Agregext composition d analyse et probabilites 2006 maths

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Epreuve ecrite d’analyse et probabilitesNotations et de nitionsLe probleme traite de certaines proprietes concernant les racines de polynˆomes dont les coe -cients sont aleatoires.n Dans tout le probleme, l’espace R sera muni du produit scalaire canonique usuel de ni, sinXx = (x ,...,x ) ety = (y ,...,y ), parhx,yi = x y . La norme euclidienne associee sera1 n 1 n k kk=1pnotee ||x|| = hx,xi.n n 1 n 1 n La sphere unite de R sera notee S . C’est par de nition S = {x ∈R ,||x|| = 1}. Lan n nboule unite fermee deR sera notee B ={x∈R ,||x||6 1}.n La mesure de Lebesgue surR sera notee , voire s’il n’y a pas d’ambiguite sur la valeurnde n. n n! Les coe cients binomiaux seront notes = On pourra aussi utiliser la nota-k k! (n k)!ktion C .n Si (u ) et (v ) sont deux suites de nombres reels, on dit que (u ) est dominee par (v ),n n>0 n n>0 n net on note u ∈O(v ) ou bien u =O(v ), s’il existe une constante C telle que |u |6C|v |n n n n n na partir d’un certain rang.Partie IAsymptotique du nombre de zerosOn de nit dans cette partie pour t> 0 et n∈N les trois fonctions nt2 (n+1) 1+ pn n 2 2A (t) = , B (t) = et (t) = A (t) B (t).n n n n n2n+22 tt +2nt1+ 1nOn admettra provisoirement que A (t) > B (t) pour tout t > 0, ce qui garantit la de nitionn nde (t).nZ +∞1. Calculer A (t)dt.n12. Les inegalites des questions (a), (b) et (c) suivantes sont demandees pour tout t> 0.2B (t)n(a) Justi er que | (t) A ...

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´ Epreuve´ecrited’analyseetprobabilite´s

Notationsetde´ﬁnitions

Leprobl`emetraitedecertainespropri´ete´sconcernantlesracinesdepolynˆomesdontlescoeﬃ-cientssontal´eatoires. n •naDuotsepscame`e’e,leptlblroRnudiremasairescalduitupro´dleusueuqinonaci,snieﬁ n X x= (x1, . . . , xn) ety= (y1, . . . , yn), parhx, yi=xkykraseeelcdieinnaessco´i.Lanormeeu k=1 p note´e||x||=hx, xi. n n−1n−1n •`hpsaLnit´ereuedeRe´enatoserSitinnor’aCpsteﬁe´.dS={x∈R,||x||= 1}. La n n n bouleunit´eferm´eedeRseranoee´tB={x∈R,||x||61}. n •La mesure de Lebesgue surRest´eeranoλn, voireλreuln’ys’id’amapastie´ibugvalauslr den.   n n! •ﬃcoescLenibstneiesxuaimorontnot´es=∙On pourra aussi utiliser la nota-k k! (n−k)! k tionC. n •Si (un)n>0et (vn)n>0o,slee´rserbmonee(quitndtesdxsuitdeusonun(rim´neeapdost)evn), et on noteun∈O(vn) ou bienun=O(vn), s’il existe une constanteCtelle que|un|6C|vn| a`partird’uncertainrang.

Partie I Asymptotiquedunombredez´eros

∗ Onde´ﬁnitdanscettepartiepourt >0 etn∈Nles trois fonctions   n t 2(n1 ++ 1) p n n2 2 An(t) =, Bn(t() = t)−B(t). 2 2netδn(t) =An +2n t t+ 2nt 1 +−1 n On admettra provisoirement queAn(t)>Bn(t) pour toutt >itla0d,´ceeﬁquigarantinitno deδn(t). Z +∞ 1. CalculerAn(t) dt. 1 2.Lesin´egalit´esdesquestions(a),(b)et(c)suivantessontdemande´espourtoutt >0. 2 B(t) n (a) Justiﬁer que|δn(t)−An(t)|6∙ An(t) 1 1 (b) On poseϕn(t) = 2n∙Montrer queϕn(t)6∙ +2 2 t 2t+ 2t 1 +−1 n

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