1ère épreuve de mathématiques 2004 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

2004-2005 _________

 Concoursd'Entrée  _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite PROBLEME I + On noteEl’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et définies surR. 1 Pour ∈ Eon note Φ( f ) la fonction définie pourxpositif ou nul par Φx )( f )(=f ( xt )dt . ∫ 0 P ARTIE A :L’ ENDOMORPHISME Φ : x ( u )du ∫ 0 1°- Montrer que pourxstrictement positif Φ ( f )(x ) peut s’écrire. +* 2°- Déduire que la fonction Φ( f ) est continue et dérivable surRet est continue en 0. 3°- Montrer que l’application Φ est un endomorphisme injectif deE. ⎧ x sin(1/ x)pourx>0 4°- On donne la fonctionhdéfinie par : h( x )= . ⎨ h(0)=0 ⎩ La fonction h est elle un élément de l’imageFdeEpar Φ ? Caractériser cette image. 5°- Montrer que tout réel λ∈0,1] est valeur propre de Φ . Donner les vecteurs propres associés. 6°- Soitn unentier naturel. On considère le sous espace vectorielF n  deEpar les fonctions engendré {f 1 ,..,f n ; g 1 ,…g n } où les fonctionsf i etg i sont définies par : i ⎧ xf :→f ( x)=x ⎪ i i . ⎨ i ⎪ g :x→g ( x)=xx lnpourxnon nul etg (0)=0 ⎩ ii i (i)Donner la dimension du sous espaceF n . (ii)Montrer que la restriction Φ de Φ àF n est un endomorphisme. Donner une matrice de Φ . n n 2 (iii) Déterminer la fonctionf deE telle que Φ( f )(x )=( x+x )lnx .

P ARTIE B :L’ APPLICATION Φ MONOTONIEET PROPRIÉTES DE 1°- Montrer que sifetgdeEvérifientf≤ galors Φ ( f ) ≤ ( g ) . 2°- Montrer que sifdeE estcroissante (respectivement décroissante) alors Φ ( f ) est aussi une fonction croissante (respectivement décroissante). 3°- Montrer que sif deEest croissante (respectivement décroissante) alors Φ( f ) ≤f (respectivement Φ ( f ) ≥f)

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2 P ARTIE C :E ITÉRÉS DETUDE DES Φ : n Pournentier strictement positif on désigne par Φ l’application ΦDΦD....DΦ .   n fois 1°- Soitfune fonction deEcroissante, positive et continue. n Pourxpositif ou nul on note u (x ) le réel Φ( f )(x ) . n (i) Donner l’expression de u (0) . n (ii) Montrer que pour tout entiernstrictement positif la fonction →u (x ) est croissante. n * (iii) Montrer que pour tout réelx ∈ sa la suite { u n N( x ),n } est décroissante et positive. En déduire convergente. On notel(x)cette limite. Montrer que la fonction →l( x ) est croissante. (iv) Pourxstrictement positif montrer l’égalité : ( u'( x )+...+u' (x ))=f ( x )−u (x ) . 1 nn En déduire que, pour0<x<ysérie de terme général, la u (y )−x )u ( est convergente. n n +* (v) Conclure alors que la fonctionlest constante surR. Montrer ensuite que cette constante est égale

àf(0). 2°- Etendre succinctement les résultats obtenus à la question précédente aux fonctions deEdécroissantes et

positives. 3°- Soitfune fonction deEpositive. On noteSetI les fonctions définies par : S( x )=( t)sup f  et ( x )=)( tinf f . t∈[ 0 ,x ]t∈[ 0 ,x ] Montrer que les fonctionsSetIappartiennent à l’ensembleE. En appliquant aux fonctionSetI les résultats n * des questions précédentes montrer que la suite { Φ( f )(x ),n∈N converge pour toutxversf(0).Etendre ce résultat à toute fonctionfdeE. PROBLEME II * Soit { p,k∈N } la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes. (On rappelle qu’un entier k premier a exactement deux diviseurs distincts 1 et lui-même). Pour x et y réels positifs avecx>y on note : ⎧ 1 si l'ensemble E={i tel que y<p i ≤x }= ∅ ⎪ P( x, y )= . ⎨ ∏ i p sil'ensemble E≠ ∅ ⎪ ⎩ i i / y<p≤x

On note aussi :K(x)=P(x,0).

PARTIEA : FONCTION MAJORANTE DE LA FONCTION K.

1°- Donnerp 1 ,p 2 etp 3 et l’expressiondeK(x)pourxréel positif inférieur ou égal à 6. Donner les points de

discontinuités de la fonctionK.

2°- Montrer pour 0≤z≤y≤x la relation : z )P( x,=P( x, y )P( y,z ) .

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3°- Soitnun entier pair supérieur ou égal à 2. On posen=2m. m (i)Montrer que l’entierP(2m+1,m+1)divise l’entier C (nombre de combinaisons demobjets pris 2m1

dans 2m+1(On pourra remarquer que chaque entier premier du produit objets.P(2m+1,m+1) divise m C ). 2m+1 m2m (ii)En déduire la majoration P(2m+1,m+1)≤C≤2 . 2m+1

4°- On note[x]la partie entière dex. [ x ] Déduire de la question 3 la majoration : K( x )≤4 .

PARTIEB : FONCTION MAJORANTE DU NOMBRE DE D’ ENTIERS PREMIERS INFÉRIEURS À UN RÉELX . On noteNla fonction définie par :N(x): nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux àx. Pour x≥2 on noteS(x)la fonctiondéfinie par S( x )=ln( K( x )) . 1°- Déduirede la partie A un majorant deS(x). 2°- Soitfune fonction définie sur[2,∞[à valeurs réelles, dérivable et à dérivée continue. (i)Montrer que pourkentier on a : p k S( t) f'( t)dt= −) f (ln( pp )+)S( p×f (p ) . ∫ 2 ∑ i ik k i=1,..,k (ii)Déduire pour tout réelxsupérieur ou égal à 2 la relation : x ln( p) f (p )=S( x )×f ( x )−) fS( t)dt'( t . ∑ ∫ i i 2 i=1,..,N ( x ) 1 3°- On prend pour fonctionf la fonction f ( x )= . ln x ⎡ ⎤ x dt Déduire du 2° l’inégalité : N( x )≤2ln2+ . ∫ 2 ⎢ 2 ⎥ ln x (ln t) ⎣ ⎦ x dt 4°- Majoration de l’intégrale :: ∫ 2 2 (ln t) u e (i)Etudier sur l’intervalle[ln2,∞[la fonction u → . Montrer qu’il existe un unique réel (notéu 0 ) 2 u u 0 e 2 strictement supérieur àln2 tel que = . 2 2 u (ln 2 ) 0 (ii)En déduire : u  ln x e x 0 u du≤(ln x−ln 2 x>e) pour . ∫  ln2 2 2 u (lnx ) x dt (iii)Déduire alors une majoration de. ∫ 2 2 (ln t) u 0 5°- Déduire que, pourxsupérieur à e l’inégalité : N( x )≤ 4 ln 2 . ln x

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