Agregext composition d analyse et probabilites 2007 maths

Description

Notations et de nitionsR SoientB la C-algebre des fonctions continues et bornees de R dans C etB la sous-algebre reelledes fonctions deB a valeurs reelles.RPour f dansB (resp. f dansB), on note supf = sup{f(x), x∈R} (resp.kfk = sup|f|).∞On rappelle que (B, kk ) est un espace norme.∞i tPour dans R, soit e l’element deB de ni par : ∀t∈R, e (t) = e . On note P le sous-espace de B engendree par (e ) (espace des polynˆomes trigonometriques a ∈Rfrequences reelles). On demontrera en I.A que (e ) est une famille libre deB, donc une base de ∈RP. Ceci permet de de nir une norme sur P en posant, pour toute famille presque nulle (c ) de ∈Rcomplexes : !X XN c e = |c |. ∈R ∈ROn a : ∀p∈P, kpk 6 N(p).∞ Soit une partie non vide de R.On noteP le sous-espace deP engendre par (e ) . ∈On dit que est un ensemble de Sidon si et seulement si N etkk induisent des normes equivalentes∞surP , i.e, compte-tenu de l’inegalite precedente, si et seulement si l’ensemble : N(p), p∈P \{0}kpk∞est majore. Si tel est le cas, on pose : N(p)K( ) = sup , p∈P \{0}kpk∞R ROn noteP le sous-espace reelP ∩B deP . On dit que est symetrique si et seulement si :∀x∈ , x∈ .On dit que est un ensemble de Sidon reel si et seulement si est symetrique et s’il existe C > 0 telque :R∀p∈P , N(p) 6 Csup(p).Si tel est le cas, on a en particulier :R∀p∈P \{0}, sup(p) > 0,et on pose : N(p)0 RK ( ) = sup , p∈P \{0} ...

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• Publié par: mu
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• Langue: Français

Extrait

Notationsetd´efinitions R •SoientBlaCrn´eetboesde-a`elgedbrfoesitcncsnoitnoseunRdansCetB´eerbr`eleelala-glossu des fonctions deBllse.uleasvra´`ree R PourfdansB(resp.fdansBsup), on notef= sup{f(x), x∈R}(resp.kfk ∞ = sup|f|). On rappelle que (B,k k ∞ ecapsenutse).´ermno iλt PourλdansR, soite λ dtnee´el’eml´B´dinfie:rap∀t∈R, e λ (t) = e. On notePle sous-espace deBe(rape´edrennge λ ) λ∈ R (espace desa`on´miroguqseteirpolmestynˆo fre´quencesre´elles´endntmo.O)erarneI.A que (e λ ) λ∈ R est une famille libre deB, donc une base de PrmpeciCe.urrmesenoninur´dfieteedPen posant, pour toute famille presque nulle (c λ ) λ∈ R de complexes :  ! X X N c λ e λ =|c λ |. λ∈ R λ∈ R On a :∀p∈P,kpk ∞ 6N(p). •Soit Λ une partie non vide deR. On noteP Λ le sous-espace dePnerdegnr(´epae λ ) λ∈Λ . On dit que Λ est unensemble de Sidonsi et seulement siNetk k ∞ tnelseqe´saviuidesnormenduisent surP Λ bmelnees:euleietssil’ment´ce´rpe´s,etnede’ieludenitalegn´mpco-tte,e,i.   N(p) , p∈P Λ \ {0} kpk ∞ estmajore´.Sitelestlecas,onpose:   N(p) K(Λ) = sup, p∈P Λ \ {0} kpk ∞ R R On noteP Λ ´eeracsp-eussoleleP Λ ∩BdeP Λ . OnditqueΛestsyme´triquesietseulementsi:∀x∈Λ,−x∈Λ. On dit que Λ est unonr´eelbledeSidesnmementsiΛseietseuleiruqeesttsys´mteele’istxiC >0 tel que : R ∀p∈P, N(p)6Csup(p). Λ Si tel est le cas, on a en particulier : R ∀p∈P\ {0},sup(p)>0, Λ et on pose :   N(p) 0 R K(Λ) = sup, p∈P\ {0}. Λ sup(p)

•SoientIun ensemble non vide et (a i ) i∈I uenlldeafimbresenomls.Or´ee(euqtidna i ) i∈I estQ-libre si et seulement si, pour toute famille presque nulle (λ i ) i∈I de rationnels, on a : X λ i a i = 0⇒ ∀i∈I, λ i = 0. i∈I

Si (a i ) i∈I n’est pasQ-libre, on dit que (a i ) i∈I estQ-eei´l. SiAest une partie deR, on dit queAestQ-libre si et seulement si la famille (a) a∈A estQ-libre. •Enfin, siEest une partie deRetγl,onr´eenunoteγEl’ensemble :{γx, x∈E}.

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