’ai pu excercer mes travaux de recherche dans de très bonnes conditions. Je remercie tous les membres de cette équipe pour leur aide, pour les discussions que nous avons eues, pour leurs précieux conseils. Je voudrais également remercier Mme Wiecha, Mme Fonfrède et M. Hérault pour m’avoir aidée à résoudre tous les problèmes d’ordre administratif, informatique etc. ren contrés au cours de cette thèse. Je remercie également toute ma famille qui m’a soutenue durant ces trois années. Une attention toute particulière se tourne vers mon compagnon Xavier, qui a réussi à me supporter tout au long de ce sinueux chemin et qui a toujours su se montrer positif vis à vis de mon travail, même dans les moments les plus difficiles. D’autres personnes ont aussi contribué à cette thèse : merci à mes amis, collègues... Bon courage pour les actuels doctorants. Table des matières Remerciements 3 Table des matières 5 Résumé 9 Abstract 11 Glossaire 13 1 Introduction 15 2 Rapide état de l’art sur les ondelettes 23 2.1 Représentation des signaux monodimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Transformée en continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Analyse multirésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Introduction à la notion de trame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Transformée en ondelettesM bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.5 Ondelettes biorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.6 Décomposition en paquets d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Représentation des signaux bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Transformée en ondelettes bidimensionnelle séparable . . . . . . . 29 2.2.2 Analyse en bancs de filtres non séparables . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Filtres orientables (steerable filters) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Ondelettes à caractère géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 AnalyseM bandes en arbre dual 39 3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Construction des paires de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Conditions suffisantes pour obtenir les décompositions duales . . . 40 3.2.3 Solution du problème : dans le cas d’une phase linéaire . . . . . . . 41 3.2.4 Compacité du support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.5 Propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 AnalyseM bandes en arbre dual 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Décomposition bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.3 Préfiltrage et invariance par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 TABLE DES MATIÈRES 3.4 Aspects de mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Familles d’ondelettesM bandes et de bancs de filtres . . . . . . . . 55 3.4.2 Implantation dans le domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.1 Nombre de bandes différents suivant les lignes et les colonnes . . . 61 3.5.2 Cas biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5.3 Cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Caractérisation du bruit après analyseM bandes en arbre dual 75 4.1 Moments du second ordre des coefficients d’ondelettes du bruit . . . . . . . 75 4.1.1 Expression des covariances dans le cas 1D . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2 Extension au cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.3 Transformée en arbre dual réelle bidimensionnelle . . . . . . . . . . 80 4.1.4 Transformée en arbre dual complexe . . . . . . . . 82 4.2 Quelques propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Exemple de quelques familles d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1 Ondelettes de ShannonM bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.2 de Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.3 Familles d’ondelettes issues de paquet d’ondelettes . . . . . . . . . 95 4.3.4 Ondelettes de Franklin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4.1 Résultats déduits des expressions théoriques . . . . . . . . . . . . . 103 4.4.2 Étude de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.4.3 Inter corrélations inter bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.4 Simulations sur des bruits bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5 Débruitage d’images 111 5.1 Débruitage mono canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.2 Seuillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.3 Mesures de performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.4 Application de la décomposition M bandes en arbre dual au dé bruitage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.5 Extension au cas complexe biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.6 Comparaison avec les curvelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Débruitage d’images multicomposantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2.3 Proposed nonlinear estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.4 Multicomponent wavelet denoising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 TABLE DES MATIÈRES 7 6 Déconvolution d’images 149 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.2 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2.1 Notation, assumptions, and problem statement . . . . . . . . . . . . 151 6.2.2 Inverse problems with sparsity constraints . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.3 Bayesian statistical framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3 Basic tool: proximity operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.2 Forward backward splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3.3 Decomposition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4 Proximity operators associated with log concave densities . . . . . . . . . . 157 6.5 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.6 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7 Conclusion et perspectives 175 Table des figures 181 Liste des tableaux 185 Bibliographie 187 8 TABLE DES MATIÈRES Résumé Cette thèse porte sur les décompositions en ondelettesM bandes en arbre dual ainsi que sur leur application à l’analyse et la restauration d’images. Ces décompositions per mettent d’obtenir une analyse multi échelles, directionnelle et locale des images. Elles s’inscrivent donc dans la perspective de travaux récents visant à mieux représenter les informations géométriques (textures, contours) et les préserver lors de traitements. Ce travail s’appuie sur les travaux antérieurs de N. Kingsbury et I. Selesnick portant sur la construction de décompositions en ondelettes formant des paires de Hilbert (ap prochées). Ces auteurs ont établi divers résultats concernant le cas dyadique et l’une de nos contributions a été de montrer qu’il était possible de généraliser leurs conclusions et de montrer de nouveaux résultats dans le casM bandes. Les représentations proposées présentent de nombreux avantages notamment en termes d’invariance par translation de l’analyse et de sélectivité directionnelle. Nous avons établi les conditions que doivent sa tisfaire les bancs de filtres en arbre dual servant à l’analyse et à la synthèse des signaux traités. Nous avons également étudié les pré traitements qu’il est nécessaire d’appliquer à des données discrètes. Ces décompositions introduisant typiquement une redondance d’un facteur 2 (dans le cas réel, et de 4 dans le cas complexe), elles constituent des trames à partir desquelles on peut calculer une reconstruction optimale. Ces nouvelles transformées ont finalement été généralisées aux cadres biorthogonal et complexe. Notre volonté d’appliquer ces outils d’analyse au débruitage de signaux nous a conduit à l’étude des propriétés statistiques des coefficients issus de la décompositionM bandes en arbre dual d’un processus aléatoire stationnaire au sens large. Nous avons tout d’abord calculé les statistiques au second ordre de ces coefficients et nous avons étudié le rôle du post traitement dans le calcul des corrélations. Quelques résultats asymptotiques concer nant les corrélations d’un couple de coefficients primal/dual ont également été obtenus. Les inter corrélations entre les ondelettes primale et duale jouant un rôle clé dans notre étude, nous en avons fourni des expressions exactes pour quelques familles d’ondelettes usuelles. Des simulations numériques nous ont aussi permis de valider nos résultats théoriques ainsi que d’évaluer la zone d’influence de la dépendance statistique induite. Pour démontrer l’efficacité de ces décompositions, nous avons été amenés à nous intéresser à deux types de problèmes : le débruitage et la déconvolution d’images. En ce qui concerne le débruitage, nous avons poursuivi deux buts principaux liés au chemine ment de la thèse. Dans un premier temps, nous nous sommes attachés à montrer que la décomposition en arbre dual M bandes apporte un gain significatif en terme de qualité, à la fois objective et subjective, par rapport à une décomposition en ondelettes classique, voire une décomposition dyadique en arbre dual. Dans un second temps, nous avons considéré le débruitage d’images multi canaux pour lesquelles nous avons mis en place un estimateur statistique original reposant sur l’emploi du principe de Stein et permettant notamment de prendre en compte des voisinages quelconques (spatial, inter composantes, inter échelles...). Les problèmes de déconvolution d’images ont été appréhendés dans le cadre de mé thodes variationnelles, en mettant en place un algorithme itératif, utilisant des outils ré cemment développés en analyse convexe. L’approche proposée permet de résoudre des problèmes inverses associés à des modèles probabilistes variés et elle est applicable à l’analyse M bandes en arbre dual ainsi qu’à tout autre type de représentation à l’aide d’une trame.