Ats mathematiques 2005

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Mathématiques Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur 0,+! : ] [2 2(E) x y! ! (x) +4xy! (x) +(2– x )y(x) =1 ➀ Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle u ! ! (x)– u(x) =0 z(x)➁ Sur l’ intervalle 0,+! on effectue dans (E) le changement de fonction y(x)= . Que ] [ 2xdevient cette équation après ce changement? ➂ On se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière !kautour de l'origine, notée y , et de déterminer cette série entière. On pose y (x)=a + a x 0 0 0 " kk=1a) Déterminer a et a 0 1b) Pour n!2 donner une relation de récurence entre a et a . [ On pensera à factoriser n n!22n +3n+2 ] c) En déduire a en fonction de n. n➃ Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme y . 0➄ Exprimer y à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication : on déterminera d’abord 02l’expression de x y (x)+1] 0➅ Déduire de ce qui précède l’ensemble des solutions de (E) ⑦ Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0. -1- Problème 2 Partie 1 Soit h un réel fixé, élément de l'intervalle 0,! et la fonction f paire et de période 2! vérifiant : ] ]1f(t)= sit! 0,h et f(t)= 0 sit! h," [ ] ] ]2h➀ Déterminer la série de Fourier de f et montrer qu’elle converge. On note : !sf(t)=a + a cos(nt)+b sin(nt) et ...

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Français

Mathématiques

Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur: (E)➀Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle

➁l intervalle Sur

oneffectue dans (E) le changement de fonction

devient cette équation après ce changement?





. Que

➂se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière On autour de l'origine, notée, et de déterminer cette série entière. On pose

a)Déterminer et

b)Pour donnerune relation de récurence entreet .[ On pensera à factoriser ] c)En déduireen fonction den. ➃Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme.

➄à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication: on déterminera dabord Exprimer lexpression de]

➅Déduire de ce qui précède lensemble des solutions de (E)

⑦Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0. 

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