Agregext composition d analyse et probabilites 2001 maths

Description

ProlegomenesDans tout le texte n designe un entier naturel strictement positif,R le corpsndes nombres reels et R l’espace vectoriel euclidien canonique de dimensionnn. R est egalement canoniquement muni d’une structure d’espace a ne. Onchoisit pour origine, notee O, le vecteur nul de l’espace vectoriel.nOn notehx;yi le produit scalaire de deux vecteurs x ety deR etkxk la normeeuclidienne de x.On noteGL (R) le groupe des matrices carrees de dimensionn inversibles etnnon note det(A) le determinant de la matrice carreeA. SiE est une partie deRetA un matrice dansGL (R), on noteA(E) l’image deE par l’endomorphismenndeR canoniquement associe aA.n SiE est une partie deR , on appelle gure polaire deE, notee E , la partiendeR formee des pointsy tels quehx;yi est inferieur a 1 pour tout x dans E : nE =fy2R j8x2E;hx;yi 1g:nOn rappelle qu’une partie deR est convexe si, pour tout couple (A;B) denses points, elle contient le segment [A;B]. Une fonctionf d’une partieE deRa valeurs dansR est dite convexe si E est convexe et si28(x;y)2E ; 82 [0; 1];f( x + (1 )y) f (x) + (1 )f(y)(i.e le graphe de f est sous ses cordes). On dit que f est strictement convexesi elle est convexe et si l’inegalite precedente n’est une egalite que si x = y ou2f0; 1g. En n f est (strictement) concave si f est (strictement) convexe.nUne partie E deR est dite O-symetrique si elle est globalement invariantepar la symetrie centrale a ne de centre O. Si est un ...

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Extrait

Prolegomenes

Dans tout le textenitiftpos,dsieeugnntnernierutatsletcirnemeRle corps n desnombresreelsetRl’espace vectoriel euclidien canonique de dimension n n.Rn.ecaaee’psrudestegaleOneuqinnemetnemonacstnectruuntm’uid choisit pour origine, noteeO, le vecteur nul de l’espace vectoriel. n On notehx, yile produit scalaire de deux vecteursxetydeRetkxkla norme euclidienne dex.

On noteGL n (R) le groupe des matrices carrees de dimensionninversibles et n on note det(Aeerramatricecnantdeladtereim)elA. SiEest une partie deR etAun matrice dansGL n (R), on noteA(E) l’image deEpar l’endomorphisme n deRcanoniquement associe aA.

n SiEest une partie deRpolaire de, on appelle gureEno,eetE, la partie n deRformee des pointsytels quehx, yiest inferieur a 1 pour toutxdansE: n E={y∈R|∀x∈E,hx, yi 1}.

n On rappelle qu’une partie deRest convexe si, pour tout couple (A, B) de n ses points, elle contient le segment [A, B]. Une fonctionfd’une partieEdeR a valeurs dansRest dite convexe siEest convexe et si 2 ∀(x, y)∈E ,∀∈[0,1], f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y) (i.e le graphe defOn dit queest sous ses cordes).fest strictement convexe sielleestconvexeetsil’inegaliteprecedenten’estuneegalitequesix=you ∈ {0,1}. Ennfest (strictement) concave sifest (strictement) convexe.

n Une partieEdeRest diteOs-myertqieuisleleestglobalementavninairet parlasymetriecentraleanedecentreO. Siest un scalaire, on noteE l’image deEhoel’arpetciedettrhemnoOet de rapport. n On dit qu’une partieEdeRest un corps convexe si elle est convexe et d’interieurnonvide.Onremarqueraqu’uncorpsconvexeOientnts-emyqirtoceu toujoursO(carsidnassnonitreeiruxeedemeli,rueiˆmedtsenestinterx x+x parsymetrieatausside()parconvexite. 2 n Enn siEest une partie Lebesgue-mesurable deR, on note vol(E) son vol- ume. Lesdeuxiemeettroisiemepartiessontindependantesl’unedel’autre.Ilest rappelequelapresentation,laredactionetlaprecisionsontdeselementsim- portants d’appreciation des copies.

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