Agregext composition d analyse et probabilites 2006 maths

Epreuve ecrite d’analyse et probabilitesNotations et de nitionsLe probleme traite de certaines proprietes concernant les racines de polynˆomes dont les coe -cients sont aleatoires.n Dans tout le probleme, l’espace R sera muni du produit scalaire canonique usuel de ni, sinXx = (x ,...,x ) ety = (y ,...,y ), parhx,yi = x y . La norme euclidienne associee sera1 n 1 n k kk=1pnotee ||x|| = hx,xi.n n 1 n 1 n La sphere unite de R sera notee S . C’est par de nition S = {x ∈R ,||x|| = 1}. Lan n nboule unite fermee deR sera notee B ={x∈R ,||x||6 1}.n La mesure de Lebesgue surR sera notee , voire s’il n’y a pas d’ambiguite sur la valeurnde n. n n! Les coe cients binomiaux seront notes = On pourra aussi utiliser la nota-k k! (n k)!ktion C .n Si (u ) et (v ) sont deux suites de nombres reels, on dit que (u ) est dominee par (v ),n n>0 n n>0 n net on note u ∈O(v ) ou bien u =O(v ), s’il existe une constante C telle que |u |6C|v |n n n n n na partir d’un certain rang.Partie IAsymptotique du nombre de zerosOn de nit dans cette partie pour t> 0 et n∈N les trois fonctions nt2 (n+1) 1+ pn n 2 2A (t) = , B (t) = et (t) = A (t) B (t).n n n n n2n+22 tt +2nt1+ 1nOn admettra provisoirement que A (t) > B (t) pour tout t > 0, ce qui garantit la de nitionn nde (t).nZ +∞1. Calculer A (t)dt.n12. Les inegalites des questions (a), (b) et (c) suivantes sont demandees pour tout t> 0.2B (t)n(a) Justi er que | (t) A ...