Agregext composition de mathematiques generales 2000 maths

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Agregation de Mathematiques 2000 - Concours ExterneMathematiques GeneralesPour deux entiers t;u 1, on noteraM (C) (resp. M (C)) l’espace des matrices a t lignes et u colonnest;u t(resp. carrees at lignes) a coe cients dans C, munis de leur topologies habituelles. Pour q entier, on noteraI la matrice identite qq. Pour un entier n 1 et un sous-groupe S de GL(2n;C), on notera Ad g(X) leq1conjugue gXg de X2M (C) par g2S, et Ad (S)X =fAd g(X);g2Sg.2n A 0Dans tout le probleme on notera M le sous-groupe de GL(2n;C) forme des matrices blocs out 10 AA2 GL(n;C); on remarquera qu’il est isomorphe a GL(n;C). On designe parS l’espace vectoriel des ma-tricesnn symetriques complexes etA l’espace vectoriel des matrices nn alternees (ou antisymetriques)complexes.It 1 11. Montrez que le groupe M opere surS (resp.A) par l’action (g;X)7! A XA ou A 0g = 2M et X2S (resp.A).t 10 ADeux matrices, dans la m^eme orbite pour l’action precedente, sont dites congrues.2. Determinez les orbites X pour cette action.i3. Si est l’une de ces orbites, determinez l’adherence de dansS au moyen des orbites X .iOn utilisera pas dans la suite du probleme les proprietes topologiques de cette adherence ni de celle de nieen II 3).II 0 IrOn posera J = , r entier positif, avec la convention, si r = 0, que I = 0 et donc J = 0.r 0 0I 0r J 0r1. Montrez que toute matrice alternee complexenn de rang 2r est congrue a une matrice bloc .0 0On ...

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Agr´egationdeMathe´matiques2000-ConcoursExterne

Mathe´matiquesGe´n´erales

Pour deux entierst, u≥1, on noteraM t,u (C) (resp.M t (Ccisea`deseamrt)capse’l)tlignes etucolonnes (resp.carre´esa`tadsnnestco`acieffiigls)neCPour, munis de leur topologies habituelles.qentier, on notera I q e´tamlriatidcetienq×q. Pourun entiern≥1 et un sous-groupeSde GL(2n,C), on notera Adg(X) le −1 conjugue´gXgdeX∈M 2n (C) parg∈S, et Ad (S)X={Adg(X), g∈S}.   A0 Danstoutleproble`meonnoteraMle sous-groupe de GL(2n,Cuo`scolbsecirtamse)form´ed t−1 0A A∈GL(n,CGmLo(rphtei`saoilesaqu’uqremerao;rn)n,CenapsegiOnd´r).Sl’espace vectoriel des ma- tricesn×nriquescomplexesette´mysAl’espace vectoriel des matricesn×nse)iruq´mteitystla´nre(seenauo complexes.

I

t−1−1 1. Montrezque le groupeMoureserp`S(resp.A) par l’action (g, X)7→A XAo`u   A0 g=∈MetX∈ S(resp.A). t−1 0A Deuxmatrices,danslameˆmeorbitepourl’actionpr´ec´edente,sontditescongrues. 2.De´terminezlesorbitesX i pour cette action. 3.SiΩestl’unedecesorbites,de´terminezl’adhe´renceΩdeΩdansSau moyen des orbitesX i . Onutiliserapasdanslasuiteduproble`melesproprie´t´estopologiquesdecetteadh´erencenidecelled´efinie enII 3).

II   0I r On poseraJ r = ,rentier positif, avec la convention, sir= 0, queI 0 = 0 et doncJ 0 = 0. −I r 0   J r 0 1.Montrezquetoutematricealtern´eecomplexen×nde rang 2re.octsurgnua`emaneictrloebc 0 0 Onpourramontrerd’abordquelamatriced’uneformebilin´eairealtern´eenonde´g´ene´re´eest,dansune   0 1 certaine base, une diagonale de blocs 2×.2 : −1 0 2.De´terminezlesorbitesY j deMdans l’action surApour la congruence. 3.SiΩestl’unedesorbitespre´c´edentes,de´terminezl’adh´erenceΩdeΩdansA.

III

0 SoientEunC-espace vectoriel de dimension 2netL, Lonsienimedcessespaous-deuxserdstniae´empulpn, 0 0 E=L⊕Lchoisit des bases (. One 1 , e 2 , e, . . . n ) deLet (e −1 , e −2 , e, . . . −n ) deLrustl’et´dnoinfieEune 0 formebiline´airesyme´trique,note´e(,), pour laquelleLetLsont des sous-espaces totalement isotropes tels que (e i , e j ) =δ −i,j pouri= 1,2, . . ., n,j=−1,−2, . . .,−nou`δest le symbole de Kronecker.