annales corrigées hec escp oral ECE ECS algèbre 2005
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annales corrigées des oraux d'hec ECE ECS algèbre 2005

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Exrait

2
` ALGEBRE
Exercice 2.1. SoitElepsevactoecelrispdenyloemoˆdeds´rge´erieinfu´egeurolaa`n,`oun est un entier naturel non nul. Pourλeinltaun,lno´donpplicatinonlee´ruλemlopuoˆnyquiaPdeE associelepolynˆome: uλ(P)(X=)21P(X) +λZ10P(t)dtX 1. Montrer queuλest un endomorphisme deE. 2. Pour quelles valeurs deλ,uλest-il un automorphisme deED?e´etmrnire 1 alors l’automorphismeuλ. 3.De´terminerlesvaleurspropresetlessous-espacepropresdeuλ. L’endomorphisme uλ ?est-il diagonalisable
Solution : 1. L’applicationuλommee,irean´listeon.Cratit´egline´edratinie´aplr λZ10P(t)dtXeir´egedeuri´enflage´uorivli,1a`nuopetsmodeylˆnent: deguλ(P)6max(deg(P)1)6n, ce qui montre queuλest un endomorphisme deE. 2. SoitPKer(uλ). SiZ10P(t)dt= 0 ou siλ= 0, alorsuλ(P12)=P= 0 donneP= 0. iZ16= 0 et siλ6= 0, alor SP(t)dtsuλ(P) = 0 donneP= 0 2λZ10P(t)dtX, doncP(X) est de la formeαX, avecα=2λ2α, et :
48 ESCP-EAP 2005 - Oral Siλ6=1,α= 0 etP= 0. Siλ=1,αest quelconque et Ker(u1) = Vect(X). AinsiEntta´eemsnedidin:eoin uλGL(E)⇐⇒Ker(uλ) ={0}λ6=1 Pourd´eterminerlinversedeuλsoliti,ude´tirae´nilalsneuλ1. Ainsi : P(X)1=2uλ1(P) +λZ01P(t)dtuλ1(X) Par ailleurs : uλ(X2=1)X+XλZ01t dt=λ12+X et donc, puisqueλ6=1 :uλ1(X) =λ1+2X. Finalement : uλ1(P) = 2P+λ2+λ1XZ10P(t)dt 3.L´equationuλ(P) =αPec´tris α12P(X) =λXZ01P(t)dt Pourλ= 0, on a simplementu0(P=12)P, etu0e´itomhtlohetseedE derapport21.Toutpolynoˆmeestpolynˆomepropreassoci´ea`luniquevaleur propre21. Supposons donc maintenantλ6= 0. Pourα12.C=ommeλ6=0uiedat`´l,auqenoit´resZ10P(t)dt= 0, donc e assoc 12estvaleurpropredeuλ i´e est le noyau deet le sous-espace propr l’applicati7→Z01P(t)dt. online´aireP Ce noyau est un hyperplan deE, donc est de dimensionn. Siα6eL.21=eopylˆnmoPest donc de la formeP(X) =aXitaunolteqe´s’´ it ecr : 1 α2aX=λX2a, soit :a= 0 sauf siα12=λ. Ainsi,α=λemmocte(21+λ6= 0 on a bienα6vasturleopprasreicosee´)e12= au vecteur propreXdosteei´medidenc.1noisn.Lesous-epscapeorrpaessco Lhomoth´etieu0,lae´gsre´nesgonatdialb.eilaselacaDsnuλelntme´estlega puisquelasommedesdimensionsdessous-espacespropresest´egale`an+ 1, qui est la dimension deE. Exercice 2.2. SoitEeninioe´leeirlemsnedidespaunctorceven>2 etE1 E2deux sous-espaces vectoriels deEpulpe´emtniaerdssan,sEvuasetcerunoet´enritdu nul. Soitu1∈ L(E1),u2∈ L(E2) etu3∈ L(E2 E1).