Ats mathematiques 2007

Description

Mathématiques Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 Rappel: la fonction arctan est une bijection strictement croissante de ]!",+"[ vers " " 1# & !x"!,tan arctan x = x! , , sa dérivée vérifie arctan!(x)= et ( ( )) 2% ( 2 2 x +1$ 'Soit un entier k >0 fixé et les fonctions f , g définies sur ! par: k kf :x!arctan(x+k!) et g (x)= f (x)!x . k k k 1) Calculer f !(x)et montrer que !x>0,0< f"(x)#$ <1pour une constante ! à k k k kcalculer en fonction de k. 2) Étudier les variations de g sur [0,+![ . En déduire l’existence d’un unique réel k#$ $! " 0, solution de l’équation ! = f (! ) . k k k k& &2% %3) On définit la suite réelle (u ) par u = 0, et !n" 1, u = f (u ) . n n!! 0 n k n#1 a- Montrer que 0!" #u !$ (" #u ) . k n k k n#1b- En déduire que lim u =# n kn!+""15c- Pour k=1, déterminer n pour que ! "u <10 1 n$4) Montrer que lim# = (comparer f (0) et ! ). k k kk!+" 2" 1$ '5) Montrer que !x> 0, # arctan(x)= arctan . En déduire que si on pose & )% (2 x" " 1 % 1" %! = #$ , alors arctan () (arctan . k k k $ '$ ' # &2 #(k+1/2)!& k!6) Donner un équivalent de ! lorsque k tend vers +! ( s'exprimant simplement en kfonction de k). Exercice 2 Les deux parties de cet exercice sont largement indépendantes. Partie I 0 0 q! $# &Soient deux réels p et q. On considère la matrice N telle que : N= 1 0 p # &0 1 0" %1) Calculer le polynôme caractéristique P x de la matrice ...

Informations

• Publié par: mu
• Nombre de lectures: 250
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

0 fixé et les fonctions f , g définies sur ! par: k kf :x!arctan(x+k!) et g (x)= f (x)!x . k k k 1) Calculer f !(x)et montrer que !x>0,0 0, # arctan(x)= arctan . En déduire que si on pose & )% (2 x" " 1 % 1" %! = #$ , alors arctan () (arctan . k k k $ '$ ' # &2 #(k+1/2)!& k!6) Donner un équivalent de ! lorsque k tend vers +! ( s'exprimant simplement en kfonction de k). Exercice 2 Les deux parties de cet exercice sont largement indépendantes. Partie I 0 0 q! $# &Soient deux réels p et q. On considère la matrice N telle que : N= 1 0 p # &0 1 0" %1) Calculer le polynôme caractéristique P x de la matrice ..." />