ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S POLYNESIE 2000 Eléments de solution

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ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S POLYNESIE 2000 Eléments de solution

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ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S POLYNESIE 2000 Elements de solution EXERCICE 1 1. On remplace z par x +iy, et on utilise le conjugue : [(x 2) +i (y + 1)] [(x 2) +i (y + 1)] [x i (y + 2)] Z = = [x +i (y + 2)] [x +i (y + 2)] [x i (y + 2)] En developpant, on trouve : 2 2x +y 2x + 3y + 2 +i (2y x + 4) Z = 22x + (y + 2) On en deduit la partie reelle de Z : 2 2x +y 2x + 3y + 2 Re (Z) = 22x + (y + 2) et sa partie imaginaire : 2y x + 4 Im (Z) = 22x + (y + 2) (a) Z est un reel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui equivaut pour z distinct de ( 2i) a 2y x + 4 = 0 On reconnait l’equation d’une droite. Cependant, cette droite passe par le pointB d’a xe ( 2i), et donc il nous faut enlever ce point de l’ensemble trouve. En conclusion, E est la droite d’equation 2y x + 4 = 0 privee de B. (b) Z est un imaginaire pur si et seulement si sa partie reelle est nulle, ce qui equivaut pour z distinct de ( 2i) a 2 2x +y 2x + 3y + 2 = 0 On reconnait l’equation d’un cercle, en transformant cette equation sous forme canonique :  2 3 52 (x 1) + y + = 2 4 Cependant, ce cercle passe par le point B d’a xe ( 2i), et donc il nous faut enlever ce point de l’ensemble trouve. En conclusion, F est p
3 5le cercle de centre d’a xe 1 i et de rayon prive de B. 2 2 12. D’apres les formules du cours, pour tout M distinct de A et de B, on a :    ! ! z zA BM;AM = arg = arg (Z) z zB (a) Z est reel si et seulement si z =z ou arg (Z) = 0 modulo . CetteA derniere condition equivaut au fait que le point M appartient a la droite (AB) privee deA et deB. En rajoutant le pointA, on retrouve bien l’ensemble E. (b) Z est imaginaire pur si et seulement si z = z ou arg (Z) =A 2 modulo . Cette derniere condition equivaut au fait que le point M appartient au cercle de diametre [AB] prive de A et de B. En rajoutant le point A, on retrouve bien l’ensemble F. 3. Pour tout z distinct de ( 2i), on a :