a Par cos cos2 et lim

Description

Niveau: Supérieur
Exercice I 1. (a) Par cos(2?) = cos2(?)?1 et lim ??0 sin(?) ? = 1. (b) Par variation pour la première et par intégration de la première entre 0 et ? pour la deuxième. 2. (a) Par continuité de f en 0 ( 1? f (x) ≤ ax2) lim n?∞ cos(?n) = 1, donc ?n est dans [ 0, pi 2 ] pour n assez grand. Pour de tels n ?n ≤ [ 1? f ( x 2n ) ] pi 2 et donc lim n?∞ ?n = 0. D'après la relation satisfaite par f , on obtient : cos(?n) = cos(2?n+1). Donc si on choisit un rang N à partir duquel ?n est dans [0, pi 2 ] on obtient : ?n+1 = ?n 2 . (b) On aura donc : ?n = ?N 2n?N et f ( x 2n ) = cos ( ?N 2n?N ) . Mais, lim x?0 1? f (x) x2 = a et lim ??0 1? cos(?) ?2 = 1 2 , donc lim n?∞ ? ? ?N 2n?N x 2n ? ? 2 = 2a, a Ê 0 et, au signe près, ?N = x 2N

• mathématiques éléments de correction


• motif a1a2akx


• ?n


• g0 ??


• probabilité


• question précédente


• a2 ê


• inégalité g2


• constante égale

Sujets

• Probabilité

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• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

Exercice I sin() 2 1. (a)Par cos(2)=cos ()−1 et lim=1.  →0 (b) Parvariation pour la premiÈre et par intÉgration de la premiÈre entre 0 etpour la deuxiÈme. h i π 2 2. (a)Par continuitÉ defen 0 ( 1−f(x)≤a xcos() lim n )=1, donc n 0est dans,pour 2 n→∞ nassez grand. h i x 1−f( )π n 2 Pour de tels n n ≤et donclim n =0. 2 n→∞ D’aprÈs la relation satisfaite parf, on obtient : cos( n )=cos(2 n+1 ). π  n Donc si on choisit un rangNÀ partir duquel n est dans [0,] on obtient : n+1 =. 2 2 µ ¶ ³ ´  N x  N (b) Onaura donc : n =etf=cos . n−nN n−N 2 22 1−f(x) 1 −cos() 1 Mais, lim=aet lim=, 2 2 x 2 x→0 →0   2 x p  N   donc lim=2a,aÊ0 et, au signe prÈs, N = 2a. x N n→∞ n−N 2 2 n 2 µ p ¶ ³ ´ x x2a On obtient :f=cos N =cos ,puis par rÉcurrence surk≤N, N N 2 2 µ p ¶ ³ ´ x x2a f=qui donne le rÉsultat pourcos cek=N. N−k N−k 2 2

Exercice II 20×19×18×17 116280 2907 1. LaprobabilitÉ que je ne marque rien est= ='0,72675. 4 20 1600004000 4 3 19 13032119 27436 2. Loibinomiale :P(N a =0)= =, P(N a =1)=4× =, P(N a =2)= 4 4 20 16000020 160000 2 19 216619 761 6× =, P(N a =3)=4=, P(N a =4)=. 4 44 20 16000020 16000020 2243 3.X a est une variable de Bernoulli de paramÈtreP(N a Ê2)= =p. SoitGle gain, on a 160000 20 X G=a X a , donc a=1 20×21 471030 E(G)=p='2,94 2 160000 19×18×6 205276 4. QuatrepossibilitÉs de gain :P(88x y)= =, P(888x)=P(N 8 =3)=, P(8888)= 4 44 20 2020 1 6 , et les troisP(x x y y)=avecx>yetx+y=8 (trois couples possibles). Total : 4 4 20 20 2052+76+1+3×6 2147 ='1,34% 4 20 160000 1