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Couplage fortde deux oscillateursEn pla¸cant de la mati`ere dans une cavit´e optique, on peut obtenir un syst`eme compositecavit´e-mati`ere aux propri´et´es nouvelles, si la mati`ere pr´esente une r´esonance `a une pulsation´egale a` une pulsation de r´esonance de la cavit´e, et si ces deux r´esonances ont des coeﬃcientsd’amortissement faibles devant le coeﬃcient de couplage entre ces syst`emes. Un tel ph´enom`enede couplage fort a ´et´e mis en ´evidence pour des atomes en cavit´e au d´ebut des ann´ees 1980,puis dans des h´et´erostructures de mat´eriaux semi-conducteurs au d´ebut des ann´ees 1990.Le probl`eme comporte trois parties tr`es largement ind´ependantes.La premi`ere partie donne une description purement classique de deux oscillateurs harmo-niques, de mˆeme pulsation de r´esonanceω , et coupl´es lin´eairement; le coeﬃcient de couplage,0homog`ene a` une pulsation, est not´e Ω . Ces oscillateurs sont faiblement amortis : on caract´erise1chaque oscillateur par son coeﬃcient d’amortissement γ ou γ , ´egalement homog`ene `a une1 2pulsation. On consid`ere dans tout le probl`eme que Ω , γ et γ sont tr`es petits devant la pul-1 1 2sation de r´esonance ω . L’objet du probl`eme est d’´etudier comment la dynamique du syst`eme0est modiﬁ´ee suivant l’importance relative des eﬀets de couplage (Ω ) et d’amortissement (γ et1 1γ ) : on distingue ainsi un r´egime de couplage fort et un r´egime de couplage faible ...

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Couplage fort de deux oscillateurs

Enpla¸cantdelamatie`redansunecavit´eoptique,onpeutobtenirunsyste`mecomposite cavite´-mati`ereauxproprie´te´snouvelles,silamati`erepre´senteunere´sonance`aunepulsation e´galea`unepulsationdere´sonancedelacavite´,etsicesdeuxr´esonancesontdescoeﬃcients d’amortissementfaiblesdevantlecoeﬃcientdecouplageentrecessyste`mes.Untelph´enom`ene de couplage fort ae´te´misene´videncepourdesatomesencavit´eaude´butdesanne´es1980, puisdansdeshe´te´rostructuresdemat´eriauxsemi-conducteursaud´ebutdesanne´es1990.

Leprobl`emecomportetroispartiestre`slargementinde´pendantes.

Lapremi`erepartiedonneunedescriptionpurementclassiquededeuxoscillateursharmo-niques,demeˆmepulsationderesonance ω 0 ,etcoupl´esline´airement;lecoeﬃcientdecouplage, ´ homogeneaunepulsation,estnote´Ω 1 .Cesoscillateurssontfaiblementamortis:oncaract´erise ` ` chaque oscillateur par son coeﬃcient d’amortissement γ 1 ou γ 2 ,´egalementhomoge`nea`une pulsation.Onconside`redanstoutleproble`mequeΩ 1 , γ 1 et γ 2 sont tre`spetits devant la pul-sationdere´sonance ω 0 .L’objetduprobl`emeestd’´etudiercommentladynamiquedusyste`me estmodiﬁe´esuivantl’importancerelativedeseﬀetsdecouplage(Ω 1 ) et d’amortissement ( γ 1 et γ 2 ):ondistingueainsiunr´egimede couplage fort etunr´egimede couplage faible .

Onconside`redanslesdeuxpartiessuivantesdeuxoscillateursdenaturesphysiquesdiﬀ´erentes: unmodeduchamp´electromagne´tiquedansunecavite´,etuner´esonancedumilieumat´eriel pr´esentdanslacavit´e.Ond´ecritdansladeuxi`emepartielecouplagelumie`re-mati`eredansle cadredel’optiqueclassique,enexaminantcommentlespropri´ete´sdedispersionetd’absorption dumilieumodiﬁentlafonctiondetransmissiondelacavit´eoptique.

Latroisi`emepartieproposeunedescriptionquantiquedusyst`emeleplussimple:unseul atome,assimile´`aunsyst`emea`deuxniveaux,couple´a`unmodediscretduchamp´electromagne´tique delacavit´e,contenant0ou1photon.

Pouralle´gerlescalculs,onseplacedanstoutleprobl`emedanslecasr´esonnant:lesdeux oscillateursontexactementlameˆmepulsationdere´sonance,note´e ω 0 . Les coeﬃcients d’amor-tissementsontde´ﬁnisparrapporta`l’e´nergie.Sionconsid`ereuneexcitationharmoniquede pulsation ω ,onnoteraΔlede´calageenpulsationΔ= ω − ω 0 .

Relationsmath´ematiquesutiles: ”Fonction” δ de Dirac : Z − + ∞∞ exp( − jωt ) dω = 2 πδ ( t ) Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 ) si t 0 ∈ ] t 1 , t 2 [ Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = 0 si t 0 / ∈ [ t 1 , t 2 ] Onadmettraquedanslecadredescalculsdemande´sdansceprobl`eme,onpeut´ecrire: Z t 1 t 2 f ( t ) δ ( t − t 0 ) dt = f (2 t 0 )si t 0 = t 1 ou t 0 = t 2 Transforme´edeFourierd’unelorentzienne: + Z −∞∞ 1+1( ω ) 2 exp( − jωt ) dω = πa exp( − a | t | ) ( a > 0) a

(1)

(2)

(3)

Conventionsd’´ecriture: On note j le nombre complexe tel que j 2 = − 1.Lescandidatspourront,`aleurconvenance, e noter les grandeurs complexes A ou A . On note < []lapartiere´elleet = [ ] la partie imaginaire delaquantit´eentrecrochets.

Notationsutilise´esdansleprobl`eme: Constantes fondamentales : argeel´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 1 , 60 10 − 19 C e ch ´ m massedel’e´lectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 9 , 11 10 − 31 kg c vitessedelalumie`redanslevide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2 , 99 10 8 m.s − 1  0 permittivite´die´lectriqueduvide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  0 = 8 , 85 10 − 12 F.m − 1 ¯ h constantedePlanckre´duite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h ¯ = h/ (2 π ) = 1 , 05 10 − 34 J.s Premie`repartie: L inductance Ω 1 coeﬃcient de couplage γ 1 et γ 2 coeﬃcientd’amortissementducircuitre´sonnant1ou2 e ω pulsation complexe ω + et ω − pulsations des modes propres

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