Agregext composition d analyse et probabilites 2005 maths
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6LaEprduereuve6deecriteconvolutiond'analysetoet6p6robabiliresttoA.esconvolutionrdueAlgI.ebNotations• Soit(E,N)unespacevectoriel(complexe)norm´e.OnnoteL(E)l’espacevectorielnorm´edesapplications lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme. Rappelons que la norme d’un ´el´ement T ∈L(E) est le nombre r´eel positif |||T||| = sup N(T(x)) x∈E, N(x)6 1 .∗• Soient E un espace de Hilbert (complexe) et T ∈ L(E). Notons T l’adjoint de T. On dit−1 ∗que T est unitaire si T est bijectif et T =T .• Soient I un ensemble non vide et (a ) une famille de nombres r´eels positifs. On appellei i∈IXsomme de cette famille et l’on note a la borne sup´erieure dansR ∪{+∞} des sommesi +i∈IXa lorsque J d´ecrit les parties finies de I.ii∈J1/2• On pose (+∞) = +∞.• NotonsA l’espace vectoriel complexe des familles (a ) 2 de nombres complexes.m,n (m,n)∈Z 2• Le support d’un´el´ementa = (a ) ∈Aestlesous-ensemble (m,n)∈Z a = 02m,n m,n(m,n)∈Z2deZ .• On note A le sous-espace vectoriel deA form´e des familles de support fini.2• Pour (m,n)∈Z , on note W ∈A la famille (a ) 2 telle que a = 1 et a = 0 sim,n p,q m,n p,q(p,q)∈Z(p,q) = (m,n).• Pour a = (a ) ∈A, on pose2m,n (m,n)∈Z 1/2X X2 kak = |a | et kak = |a | .1 m,n 2 m,n2 2(m,n)∈Z (m,n)∈Z • On pose A = a kak = +∞ et A = a kak = +∞ .1 1 2 2• Dans tout le probl`eme on fixe un nombre complexe λ de module 1.Les parties I.B, II et III sont ind´ependantes« » X X 221. (a) Montrer que ...
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Alg
A.
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I.
Notations
• Soit(E,N)unespacevectoriel(complexe)norm´e.OnnoteL(E)l’espacevectorielnorm´edes
applications lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme. Rappelons que la norme d’un ´el´ement
T ∈L(E) est le nombre r´eel positif |||T||| = sup N(T(x)) x∈E, N(x)6 1 .
∗• Soient E un espace de Hilbert (complexe) et T ∈ L(E). Notons T l’adjoint de T. On dit
−1 ∗que T est unitaire si T est bijectif et T =T .
• Soient I un ensemble non vide et (a ) une famille de nombres r´eels positifs. On appellei i∈IX
somme de cette famille et l’on note a la borne sup´erieure dansR ∪{+∞} des sommesi +
i∈I
X
a lorsque J d´ecrit les parties finies de I.i
i∈J
1/2• On pose (+∞) = +∞.
• NotonsA l’espace vectoriel complexe des familles (a ) 2 de nombres complexes.m,n (m,n)∈Z
2 • Le support d’un´el´ementa = (a ) ∈Aestlesous-ensemble (m,n)∈Z a = 02m,n m,n(m,n)∈Z
2deZ .
• On note A le sous-espace vectoriel deA form´e des familles de support fini.
2• Pour (m,n)∈Z , on note W ∈A la famille (a ) 2 telle que a = 1 et a = 0 sim,n p,q m,n p,q(p,q)∈Z
(p,q) = (m,n).
• Pour a = (a ) ∈A, on pose2m,n (m,n)∈Z
1/2
X X
2 kak = |a | et kak = |a | .1 m,n 2 m,n
2 2(m,n)∈Z (m,n)∈Z
