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Ats mathematiques 2005

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Mathématiques Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur 0,+! : ] [2 2(E) x y! ! (x) +4xy! (x) +(2– x )y(x) =1 ➀ Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle u ! ! (x)– u(x) =0 z(x)➁ Sur l’ intervalle 0,+! on effectue dans (E) le changement de fonction y(x)= . Que ] [ 2xdevient cette équation après ce changement? ➂ On se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière !kautour de l'origine, notée y , et de déterminer cette série entière. On pose y (x)=a + a x 0 0 0 " kk=1a) Déterminer a et a 0 1b) Pour n!2 donner une relation de récurence entre a et a . [ On pensera à factoriser n n!22n +3n+2 ] c) En déduire a en fonction de n. n➃ Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme y . 0➄ Exprimer y à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication : on déterminera d’abord 02l’expression de x y (x)+1] 0➅ Déduire de ce qui précède l’ensemble des solutions de (E) ⑦ Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0. -1- Problème 2 Partie 1 Soit h un réel fixé, élément de l'intervalle 0,! et la fonction f paire et de période 2! vérifiant : ] ]1f(t)= sit! 0,h et f(t)= 0 sit! h," [ ] ] ]2h➀ Déterminer la série de Fourier de f et montrer qu’elle converge. On note : !sf(t)=a + a cos(nt)+b sin(nt) et ...

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Langue Français

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Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur: (E)Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle
l intervalle Sur
 oneffectue dans (E) le changement de fonction
devient cette équation après ce changement?
. Que
se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière On autour de l'origine, notée, et de déterminer cette série entière. On pose
a)Déterminer et
b)Pour donnerune relation de récurence entreet .[ On pensera à factoriser ] c)En déduireen fonction den. Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme.
à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication: on déterminera dabord Exprimer lexpression de]
Déduire de ce qui précède lensemble des solutions de (E)
Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0.
-1-
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