Agregext composition de mathematiques generales 2000 maths

Agregation de Mathematiques 2000 - Concours ExterneMathematiques GeneralesPour deux entiers t;u 1, on noteraM (C) (resp. M (C)) l’espace des matrices a t lignes et u colonnest;u t(resp. carrees at lignes) a coe cients dans C, munis de leur topologies habituelles. Pour q entier, on noteraI la matrice identite qq. Pour un entier n 1 et un sous-groupe S de GL(2n;C), on notera Ad g(X) leq1conjugue gXg de X2M (C) par g2S, et Ad (S)X =fAd g(X);g2Sg.2n A 0Dans tout le probleme on notera M le sous-groupe de GL(2n;C) forme des matrices blocs out 10 AA2 GL(n;C); on remarquera qu’il est isomorphe a GL(n;C). On designe parS l’espace vectoriel des ma-tricesnn symetriques complexes etA l’espace vectoriel des matrices nn alternees (ou antisymetriques)complexes.It 1 11. Montrez que le groupe M opere surS (resp.A) par l’action (g;X)7! A XA ou A 0g = 2M et X2S (resp.A).t 10 ADeux matrices, dans la m^eme orbite pour l’action precedente, sont dites congrues.2. Determinez les orbites X pour cette action.i3. Si est l’une de ces orbites, determinez l’adherence de dansS au moyen des orbites X .iOn utilisera pas dans la suite du probleme les proprietes topologiques de cette adherence ni de celle de nieen II 3).II 0 IrOn posera J = , r entier positif, avec la convention, si r = 0, que I = 0 et donc J = 0.r 0 0I 0r J 0r1. Montrez que toute matrice alternee complexenn de rang 2r est congrue a une matrice bloc .0 0On ...