Analyse numerique des equations differentielles pour l'oral de modelisation TD2

Description

• cours - matière potentielle : pour resoudre


• cours - matière potentielle : la modelisation precedente quelques

Analyse numerique des equations differentielles pour l'oral de modelisation, TD2 1 Resolution numerique de systemes hamiltoniens 1) On considere le systeme differentiel x˙ = ?y et y˙ = x. Montrer que toutes les solutions sont periodiques. 2) Programmer la methode d'Euler explicite, implicite, et la methode du point milieu et une methode symplectique vue en cours pour resoudre le systeme differentiel avec x(0) = 1, y(0) = 0 sur l'intervalle [0, 6pi]. Qu'observez vous? Comparer les schemas. 3) Determiner par un graphe log/log l'ordre de chaque methode (si vous avez du temps). iv) Faire la meme chose pour l'equation du pendule x??+sin x = 0 avec x(0) = pi4 , x?(0) = 0. Programmer egalement une methode symplectique vue en cours. Quelle methode donne le meilleur resultat quant a l'obtention de solutions periodiques? Tracer l'Hamiltonien H = x˙22 + cosx en fonction du temps. 2 Etude du systeme de Lotka Volterra On considere un systeme proie predateur. On note x le nombre de proies et y le nombre de predateurs. On fait les hypotheses simplificatrices suivantes: les proies ont un taux de natalite a et meurent uniquement a cause des predateurs, le nombre de proies tuees etant proportionnel au nombre total de proies et au nombre total de predateurs.

• obtention de solutions periodiques


• influence des predateurs sur la mortalite des proies


• modele de croissance des predateurs


• proie


• solutions positives du systeme de lotka volterra


• solution periodique


• famille de solutions periodiques


• systeme differentiel


• analyse numerique des equations differentielles pour l'oral de modelisation

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Extrait

Analysenum´eriquedes´equationsdiff´erentielles pourl’oraldemode´lisation,TD2

1R´esolutionnume´riquedesyst`emeshamiltoniens 1)ystse`emdie`ereltiel˙diff´erensnocnOx=−yety˙ =xque toutes les solutions. Montrer sontp´eriodiques.

2)udednioplimtueiiticete,m´lahoetammerogrPluE’dedohte´malrplime,iticplexer etunem´ethodesymplectiquevueencourspourr´esoudrelesyste`mediffe´rentielavec x(0) = 1, y(0) = 0 sur l’intervalle [0,6πs?oumpCoerbszvve.]o’uQhce´am.srareelss

3)minerparD´eterm´ueaqchdererd’olgol/golehpargnu).empszdutasevviuoeds(teoh

′′ π ′ iv)Fairelamˆemechosepourl’e´quationdupendulex+sinx= 0 avecx(0) =, x(0) = 0. 4 Programmer´egalementuneme´thodesymplectiquevueencours.Quellem´ethodedonne lemeilleurr´esultatquanta`l’obtentiondesolutionsp´eriodiques?Tracerl’Hamiltonien 2 ˙x H= +cosxen fonction du temps. 2

2Etudedusyst`emedeLotkaVolterra Onconsid`ereunsyste`meproiepre´dateur.Onnotexle nombre de proies etyle nombre depr´edateurs.Onfaitleshypothe`sessimplificatricessuivantes:lesproiesontuntauxde natalite´ameurets´etantiestu´eerbdepeorsrl,nemoedr´euatseauspdenemeca`tutneuqin proportionnelaunombretotaldeproiesetaunombretotaldepre´dateurs.Lenombrede pr´edateursaugmententproportionnellementaunombredeproies.Letauxdemortalit´e despr´edateursestc. Onobtient ainsi lemoeld`ede croissance de ces deux populations ′ x(t) =ax(t)−bx(t)y(t), ′ (2.1) y(t) =dx(t)y(t)−cy(t). Icibetdrussruetader´spdectpaiml’ntsedtsnocnosseemusarptsotivirictementantesst lamortalit´edesproiesetl’impactdesproiessurlesnaissancesdespr´edateurs. Une´etuderapidedusyst`emepermetdemontrerquesix(0)>0 ety(0)>0 alors + x(t)>0 ety(t)>0 pour toutt∈Reemt`peut).Onfi(elre!v´erisesyrtcemstelaro souslaformed’unsyste`mehamiltonienpose: onp= lnx,q= lny. Enchoisissant q p H(p, q) =aq−be+cp−de, on montre quep, qentrefii´v ′ x(t)∂H ′q(t) p(t=) =a−by(t) =a−be= (p(t), q(t)), x(t)∂q ′ (2.2) y(t)∂H ′p(t) q(t=) =−c+dx(t) =−c+be=−(p(t), q(t)). y(t)∂p

1)uerqfieriV´eH(p(t), q(t)) est constante.