1ère épreuve de mathématiques 1999 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• 1999
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

1999-2000 _________

 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Le problème proposé porte sur l'étude de certaines propriétés des minimun des fonctions +∞ q m→x−m f(x)q est un entier et f(x) une fonction positive. La notation Idx où A (x) désigne la fonction qui prend ∫ −∞ la valeur 1 si x∈A et 0 sinon. La rédaction a été conçue pour que les parties A , B et C soient très largement indépendantes. Seules les questions B-6° et C-4° utilisent les notations et certains résultats de la partie A. - A - Soit f une fonction réelle à valeurs réelles positives, continue et dont le support {x / f(x)>o} est un intervalle borné ou non et non vide. +∞ n On suppose que les intégrales I=absolument convergentes pour tout entier n positif ou nul et quex f(x)dx sont n ∫ −∞ +∞ l'intégrale I=est égale à 1.f (x)dx 0 ∫ −∞ +∞ 2 1°) Onnoteϕ(m) l'intégrale(x−m) f(x)dx . ∫ −∞ a -Montrer queϕ(m) existe pour tout réel m. +∞ b -Montrer que la fonction m → ϕ (m) est dérivable en tout point m et a pour dérivée : 2(m − x)f (x)dx . ∫ −∞ c -En déduire qu'il existe un unique réel (noté m 2 ) tel que, pour tout réel m, on ait : ϕ (m ) ≤ ϕ (m) . Donner 2 l'expression dem àl'aide de l'intégraleI . 2 1 +∞ 2°) Onnote ψ (m) l'intégralex − m f (x)dx . ∫ −∞ a -Montrer que ψ (m) existe pour tout réel m. b -Montrer que la fonction m → ψ (m) estdérivable en tout point m. (on pourra écrire ψ (m) sousla forme: m∞ ψ (m) = (m − x)f (x)dx + (x − m)f (x)dx ) ∫ −∞ ∫ m c -En déduire qu'il existe un unique réel (notém )solution de l'équation : 1 m  f(x)dx = 1/ 2et tel que, pour tout réel m, on ait : ψ (m ) ≤ ψ (m) . 1 ∫ −∞ +∞ 2p 3°) Onnote, pour p entier strictement positif, ϕ(m)l'intégrale (x−m) f(x)dx etψ(m) l'intégrale p p ∫ − ∞ +∞ 2p − 1 x−(x)dx .m f ∫ − ∞ a -Montrer queϕ(m)etψpour tout réel m.(m) existent p p

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 2 b -Montrer que les fonctions m→ ϕ(m) etm→ ψindéfiniment dérivables en tout point m.(m) sont p p

'' Donner l'expression de leurs dérivées premières et secondes. Vérifier queϕ(m)=2p(2p−1)ϕ(m) et p p−1

'' ψ(m)=(2p−1)(2p−2)ψ(m) p p − 1 c -En déduire que, pour tout entier q positif, il existe un unique réel (notém )qui minimise la fonction : q +∞ q m→x−(x)dx .m f ∫ −∞ - B - x n t t edt ∫ 0 1°) Pourn entier naturel et x réel positif on noteF (x)l'expression . n n! Montrer que l'équationF (x)=1 admetune solution unique. On noteu cettesolution. n n Calculer uet u. 0 1 n + 1 xn + 1 x e×x 2°) Montrerl'inégalité :≤F (x)≤ n (n+1)! (n+1)! En déduire successivement : n+ 1 u n+1 n u e×u n n a - ≤1≤ (n+1)! (n+1)! 1 /(n+1) b -u≤[(n+1)!]≤n+1 n −/(n1 1+1) c -e×[(n+1)!]≤u n n tn+1 t t et e 3°) Montrerque pour t∈[0,n+1] on a≥)F (u. En déduire>1 puisla croissance stricte de la n n + 1 n! (n+1)! suite { u ,n∈N}. n n+1−p 4°) Montrerque, pour p et n entiers et tels que p≤n+1 , on a(n+1)!≥p .Endéduire par un choix judicieux de l'entier p que la suite { u ,n∈N} tends vers +∞quand n tends vers +∞. n ∞ 2p−1−x 5°) a- Soitm un réel tel que (m−dxx) e=0 . ∫ 0

Vérifier que le réel m est égal au terme u de la suite { u ,n∈N}. 2p−1 n

(Indication : On pourra décomposer l'intégrale ci-dessus en somme d'une intégrale de 0 à m et d'une intégrale

∞ ∞ n−t n−t de m à + ∞ , introduire l’intégrale t edt etutiliser te dt=n! ) ∫ 0 ∫ 0

m∞ 2p−x 2p−x b -Soit m un réel tel que(m−x) e dx=(x−.m) e dx ∫ 0 ∫ m

Montrer que le réel m est égal au termeu dela suite { u ,n∈N}. 2p n * 6°) Etablirun lien entre les termes de la suite { u ,n∈, qN} et les termes de la suite { m∈introduite dans laN } n q −x partie A et associée à la fonctionx→f (x)=(x)e I + R

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 3 - C - Soit a un réel strictement positif et g une fonction continue définie sur le segment [0,a] telle que pour tout entier naturel a n n l'intégralet g(t)dtsoit nulle. On se propose de démontrer que la fonction g est nulle. ∫ 0 k u k 1°) Pourp entier naturel on pose h (u)=(− 1) .Montrer, pour u positif et pour tout p les inégalités p ∑ k! k=0,.., p 2p+1 u −u−u h (u)≤e≤h (u)e, puis l'inégalité−h (u)≤. 2p+2p1 2p (2p+1)! 2 2 a −n (t−x) 2°) Déduirede 1°) que, pour n entier naturel et x réel, l'intégrale est nulle.e g(t)dt ∫ 0 3°) Soitx∈]0,a[ et {α, n∈N } une suite de réels positifs de limite nulle. n a -Montrer qu'il existe un entier n 0 tel que, pour n supérieur à l'entier n 0 , on ait :[x− α, x+ α]⊂[0, a] . n n b -Pour n>n 0 on note: 2 2 x+ α n −n (t−x)  vl'intégrale eg(t)dt ∫ n x− α n 2 22 2 x− αa n −n (t−x)−n (t−x)  wla sommee g(t)dt+e g(t)dt. ∫ ∫ n 0 x+ α n Avec un choix judicieux de la suite {α, n∈N } montrer que on peut avoir : n 2 ∞ −u 2g(x) edu ∫ 0  (i)si g(x) est non nulv équivalentquand n tend vers∞à n −n  (ii)w majorépar λ e où λ ne dépend pas de l’entier n. n c -Conclure que la fonction g est égale à la fonction nulle. 4°) Onreprend les notations de la partie A. a -Montrer que, si la fonction f présente une symétrie par rapport à un réelµ(pour tout x , f(µ-x)=f(µ+x)) la suite { m, n ∈ N } est constante et égale à µ . n b -On suppose ici que la fonction f est à support borné et on fait l'hypothèse que la suite {m ,n∈N }est n constante. On noteµcette constante. ∗ (i) Onnote f* la fonction définie par :x→f (x)=f (x+ µ) Montrer que la suite { m, n∈N } associée à la fonction f* est la suite nulle. n  (ii)On suppose pour cette question queµest nul. Montrer que la fonction f peut se décomposer d'une unique manière en somme d'une fonction paire (notée p) et d'une fonction impaire (notée i). Montrer que l'hypothèsem =0implique n ∞ n t i(t)dt=0 . ∫ 0 (iii) Déduirealors que la fonction f présente une symétrie par rapport au réel µ .

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