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Agregext composition d analyse et probabilites 2007 maths

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Notations et de nitionsR SoientB la C-algebre des fonctions continues et bornees de R dans C etB la sous-algebre reelledes fonctions deB a valeurs reelles.RPour f dansB (resp. f dansB), on note supf = sup{f(x), x∈R} (resp.kfk = sup|f|).∞On rappelle que (B, kk ) est un espace norme.∞i tPour dans R, soit e l’element deB de ni par : ∀t∈R, e (t) = e . On note P le sous-espace de B engendree par (e ) (espace des polynˆomes trigonometriques a ∈Rfrequences reelles). On demontrera en I.A que (e ) est une famille libre deB, donc une base de ∈RP. Ceci permet de de nir une norme sur P en posant, pour toute famille presque nulle (c ) de ∈Rcomplexes : !X XN c e = |c |. ∈R ∈ROn a : ∀p∈P, kpk 6 N(p).∞ Soit une partie non vide de R.On noteP le sous-espace deP engendre par (e ) . ∈On dit que est un ensemble de Sidon si et seulement si N etkk induisent des normes equivalentes∞surP , i.e, compte-tenu de l’inegalite precedente, si et seulement si l’ensemble : N(p), p∈P \{0}kpk∞est majore. Si tel est le cas, on pose : N(p)K( ) = sup , p∈P \{0}kpk∞R ROn noteP le sous-espace reelP ∩B deP . On dit que est symetrique si et seulement si :∀x∈ , x∈ .On dit que est un ensemble de Sidon reel si et seulement si est symetrique et s’il existe C > 0 telque :R∀p∈P , N(p) 6 Csup(p).Si tel est le cas, on a en particulier :R∀p∈P \{0}, sup(p) > 0,et on pose : N(p)0 RK ( ) = sup , p∈P \{0} ...

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Notationsetd´enitions R SoientBlaCrn´eetboesde-a`elgedbrfoesitcncsnoitnoseunRdansCetB´eerbr`eleelala-glossu des fonctions deBllse.uleasvra´`ree R PourfdansB(resp.fdansBsup), on notef= sup{f(x), xR}(resp.kfk= sup|f|). On rappelle que (B,k kecapsenutse).´ermno iλt PourλdansR, soiteλdtnee´eleml´B´dine:raptR, eλ(t) = e. On notePle sous-espace deBe(rape´edrenngeλ)λR(espace desa`on´miroguqseteirpolmestynˆo fre´quencesre´elles´endntmo.O)erarneI.A que (eλ)λRest une famille libre deB, donc une base de PrmpeciCe.urrmesenoninur´deteedPen posant, pour toute famille presque nulle (cλ)λRde complexes :  ! X X N cλeλ=|cλ|. λRλR On a :pP,kpk6N(p). Soit Λ une partie non vide deR. On notePΛle sous-espace dePnerdegnr(´epaeλ)λΛ. On dit que Λ est unensemble de Sidonsi et seulement siNetk ktnelseqe´saviuidesnormenduisent surPΛbmelnees:euleietssilment´ce´rpe´s,etnedeieludenitalegn´mpco-tte,e,i.   N(p) , pPΛ\ {0} kpkestmajore´.Sitelestlecas,onpose:   N(p) K(Λ) = sup, pPΛ\ {0} kpkR R On noteP Λ´eeracsp-eussolelePΛBdePΛ. OnditqueΛestsyme´triquesietseulementsi:xΛ,xΛ. On dit que Λ est unonr´eelbledeSidesnmementsiΛseietseuleiruqeesttsys´mteeleistxiC >0 tel que : R pP, N(p)6Csup(p). Λ Si tel est le cas, on a en particulier : R pP\ {0},sup(p)>0, Λ et on pose :   N(p) 0R K(Λ) = sup, pP\ {0}. Λ sup(p)
SoientIun ensemble non vide et (ai)iIuenlldeafimbresenomls.Or´ee(euqtidnai)iIestQ-libre si et seulement si, pour toute famille presque nulle (λi)iIde rationnels, on a : X λiai= 0⇒ ∀iI, λi= 0. iI
Si (ai)iIn’est pasQ-libre, on dit que (ai)iIestQ-eei´l. SiAest une partie deR, on dit queAestQ-libre si et seulement si la famille (a)aAestQ-libre. Enfin, siEest une partie deRetγl,onr´eenunoteγEl’ensemble :{γx, xE}.
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