Notations et de nitionsR SoientB la C-algebre des fonctions continues et bornees de R dans C etB la sous-algebre reelledes fonctions deB a valeurs reelles.RPour f dansB (resp. f dansB), on note supf = sup{f(x), x∈R} (resp.kfk = sup|f|).∞On rappelle que (B, kk ) est un espace norme.∞i tPour dans R, soit e l’element deB de ni par : ∀t∈R, e (t) = e . On note P le sous-espace de B engendree par (e ) (espace des polynˆomes trigonometriques a ∈Rfrequences reelles). On demontrera en I.A que (e ) est une famille libre deB, donc une base de ∈RP. Ceci permet de de nir une norme sur P en posant, pour toute famille presque nulle (c ) de ∈Rcomplexes : !X XN c e = |c |. ∈R ∈ROn a : ∀p∈P, kpk 6 N(p).∞ Soit une partie non vide de R.On noteP le sous-espace deP engendre par (e ) . ∈On dit que est un ensemble de Sidon si et seulement si N etkk induisent des normes equivalentes∞surP , i.e, compte-tenu de l’inegalite precedente, si et seulement si l’ensemble : N(p), p∈P \{0}kpk∞est majore. Si tel est le cas, on pose : N(p)K( ) = sup , p∈P \{0}kpk∞R ROn noteP le sous-espace reelP ∩B deP . On dit que est symetrique si et seulement si :∀x∈ , x∈ .On dit que est un ensemble de Sidon reel si et seulement si est symetrique et s’il existe C > 0 telque :R∀p∈P , N(p) 6 Csup(p).Si tel est le cas, on a en particulier :R∀p∈P \{0}, sup(p) > 0,et on pose : N(p)0 RK ( ) = sup , p∈P \{0} ...
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