Agregext composition d analyse et probabilites 2001 maths

ProlegomenesDans tout le texte n designe un entier naturel strictement positif,R le corpsndes nombres reels et R l’espace vectoriel euclidien canonique de dimensionnn. R est egalement canoniquement muni d’une structure d’espace a ne. Onchoisit pour origine, notee O, le vecteur nul de l’espace vectoriel.nOn notehx;yi le produit scalaire de deux vecteurs x ety deR etkxk la normeeuclidienne de x.On noteGL (R) le groupe des matrices carrees de dimensionn inversibles etnnon note det(A) le determinant de la matrice carreeA. SiE est une partie deRetA un matrice dansGL (R), on noteA(E) l’image deE par l’endomorphismenndeR canoniquement associe aA.n SiE est une partie deR , on appelle gure polaire deE, notee E , la partiendeR formee des pointsy tels quehx;yi est inferieur a 1 pour tout x dans E : nE =fy2R j8x2E;hx;yi 1g:nOn rappelle qu’une partie deR est convexe si, pour tout couple (A;B) denses points, elle contient le segment [A;B]. Une fonctionf d’une partieE deRa valeurs dansR est dite convexe si E est convexe et si28(x;y)2E ; 82 [0; 1];f( x + (1 )y) f (x) + (1 )f(y)(i.e le graphe de f est sous ses cordes). On dit que f est strictement convexesi elle est convexe et si l’inegalite precedente n’est une egalite que si x = y ou2f0; 1g. En n f est (strictement) concave si f est (strictement) convexe.nUne partie E deR est dite O-symetrique si elle est globalement invariantepar la symetrie centrale a ne de centre O. Si est un ...