1ère épreuve de mathématiques 2000 ISFA

Description

Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2000
• Isfana

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français

Extrait







PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures









2000-2001 _________ 

Concours d'Entrée _______________ 

 

I. S. F. A. _________ 

4°)

∞ Montrer que lintégrale généralist dt, ée ∫ (t)dtet la série ∑ [ ∫ c+λ λ+ (n+1) ( ) ]n ∈ ,*N de même sont c n c nature. (N* désigne lensemble des entiers strictement positifs). (n1) α Soientαetβdeux réels et soit la suite {u n = + ∫ π 1+ t β d i t 2 ,n ∈ N*}. s n nπ t t En utilisant un encadrement deu n  , montrer queu n  est équivalent au voisinage de linfini à (n1) (n+1)π dt n α π + α ∫ π π 1+t β d s t in 2 t  . Déterminer un équivalent dev n = ∫ π 1+t β sin 2 t  (on distinguera les casβ>0, n n β<0 etβ=0).

Soitt→f(t) une fonction positive et continue sur [c,+∞) (c>0) etλun réel strictement positif .

Pouraetbréels strictement positifs calculer lintégraleI(a,b)= 0 ∫ π a 2 +b d 2 t sin 2 t . (On pourra poserx=tg(t)).





EXERCICE 2

∞ α On considère lintégraleJ(α,β) = ∫ 1+t β t sin 2 t dt. Déduire de 3° lensemble des couples (α,β) tels que π lintégraleJ(α,β Donner une représentation graphique de cet ensemble.) converge.





2000

Les trois exercices sont indépendants. Calculatrices non autorisées.

3°)

2°)

1°)

EXERCICE 1

Montrer que la suite {u n ,n∈N} est monotone. En déduire sa convergence. On noteλla limite de la suite {u n ,n∈N}. a) Donner un exemple de suite {r n ,n∈N} telle que la suite associée {u n ,n∈N} soit de limite nulle. b) Montrer que la conditionλ ≠ équivalente à la convergence de la série0 est ∑ r 1 . n

Cette question a pour objet de construire, pour un réel donnéλde lintervalle[0 , 1[une suite{r n ,n∈N}



n r A la suite {r n ,n∈N} on associe la suite {u n ,n∈N} définie par la relationu n = ∏ =0 r i +1 i i

telle que la suite associée{u n ,n∈N}aitλpour limite. a) Soit λ ∈ [0,1[ . Montrer quil existe un unique entierrdeN* tel que : r−1r ≤ λ <.  r r+1

3°)



2°) 



Ndésigne lensemble des entiers positifs ou nuls etN* lensemble des entiers strictement positifs. Soit {r n ,n∈N} une suite à valeurs dansN*.



1°)



Montrer (par exemple par un raisonnement de récurrence) que, pour tout entiernon a : − λ 2 r n+1 1 =etr n+1 =r n . r n+1 u n En déduire lexpression der n en fonction dek. En particulier donner la suite {r n ,n∈N} associée au réelλ=1/2 . Soit une suite {r n ,n∈N} telle que, pour tout entier n deN,r n+1 =r n 2 . La suite associée {u n ,n∈N} à la suite {r n ,n∈N} converge-t-elle ? Son éventuelle limite est-elle de la forme k− ? 1 k ,k∈N*

c)



b)





≥r 2 .

c)









On suppose que la suite {x n ,n∈Z} est de la forme :n→x n = α +n+n 2 . Montrer que, pour tout entier relatifp la fonctionϕ p sannule en un unique point noté (a p ,b p ,c p ) dont on donnera lexpression en fonction deα,βetγ. Réciproquement on suppose que pour tout entier relatifp la fonctionϕ p  sannule. On note encore (a p ,b p ,c p (dont on montrera lunicité) tel que) le point ϕ p (a p ,b p ,c p )=0. a) Etablir la relation :

2°)

la suite construite au 3°.

Zdésigne lensemble des entiers relatifs. Soit {x n ,n∈Z} une suite de réels définie surZ.



Pourpentier relatif on introduit la fonctionϕ p  deR 3 dansRdéfinie par : h=2 ϕ p (a,b,c) ∑ (x p+h a bh ch 2 ) 2 . = − − − h= −2





















Soitslunique entier deN* tel que :  −1 ≤ λ r+1 < s . r s+1 En démontrant que r 2 −1 ≤ λ r+1 ,ét:éilbalrgénitila 2 r r



On introduit la suite dentiers {r n ,n∈N} définie par : r 0 =r;r 1 =set par la récurrence :

r n1 1r n1 r n+1 est lunique entier tel que : + <≤ λ − +  oùu n = i ∏ = n 0 r i r i 1 r n+1 u n r n+1 +1+  Etablir linégalitér n+1 ≥r n 2 . En déduire que la suite {u n ,n∈N} a pour limiteλ. Cette question a pour objet dexpliciter la suite{r n ,n∈N}pour certaines valeurs deλ. a) Que vaut la suite {r n ,n∈N} du 3° pourλ=0. b) Soitkun entier strictement supérieur à 1 et soitλle réel k k −1 . La suite  {r n ,n∈N} désigne encore



4°)

















2

2000

 





-A-

1°)











EXERCICE 3

















---

2000

3

























n+

2 n.





  a p   111  b p  avec M=012 ×    c p    001    

















1°)

b)

2°)



espace vectoriel de dimension 4. Vérifierquelasuite{x n =n 3 ,n∈Z} est une suiteloca(2). Caractériser alors simplement lensemble des suitesloca(2).

c)





=     x x p p − − 2 1         1 1       1- 2-       1 4     X p      x x x p p p+ +1 2       = ; I     1 1 1      ; H =     0 1 2      ; = K     0 1 4     



-B- Pourpentier relatif on introduit les vecteurs deR 5 suivants :

c)

x p+2 −4x p+1 +6x p −4x p−1 +x p−2 =0 Expliquer alors succinctement pourquoi lensemble des suitesloca(2)muni des lois usuelles est un

Montrer que la suite {x n ,n∈Z} estloca(2)si et seulement si on a pour tout élémentpdeZ

Une suite {x n ,n∈Z} est dite localement assimilable à un polynôme de degré 2 (on dira que la suite est loca(2)) si, pour tout entier relatifp, le réela p est égal àx p . a) Montrer que les suites introduites enA.sont des suitesloca(2).

Interpréter la fonctionϕ p (a,b,cde la différence de deux vecteurs.) comme le carré de la norme euclidienne En déduire que la fonctionϕ p admet un minimum en un unique point noté encore (a p ,b p ,c p ). Donner notamment lexpression du réela p en fonction des composantes du vecteurX.



b)

EnécrivantlamatriceM la forme sousI+J (I désigne la matrice unité carrée dordre 3) calculer

  a b p p + +1   M 1    c p+1    =

Conclure alors que la suite {x n ,n∈Z} est de forme :n→x n = α +





successivement : M p , pourpentier positif ; M -1 matrice inverse deM; M p pourpentier négatif.